Teoremele lui Sylow

În algebră , teoremele lui Sylow sunt rezultate fundamentale ale teoriei grupurilor finite, care permit descompunerea grupurilor în subgrupuri al căror studiu este mai ușor.

Acestea afirmă următoarele. Este $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ un grup finit de ordine $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ (adică constând din $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ elemente). Este $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ un număr prim. Apoi pentru fiecare putere $m=p^{r}$ ${\ displaystyle m = p ^ {r}}$ $m = p ^ {r}$ din $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ care împarte $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ există subgrupuri de $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ de ordine $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ . De asemenea, dacă $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ este puterea maximă a $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ care împarte $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ , apoi subgrupurile din $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ de ordine $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ se conjugă între ele.

Aceste teoreme au fost dovedite pentru prima dată în 1872 de Ludwig Sylow și publicate în prestigioasa revistă Matematische Annalen .

Prima teoremă a lui Sylow

Afirmație

Este $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ un grup finit, așa să fie $|G|$ ${\ displaystyle | G |}$ $| G |$ ordinea acestuia (adică numărul elementelor sale). Apoi pentru fiecare primă $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ și fiecare întreg $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ astfel încât $p^{r}$ ${\ displaystyle p ^ {r}}$ $p ^ {r}$ acțiune $|G|$ ${\ displaystyle | G |}$ $| G |$ , există un subgrup de $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ de ordine $p^{r}$ ${\ displaystyle p ^ {r}}$ $p ^ {r}$ .

Demonstrație

Este suficient să dovedim teorema pentru cel mai mare $p^{r}$ ${\ displaystyle p ^ {r}}$ $p ^ {r}$ care împarte $|G|$ ${\ displaystyle | G |}$ $| G |$ . Deci, să scriem $|G|=p^{r}m$ ${\ displaystyle | G | = p ^ {r} m}$ $| G | = p ^ {r} m$ , denotând cu $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ un întreg pozitiv care nu este divizibil cu $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ . Apoi denotăm cu $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ colectarea tuturor subseturilor de $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ format de $p^{r}$ ${\ displaystyle p ^ {r}}$ $p ^ {r}$ elemente:

X=\{S\subseteq G\ |\ |S|=p^{r}\}.

{\ displaystyle X = \ {S \ subseteq G \ | \ | S | = p ^ {r} \}.}

X = \ {S \ subseteq G \ | \ | S | = p ^ {r} \}.

Cardinalitatea $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ nu este divizibil cu $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ . De fapt este asigurat de expresie

|X|={p^{r}m \choose p^{r}}={\frac {(p^{r}m)(p^{r}m-1)\ldots (p^{r}m-i)\ldots (p^{r}m-p^{r}+1)}{(p^{r})(p^{r}-1)\ldots (p^{r}-i)\ldots 1}}

{\ displaystyle | X | = {p ^ {r} m \ alege p ^ {r}} = {\ frac {(p ^ {r} m) (p ^ {r} m-1) \ ldots (p ^ {r} mi) \ ldots (p ^ {r} mp ^ {r} +1)} {(p ^ {r}) (p ^ {r} -1) \ ldots (p ^ {r} -i) \ ldots 1}}}

| X | = {p ^ {r} m \ alege p ^ {r}} = {\ frac {(p ^ {r} m) (p ^ {r} m-1) \ ldots (p ^ {r} mi) \ ldots (p ^ {r} mp ^ {r} +1)} {(p ^ {r}) (p ^ {r} -1) \ ldots (p ^ {r} -i) \ ldots 1 }}

.

Returnează un număr întreg care nu este divizibil cu $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ : de fapt un divizor al $|X|$ ${\ displaystyle | X |}$ $| X |$ nu putea proveni decât din factori ai numitorului formei $p^{r}-i$ ${\ displaystyle p ^ {r} -i}$ $p ^ {r} -i$ cu $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ divizibil cu $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ ; pentru fiecare dintre acestea $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ noi scriem $i=p^{q}j$ ${\ displaystyle i = p ^ {q} j}$ $i = p ^ {q} j$ , în care se înțelege că $j$ ${\ displaystyle j}$ $j$ nu este divizibil cu p ; în expresia anterioară putem deci izola factorul

{\frac {p^{r}m-i}{p^{r}-i}}={\frac {p^{r-q}m-j}{p^{r-q}-j}},

{\ displaystyle {\ frac {p ^ {r} mi} {p ^ {r} -i}} = {\ frac {p ^ {rq} mj} {p ^ {rq} -j}},}

{\ frac {p ^ {r} m-i} {p ^ {r} -i}} = {\ frac {p ^ {{r-q}} m-j} {p ^ {{r-q}} - j}},

care este incapabil să furnizeze o $|X|$ ${\ displaystyle | X |}$ $| X |$ un factor rațional care conține o putere pozitivă de $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ ; concluzionăm că este posibil să simplificăm numărătorul și numitorul expresiei precedente cu $|X|$ ${\ displaystyle | X |}$ $| X |$ , pentru a obține o expresie care trebuie să furnizeze un număr întreg pozitiv care nu este divizibil cu $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ .

