Lema lui Schur

În matematică , lema lui Schur este un rezultat elementar, dar extrem de util în teoria reprezentărilor de grup și a algebrelor . În cazul grupurilor se spune că dacă $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ Și $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ sunt două reprezentări ireductibile ale unui grup $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ Și $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ este un morfism liniar din $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ la $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ care comută cu acțiunea grupului , atunci $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ este inversabil sau $\phi =0$ ${\ displaystyle \ phi = 0}$ ${\ displaystyle \ phi = 0}$ . Un caz particular important este acela în care $V=W$ ${\ displaystyle V = W}$ $V = W$ prin urmare $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ este un endomorfism . Issai Schur a folosit acest rezultat pentru a demonstra relațiile de ortogonalitate ale lui Schur și a dezvoltat baza teoriei reprezentării de grup. Lema lui Schur generalizează la grupurile Lie și algebrele Lie , iar cea mai comună generalizare în acest sens se datorează lui Jacques Dixmier .

Formulare în limba modulelor

De sine $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ Și $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ sunt două module simple pe un inel $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ apoi orice omomorfism $f:M\to N$ ${\ displaystyle f: M \ to N}$ $f: M \ to N$ din $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ -modulele care nu sunt identice nule sunt inversabile. În special, inelul de endomorfism al unui modul simplu este un corp .

Condiția care $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este un homomorfism al modulelor înseamnă că

f(rm)=rf(m)

{\ displaystyle f (rm) = rf (m)}

{\ displaystyle f (rm) = rf (m)}

pentru fiecare

m\in M

{\ displaystyle m \ în M}

m \ în M

Și

r\in R.

{\ displaystyle r \ in R.}

{\ displaystyle r \ in R.}

Lema lui Schur este frecvent aplicată în următorul caz particular. Este $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ o algebră de câmp $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ numere complexe și let $M=N$ ${\ displaystyle M = N}$ $M = N$ A $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ -Formă simplă de mărime finită $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ . Lema lui Schur spune că inelul de endomorfism al modulului $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ este un corp ; include $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ în nucleul său, este supradimensional în sus $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ și deci coincide cu $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ . Rezultă că inelul de endomorfism al $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ este „cât mai mic posibil”. Mai general, acest rezultat este valabil pentru algebre pe orice câmp închis algebric și pentru module simple a căror dimensiune este cel mult contabilă. Când câmpul nu este închis algebric, este deosebit de interesant cazul în care inelul de endomorfism este cât mai mic posibil: un modul simplu pe un $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ -algebra se spune că este absolut simplă dacă inelul său de endomorfism este izomorf a $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ . Acest lucru este în general mai puternic decât a fi dur pe teren $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ , și implică faptul că modulul este, de asemenea, ireductibil la închiderea algebrică a $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ .

Formularea în limbajul matricilor

Este $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ un grup de matrice inversabile complexe. Aceasta înseamnă că $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ este un set de matrice pătrate de ordine $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ cu elemente complexe, e $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ este închis sub operația de multiplicare și inversare a matricei . Să presupunem, de asemenea, că $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ este ireductibil: nu există subspatii $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ pe lângă și spațiul întreg care sunt invariante sub acțiunea lui $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ . Cu alte cuvinte,

{\text{se }}gV\subseteq V{\text{ per ogni }}g{\text{ appartenente a }}G,{\text{ allora o }}V=0{\text{ oppure }}V=\mathbb {C} ^{n}.

{\ displaystyle {\ text {se}} gV \ subseteq V {\ text {pentru fiecare}} g {\ text {aparținând}} G, {\ text {apoi o}} V = 0 {\ text {sau} } V = \ mathbb {C} ^ {n}.}

{\ text {se}} gV \ subseteq V {\ text {pentru fiecare}} g {\ text {aparținând}} G, {\ text {apoi o}} V = 0 {\ text {sau}} V = {\ mathbb {C}} ^ {n}.

Lema lui Schur, în cazul special al unei singure reprezentări, devine: dacă $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este o matrice complexă de ordine $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ care comută cu toate matricile în $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ , asa de $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este o matrice scalară . Un corolar simplu este că fiecare reprezentare complexă ireductibilă a unui grup abelian este de dimensiune $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ .

Formularea în limbajul reprezentărilor de grup

Versiunea de limbă a grupului este un caz special al versiunii de limbă a modulului: o reprezentare a unui grup $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ este un modul pe algebra de grup a $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ .

Lasa-i sa fie $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ un grup, $p:G\to GL(V)$ ${\ displaystyle p: G \ to GL (V)}$ $p: G \ to GL (V)$ Și $q:G\to GL(W)$ ${\ displaystyle q: G \ to GL (W)}$ $q: G \ to GL (W)$ două reprezentări ireductibile ale $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ pe un câmp fix $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ și fie $T:V\to W$ ${\ displaystyle T: V \ to W}$ ${\ displaystyle T: V \ to W}$ o aplicație liniară $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ -invariant, adică astfel încât $T(p(g)(v))=q(g)(T(v))$ ${\ displaystyle T (p (g) (v)) = q (g) (T (v))}$ $T (p (g) (v)) = q (g) (T (v))$ pentru fiecare $v\in V$ ${\ displaystyle v \ in V}$ $v \ în V$ , $g\in G$ ${\ displaystyle g \ în G}$ $g \ în G$ . Atunci:

$T=0$ ${\ displaystyle T = 0}$ $T = 0$ sau $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este un izomorfism ;
de sine $V=W$ ${\ displaystyle V = W}$ $V = W$ Și $p=q$ ${\ displaystyle p = q}$ $p = q$ si daca $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ este închis algebric atunci $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este multiplicarea cu un scalar .

Demonstrație

Atâta timp cât $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ Și $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ - invariant, $\operatorname {Ker} (T)$ ${\ displaystyle \ operatorname {Ker} (T)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Ker} (T)}$ Și $\operatorname {Im} (T)$ ${\ displaystyle \ operatorname {Im} (T)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Im} (T)}$ sunt subspatii G-invariante. Avem asta, de atunci $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ este ireductibil sau $\operatorname {Ker} (T)=0$ ${\ displaystyle \ operatorname {Ker} (T) = 0}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Ker} (T) = 0}$ sau $\operatorname {Ker} (T)=V$ ${\ displaystyle \ operatorname {Ker} (T) = V}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Ker} (T) = V}$ . De sine $\operatorname {Ker} (T)=V$ ${\ displaystyle \ operatorname {Ker} (T) = V}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Ker} (T) = V}$ asa de $T=0$ ${\ displaystyle T = 0}$ $T = 0$ . De sine $\operatorname {Ker} (T)=0$ ${\ displaystyle \ operatorname {Ker} (T) = 0}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Ker} (T) = 0}$ asa de $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este injectiv . Atâta timp cât $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ este ireductibil urmează $\operatorname {Im} (T)=W$ ${\ displaystyle \ operatorname {Im} (T) = W}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Im} (T) = W}$ Așadar $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este surjectiv . Prin urmare $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este un izomorfism .
$T\colon V\to V$ ${\ displaystyle T \ colon V \ to V}$ ${\ displaystyle T \ colon V \ to V}$ este un operator liniar ; este $\lambda \in K$ ${\ displaystyle \ lambda \ în K}$ $\ lambda \ în K$ valoarea sa proprie (există pentru că $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ este închis algebric): atunci $\operatorname {Ker} (T-\lambda I)\neq 0$ ${\ displaystyle \ operatorname {Ker} (T- \ lambda I) \ neq 0}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Ker} (T- \ lambda I) \ neq 0}$ , deoarece conține cel puțin un vector propriu . Operatorul liniar $S:=T-\lambda I$ ${\ displaystyle S: = T- \ lambda I}$ $S: = T- \ lambda I$ este prea $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ -invariant. Atâta timp cât $\operatorname {Ker} S\neq 0$ ${\ displaystyle \ operatorname {Ker} S \ neq 0}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Ker} S \ neq 0}$ Și $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ este ireductibil avem asta $\operatorname {Ker} S=V$ ${\ displaystyle \ operatorname {Ker} S = V}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Ker} S = V}$ prin urmare $S=0$ ${\ displaystyle S = 0}$ $S = 0$ . Prin urmare $T-\lambda I=0$ ${\ displaystyle T- \ lambda I = 0}$ $T- \ lambda I = 0$ prin urmare $T=\lambda I$ ${\ displaystyle T = \ lambda I}$ $T = \ lambda I$ . Adică $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este multiplicarea cu un scalar.

Bibliografie

David S. Dummit și Richard M. Foote, Algebra abstractă , ediția a II-a, P. 337.
Tsit-Yuen Lam, Un prim curs în inele necomutative , Berlin și New York, Springer-Verlag , 2001, ISBN 978-0-387-95325-0 .

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică