Grupul primar

În teoria grupurilor, dat un număr prim $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ , este definit ca a $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ -grup ca un grup ale cărui elemente au toate o perioadă care este o putere de $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ . Cu alte cuvinte, pentru fiecare element $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ există un număr întreg non-negativ al grupului $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ astfel încât $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ ridicat la putere $p^{m}$ ${\ displaystyle p ^ {m}}$ $p ^ {m}$ coincide cu unitatea grupului în sine. Se spune și un astfel de grup $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ -primar , sau pur și simplu primar .

Pentru un grup finit G care cere să fie un grup p este echivalent cu a cere ca ordinea lui G , adică numărul elementelor sale, să fie o putere a numărului prim p .

Știm că grupurile primare finite se bucură de multe proprietăți. Unul dintre primele rezultate standard, obținut folosind ecuația clasei conjugării, afirmă că centrul nu poate fi redus doar la unitate, adică la subgrupul trivial. Mai strict, se arată că fiecare grup primar finit este atât nilpotent, cât și rezolvabil .

Două grupuri primare de același ordin nu sunt neapărat izomorfe ; de exemplu grupul ciclic C ₄ și grupul Klein V ₄ sunt ambele 2 grupuri de ordinul 4, dar nu sunt izomorfe. Multe grupuri primare sunt non- abeliene : grupa diedrică D ₄ este un grup 2 non-abelian.

Fiecare grup finit netrivial conține un subgrup care este un grup primar. Acest lucru este asigurat de teoremele lui Sylow .

În sens asimptotic, se crede de obicei că aproape toate grupurile finite sunt grupuri primare, mai degrabă că aproape toate grupurile finite sunt 2-grupuri. De fapt, dacă notăm cu F (n) funcția care asociază fiecărui număr întreg pozitiv n raportul dintre numărul de 2 grupuri de ordine neizomorfe cel mult n cu numărul tuturor grupurilor de ordine neizomorfe cel mult n , o astfel de funcție pare a fi monotonă în creștere și are tendința de 1. Ca exemplu al celor 49 910 529 484 grupuri neizomorfe de ordine cel mult 2000, până la 49 487 365 422 sunt 2 grupuri și, prin urmare, F (2000) > 0,9915 ^[1] .

Acum oferim un exemplu de grup primar infinit. Notat ca de obicei prin p un număr prim, numim G mulțimea numerelor raționale de forma m / p ⁿ cu m și n numere întregi naturale astfel încât m < p ⁿ . G este închis în raport cu suma modulo 1, această operație este comutativă și inversabilă, iar numărul 0 este elementul său neutru. G cu suma modulo 1 constituie un grup p infinit și abelian. Fiecare grup izomorf G- se numește grup p ^∞ . Grupurile acestor clase de izomorfism joacă un rol important în clasificarea grupurilor abeliene infinite.

Clasa p ^∞ -grupuri poate fi utilă reprezentată de subgrupul multiplicativ al C \ {0} format din toate p ⁿ -a rădăcinile unității cu n întreg natural arbitrar.
Un alt posibil reprezentant al grupelor p ^∞ este granița directă a grupelor Z / p ⁿ Z în raport cu omomorfismele Z / p ⁿ Z → Z / p ^{n +1} Z care sunt induse de înmulțirea cu p .

Notă

^ Besche .

Bibliografie

( EN ) Hans Ulrich Besche, Bettina Eick, EA O'Brien, Un proiect al mileniului: construirea de grupuri mici , în International Journal of Algebra and Computation , vol. 12, nr. 5, 2002, pp. 623-644, DOI : 10.1142 / S0218196702001115 .

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Besche .

[1]