Definim o acțiune de $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ pe $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ :

{\begin{matrix}G\times X&\rightarrow &X\\(g,S)&\mapsto &gS=\{gs\,|\,s\in S\}.\end{matrix}}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} G \ times X & \ rightarrow & X \\ (g, S) & \ mapsto & gS = \ {gs \, | \, s \ in S \}. \ end {matrix }}}

{\ begin {matrix} G \ times X & \ rightarrow & X \\ (g, S) & \ mapsto & gS = \ {gs \, | \, s \ in S \}. \ end {matrix}}

Este $O(S)$ ${\ displaystyle O (S)}$ $O (S)$ orbita de $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ prin acțiune. Cu siguranță există un $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ a cărei orbită $O(S)$ ${\ displaystyle O (S)}$ $O (S)$ are cardinalitate care nu este divizibilă cu $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ (deoarece orbitele formează o partiție a $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ , Și $|X|$ ${\ displaystyle | X |}$ $| X |$ nu este multiplu de $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ ).

Este ${\rm {Stab}}_{G}(S)$ ${\ displaystyle {\ rm {Stab}} _ {G} (S)}$ ${{\ rm {Stab}}} _ {G} (S)$ stabilizatorul de $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ . Aplicând teorema acțiunii obținem:

|G|=|O(S)|\cdot |{\rm {Stab}}_{G}(S)|.

{\ displaystyle | G | = | O (S) | \ cdot | {\ rm {Stab}} _ {G} (S) |.}

| G | = | O (S) | \ cdot | {{\ rm {Stab}}} _ {G} (S) |.

Numarul $p^{r}$ ${\ displaystyle p ^ {r}}$ $p ^ {r}$ împarte $|G|$ ${\ displaystyle | G |}$ $| G |$ , dar $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ nu împarte $|O(S)|$ ${\ displaystyle | O (S) |}$ $| O (S) |$ : asa de $p^{r}$ ${\ displaystyle p ^ {r}}$ $p ^ {r}$ împarte $|{\rm {Stab}}_{G}(S)|$ ${\ displaystyle | {\ rm {Stab}} _ {G} (S) |}$ $| {{\ rm {Stab}}} _ {G} (S) |$ . Rezultă că

|{\rm {Stab}}_{G}(S)|\geq p^{r}.

{\ displaystyle | {\ rm {Stab}} _ {G} (S) | \ geq p ^ {r}.}

| {{\ rm {Stab}}} _ {G} (S) | \ geq p ^ {r}.

Pe de altă parte, a reparat un element $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ în $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ , aplicația

{\rm {Stab}}_{G}(S)\to S\,\!

{\ displaystyle {\ rm {Stab}} _ {G} (S) \ to S \, \!}

{{\ rm {Stab}}} _ {G} (S) \ to S \, \!

g\mapsto g\cdot s\,\!

{\ displaystyle g \ mapsto g \ cdot s \, \!}

g \ mapsto g \ cdot s \, \!

este injectiv. Deci se aplică și

|{\rm {Stab}}_{G}(S)|\leq p^{r}.

{\ displaystyle | {\ rm {Stab}} _ {G} (S) | \ leq p ^ {r}.}

| {{\ rm {Stab}}} _ {G} (S) | \ leq p ^ {r}.

Rezultă că ${\rm {Stab}}_{G}(S)$ ${\ displaystyle {\ rm {Stab}} _ {G} (S)}$ ${{\ rm {Stab}}} _ {G} (S)$ este un subgrup de cardinalitate $p^{r}$ ${\ displaystyle p ^ {r}}$ $p ^ {r}$ .

A doua teoremă a lui Sylow

Pentru a afirma a doua teoremă a lui Sylow, este util să se definească așa - numitul p-Sylows .

Definiția p-subgrupului lui Sylow

Este $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ un grup finit, așa să fie $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ un număr prim care împarte ordinea $|G|$ ${\ displaystyle | G |}$ $| G |$ din $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ . Este $|G|=p^{k}m$ ${\ displaystyle | G | = p ^ {k} m}$ $| G | = p ^ {k} m$ , cu $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ nu este divizibil cu $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ . (Asa de $p^{k}$ ${\ displaystyle p ^ {k}}$ $p ^ {k}$ este puterea maximă a $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ care împarte ordinea $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ .) Se definește pe sine $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ - Subgrupul Sylow (sau pur și simplu $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ -Încet ) de $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ fiecare subgrup de $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ de ordine $p^{k}$ ${\ displaystyle p ^ {k}}$ $p ^ {k}$ .

