Grup simplu

În matematică , un grup simplu este un grup nontrivial ale cărui unice subgrupuri normale sunt subgrupul trivial și grupul în sine.

Cu alte cuvinte, grupurile simple sunt grupuri care conțin cel mai mic număr de subgrupuri normale. Grupurile simple sunt importante în teoria grupurilor, în special în teoria grupurilor finite , deoarece formează „blocurile primare” pentru construirea oricărui grup finit.

Exemple

Un grup ciclic $G=\mathbb {Z} /m\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle G = \ mathbb {Z} / m \ mathbb {Z}}$ $G = \ mathbb {Z} / m \ mathbb {Z}$ este simplu dacă și numai dacă $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ este prim : de fapt toate subgrupurile de $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ sunt normale și corespund divizorilor lui $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ .
Grupul numerelor întregi $\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z}$ nu este ușor, deoarece de exemplu numerele pare formează un subgrup normal. Mai general, un grup abelian este simplu dacă și numai dacă este ciclic de ordinul întâi.
Cel mai mic exemplu de grup simplu non-Abelian este grupul alternativ $A_{5}$ ${\ displaystyle A_ {5}}$ $A_ {5}$ de ordine $60$ ${\ displaystyle 60}$ $60$ . Mai general, fiecare grup alternativ $A_{n}$ ${\ displaystyle A_ {n}}$ $A_ {n}$ este simplu pentru $n>4$ ${\ displaystyle n> 4}$ $n> 4$ .
Al doilea exemplu este grupul liniar special proiectiv ${\rm {{PSL}(2,7)}}$ ${\ displaystyle {\ rm {{PSL} (2,7)}}}$ ${\ rm {{PSL} (2,7)}}$ , de ordine $168$ ${\ displaystyle 168}$ $168$ .