Corp (matematică)

În matematică , un corp este o anumită structură algebrică , care poate fi considerată intermediară între cea a unui inel și cea a unui câmp .

Un corp este de fapt un set cu două operații binare , numite sumă și produs și indicate respectiv cu $+$ ${\ displaystyle +}$ $+$ Și $*$ ${\ displaystyle *}$ $*$ , care are toate proprietățile obișnuite ale unui câmp, cu excepția proprietății comutative pentru produs. În mod echivalent, este un inel unitate în care fiecare element non-nul are un invers multiplicativ.

Definiție

Un corp este un întreg $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ , echipat cu două operații binare interne $+$ ${\ displaystyle +}$ $+$ Și $*$ ${\ displaystyle *}$ $*$ , care satisface următoarele axiome :

$(K,+)$ ${\ displaystyle (K, +)}$ ${\ displaystyle (K, +)}$ este un grup abelian cu un element neutru $0$ ${\ displaystyle 0}$ ${\ displaystyle 0}$ :

$(a+b)+c=a+(b+c)$ ${\ displaystyle (a + b) + c = a + (b + c)}$ ${\ displaystyle (a + b) + c = a + (b + c)}$
$a+b=b+a$ ${\ displaystyle a + b = b + a}$ ${\ displaystyle a + b = b + a}$
$0+a=a+0=a$ ${\ displaystyle 0 + a = a + 0 = a}$ ${\ displaystyle 0 + a = a + 0 = a}$
pentru fiecare $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ există un element $(-a)$ ${\ displaystyle (-a)}$ ${\ displaystyle (-a)}$ astfel încât $a+(-a)=0$ ${\ displaystyle a + (- a) = 0}$ ${\ displaystyle a + (- a) = 0}$

$(K^{*},*)$ ${\ displaystyle (K ^ {*}, *)}$ ${\ displaystyle (K ^ {*}, *)}$ este un grup cu un element neutru $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ :

$a*(b*c)=(a*b)*c$ ${\ displaystyle a * (b * c) = (a * b) * c}$ ${\ displaystyle a * (b * c) = (a * b) * c}$
$1*a=a*1=a$ ${\ displaystyle 1 * a = a * 1 = a}$ ${\ displaystyle 1 * a = a * 1 = a}$
pentru fiecare $a\neq 0$ ${\ displaystyle a \ neq 0}$ $a \ neq 0$ există un element $a^{-1}$ ${\ displaystyle a ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle a ^ {- 1}}$ astfel încât $a*a^{-1}=a^{-1}*a=1$ ${\ displaystyle a * a ^ {- 1} = a ^ {- 1} * a = 1}$ ${\ displaystyle a * a ^ {- 1} = a ^ {- 1} * a = 1}$

Înmulțirea este distributivă în raport cu suma:

$a*(b+c)=a*b+a*c$ ${\ displaystyle a * (b + c) = a * b + a * c}$ ${\ displaystyle a * (b + c) = a * b + a * c}$
$(a+b)*c=a*c+b*c$ ${\ displaystyle (a + b) * c = a * c + b * c}$ ${\ displaystyle (a + b) * c = a * c + b * c}$

(relațiile trebuie să fie valabile pentru fiecare $la, b$ ${\ displaystyle a, b}$ ${\ displaystyle a, b}$ Și $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ în $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ )

În definiție, $K^{*}=K\setminus \{0\}$ ${\ displaystyle K ^ {*} = K \ setminus \ {0 \}}$ ${\ displaystyle K ^ {*} = K \ setminus \ {0 \}}$ .

Un corp în care multiplicarea este comutativă se numește corp comutativ și, de obicei, un câmp .

Exemple

Fiecare câmp este, de asemenea, un corp: prin urmare, câmpurile sunt corpuri $\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q}, \ mathbb {R}, \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q}, \ mathbb {R}, \ mathbb {C}}$ a numerelor raționale , reale și complexe .

Întregul $\mathbb {H}$ ${\ displaystyle \ mathbb {H}}$ ${\ mathbb {H}}$ cuaternionii sunt un corp, dar nu este un câmp, de fapt produsul dintre cuaternioni nu este comutativ.

Proprietate

Ecuații

Într-un corp, ecuațiile pot fi rezolvate într-un mod unic

a*x=b

{\ displaystyle a * x = b}

{\ displaystyle a * x = b}

,

x*a=b

{\ displaystyle x * a = b}

{\ displaystyle x * a = b}

pentru fiecare $la, b$ ${\ displaystyle a, b}$ ${\ displaystyle a, b}$ aparținând $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ cu $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ diferit de 0.

Bibliografie

(EN) PM Cohn,Câmpuri înclinate. Teoria inelelor de diviziune generală , Enciclopedia matematicii și aplicațiile sale, vol. 57, Cambridge, Cambridge University Press, 1995, ISBN 0-521-43217-0 .

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) Body , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică