Asemănare între matrice

În algebra liniară , asemănarea dintre matrice este o relație importantă de echivalență , care induce o partiție a mulțimii $M(n,K)$ ${\ displaystyle M (n, K)}$ $M (n, K)$ dintre toate matricile pătrate cu $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ valoare rânduri și coloane într-un câmp $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ . În special, în teoria endomorfismelor unui spațiu vectorial , se spune că două matrice sunt similare atunci când reprezintă același endomorfism în raport cu două baze diferite. Prin urmare, o clasă de echivalență a matricilor similare poate fi asociată cu fiecare endomorfism.

Două matrice similare au aceleași valori proprii , rang , determinant și urmă . Cu toate acestea, opusul nu este adevărat: două matrice cu aceeași urmă, același determinant, același rang și același polinom caracteristic nu sunt neapărat similare.

Definiție

Două matrice pătrate $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ sunt similare atunci când există o matrice inversabilă $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ astfel încât: ^[1]

\ A=M^{-1}BM

{\ displaystyle \ A = M ^ {- 1} BM}

\ A = M ^ {{- 1}} BM

În special, matricea de identitate și matricea nulă sunt similare doar cu ele însele.

Invarianți pentru similitudine

Două matrice similare au același rang , determinant și urmă . Prin urmare, se spune că rangul, determinantul și urmele sunt invariante prin similitudine.

Dovada invarianței determinantului trece prin teorema lui Binet :

\det(M^{-1}BM)=\det(M^{-1})\cdot \det B\cdot \det M=

{\ displaystyle \ det (M ^ {- 1} BM) = \ det (M ^ {- 1}) \ cdot \ det B \ cdot \ det M =}

\ det (M ^ {{- 1}} BM) = \ det (M ^ {{- 1}}) \ cdot \ det B \ cdot \ det M =

(\det M)^{-1}\cdot \det B\cdot \det M=\det B\cdot (\det M)^{-1}\cdot \det M=\det B

{\ displaystyle (\ det M) ^ {- 1} \ cdot \ det B \ cdot \ det M = \ det B \ cdot (\ det M) ^ {- 1} \ cdot \ det M = \ det B}

(\ det M) ^ {{- 1}} \ cdot \ det B \ cdot \ det M = \ det B \ cdot (\ det M) ^ {{- 1}} \ cdot \ det M = \ det B

Mai mult, două matrice similare au același polinom caracteristic și același polinom minim . De fapt, din definiție avem asta $A=P^{-1}\cdot B\cdot P$ ${\ displaystyle A = P ^ {- 1} \ cdot B \ cdot P}$ $A = P ^ {{- 1}} \ cdot B \ cdot P$ , din care se obține polinomul caracteristic:

\Delta _{A}(\lambda )=|\lambda I-A|=|\lambda I-P^{-1}\cdot B\cdot P|

{\ displaystyle \ Delta _ {A} (\ lambda) = | \ lambda IA ​​| = | \ lambda IP ^ {- 1} \ cdot B \ cdot P |}

\ Delta _ {{A}} (\ lambda) = | \ lambda I-A | = | \ lambda I-P ^ {{- 1}} \ cdot B \ cdot P |

și de atunci $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ este un scalar pe care îl puteți înmulți la stânga și la dreapta $\lambda I$ ${\ displaystyle \ lambda I}$ $\ lambda I$ pentru $P^{-1}$ ${\ displaystyle P ^ {- 1}}$ $P ^ {{- 1}}$ si pentru $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ . Intr-adevar:

\lambda I=\lambda P^{-1}\cdot I\cdot P=P^{-1}\cdot \lambda I\cdot P

{\ displaystyle \ lambda I = \ lambda P ^ {- 1} \ cdot I \ cdot P = P ^ {- 1} \ cdot \ lambda I \ cdot P}

\ lambda I = \ lambda P ^ {{- 1}} \ cdot I \ cdot P = P ^ {{- 1}} \ cdot \ lambda I \ cdot P

Prin urmare, avem:

|\lambda I-P^{-1}\cdot B\cdot P|=|P^{-1}\cdot \lambda I\cdot P-P^{-1}\cdot B\cdot P|=|P^{-1}(\lambda I-B)P|=|P^{-1}|\cdot |(\lambda I-B)|\cdot |P|

{\ displaystyle | \ lambda IP ^ {- 1} \ cdot B \ cdot P | = | P ^ {- 1} \ cdot \ lambda I \ cdot PP ^ {- 1} \ cdot B \ cdot P | = | P ^ {- 1} (\ lambda IB) P | = | P ^ {- 1} | \ cdot | (\ lambda IB) | \ cdot | P |}

{\ displaystyle | \ lambda IP ^ {- 1} \ cdot B \ cdot P | = | P ^ {- 1} \ cdot \ lambda I \ cdot PP ^ {- 1} \ cdot B \ cdot P | = | P ^ {- 1} (\ lambda IB) P | = | P ^ {- 1} | \ cdot | (\ lambda IB) | \ cdot | P |}

de la care $|\lambda I-A|=|\lambda I-B|$ ${\ displaystyle | \ lambda IA | = | \ lambda IB |}$ $| \ lambda I-A | = | \ lambda I-B |$ .

Acest fapt implică faptul că două matrice similare au, de asemenea, aceleași valori proprii , de fapt dacă $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ este o valoare proprie a matricei $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , și $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Este similar cu $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ , avem:

Ax=\lambda x\qquad M^{-1}BMx=\lambda x

{\ displaystyle Ax = \ lambda x \ qquad M ^ {- 1} BMx = \ lambda x}

Ax = \ lambda x \ qquad M ^ {{- 1}} BMx = \ lambda x

pentru un transportator $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ non-zero. Înmulțind ambele părți ale celei de-a doua egalități din stânga cu $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ primesti:

B(Mx)=\lambda (Mx)\

{\ displaystyle B (Mx) = \ lambda (Mx) \}

B (Mx) = \ lambda (Mx) \

pentru care $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ este, de asemenea, valoarea proprie a $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ cu vector propriu $M. X$ ${\ displaystyle Mx}$ $Mx$ .

Cu toate acestea, două matrice cu aceeași urmă, același determinant și același polinom caracteristic nu sunt neapărat similare. De exemplu:

{\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix}}\quad {\begin{bmatrix}1&1\\0&1\\\end{bmatrix}}

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\\ end {bmatrix}} \ quad {\ begin {bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ end {bmatrix}}}

{\ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\\ end {bmatrix}} \ quad {\ begin {bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ end {bmatrix}}

nu sunt matrici similare.

Relația cu endomorfisme

Același subiect în detaliu: Diagonalizabilitate .

Relația de similitudine dintre matrice este utilizată mai ales pentru relația ei strânsă cu teoria endomorfismelor unui spațiu vectorial , rezumată în următoarea afirmație: fie T un endomorfism al unui spațiu vectorial. Matrice asociate cu $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ în ceea ce privește două baze diferite ale spațiului, acestea sunt similare.

Se spune că o matrice similară cu o matrice diagonală este diagonalizabilă. Studiul diagonalizabilității unei matrice este o problemă centrală în algebra liniară. Nu toate matricile sunt diagonalizabile și, în acest sens, pe câmpurile reale și complexe , forma canonică Jordan a unei matrice pătrate $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ definește o matrice triunghiulară $J$ ${\ displaystyle J}$ $J$ similar cu $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ care are o structură cât mai apropiată de o matrice diagonală . În special, matricea este diagonală dacă și numai dacă $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este diagonalizabil, altfel este împărțit în blocuri numite blocuri Jordan .

O importanță deosebită este cazul în care matricea inversabilă care definește relația de similaritate este o matrice unitară . Două matrice $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ sunt unitar echivalente dacă sunt similare în raport cu o matrice unitară $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ , adică $A=UBU^{\dagger }$ ${\ displaystyle A = UBU ^ {\ dagger}}$ $A = UBU ^ {{\ dagger}}$ . De exemplu, matricile hermitiene sunt unitar echivalente cu matricile diagonale reale, iar matricile normale sunt unitar echivalente cu matricile diagonale complexe.

Notă

^ S. Lang , pagina 115 .

Bibliografie

Serge Lang, Algebra liniară, Torino, Bollati Basic Books, 1992, ISBN 88-339-5035-2 .
F. Odetti, M. Raimondo, Elements of Linear Algebra and Analytical Geometry , ECIG, 1992, ISBN 88-7545-717-4 .
( EN ) Horn și Johnson, Matrix Analysis, Cambridge University Press, 1985. ISBN 0-521-38632-2 .

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikționarul conține dicționarul lemă « similaritate »

linkuri externe

(EN) Eric W. Weisstein, Transformarea similarității , în MathWorld Wolfram Research.
( EN ) Peter J Eccles - Scurte note de curs - Similaritate și diagonalizare ( PDF ), pe maths.manchester.ac.uk . Adus la 20 ianuarie 2014 (arhivat din original la 3 februarie 2014) .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] S. Lang , pagina 115 .

[1]