Afirmație

Este $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ un grup, și așa să fie $|G|=p^{k}m$ ${\ displaystyle | G | = p ^ {k} m}$ $| G | = p ^ {k} m$ , cu $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ și $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ acopera-ma. Deci, toate p-Sylow $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ sunt conjugate , adică numite Syl _p ( G ) ansamblul p-Sylows al $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ , $\forall H,K\in Syl_{p}(G)\;\exists g\in G:g^{-1}Hg=K.$ ${\ displaystyle \ forall H, K \ în Syl_ {p} (G) \; \ există g \ în G: g ^ {- 1} Hg = K.}$ $\ forall H, K \ în Syl_ {p} (G) \; \ există g \ în G: g ^ {{- 1}} Hg = K.$

Demonstrație

Apelăm (pentru agilitatea notațiilor) $A\,\colon \!=\mathrm {Syl} _{p}\,(G)$ ${\ displaystyle A \, \ colon \! = \ mathrm {Syl} _ {p} \, (G)}$ ${\ displaystyle A \, \ colon \! = \ mathrm {Syl} _ {p} \, (G)}$ . Pentru a arăta că toate p-Sylow sunt din $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ sunt conjugate, este suficient să arătăm că acțiunea prin conjugare în ansamblu $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este tranzitiv, adică are o singură orbită.

G\times A\longrightarrow A

{\ displaystyle G \ times A \ longrightarrow A}

G \ times A \ longrightarrow A

(g,P)\mapsto g^{-1}Pg

{\ displaystyle (g, P) \ mapsto g ^ {- 1} Pg}

(g, P) \ mapsto g ^ {{- 1}} Pg

Procedăm absurd. Fie D ₁ și D ₂ două orbite distincte, și P să fie un element al lui D ₁ , Q un element al lui D ₂ și x un element al lui Q. Observăm că conjugarea dintre P și x , pe care o denotăm prin $P^{x}=x^{-1}Px$ ${\ displaystyle P ^ {x} = x ^ {- 1} Px}$ $P ^ {x} = x ^ {{- 1}} Px$ , este un element al lui D ₁ . Deci putem restrânge acțiunea la D ₁ :

Q\times D_{1}\longrightarrow D_{1}

{\ displaystyle Q \ times D_ {1} \ longrightarrow D_ {1}}

Q \ times D_ {1} \ longrightarrow D_ {1}

(q,P)\mapsto q^{-1}Pq

{\ displaystyle (q, P) \ mapsto q ^ {- 1} Pq}

(q, P) \ mapsto q ^ {{- 1}} Pq

Această acțiune are un număr r de orbite, pe care le notăm cu O (P _i ) , deoarece P _i variază în D ₁ . Pentru ecuația orbitelor, rezultă deci că

$|D_{1}|=\sum _{i=1}^{r}{|O(P_{i})|}=\sum _{i=1}^{r}{|Q:St_{Q}(P_{i})|}=\sum _{i=1}^{r}{|Q:N_{Q}(P_{i})|}$ ${\ displaystyle | D_ {1} | = \ sum _ {i = 1} ^ {r} {| O (P_ {i}) |} = \ sum _ {i = 1} ^ {r} {| Q: St_ {Q} (P_ {i}) |} = \ sum _ {i = 1} ^ {r} {| Q: N_ {Q} (P_ {i}) |}}$ $| D_ {1} | = \ sum _ {{i = 1}} ^ {r} {| O (P_ {i}) |} = \ sum _ {{i = 1}} ^ {r} {| Q : St_ {Q} (P_ {i}) |} = \ sum _ {{i = 1}} ^ {r} {| Q: N_ {Q} (P_ {i}) |}$

unde ultima egalitate este justificată de faptul că într-o acțiune prin conjugare stabilizatorul elementului P _i este exact normalizatorul în $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ de P _i . Deoarece stabilizatorii sunt subgrupuri de $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ și de atunci $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ este un p-Sylow , fiecare orbită are ordinea o $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ sau o putere proprie a $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ (este o consecință imediată a teoremei lui Lagrange ). În același timp, deoarece P aparține lui D ₁ , putem spune că D ₁ este orbita lui $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ în prima acțiune pe care am definit-o. Asa de, $|D_{1}|=|O(P)|=|G:St_{G}(P)|=|G:N_{G}(P)|$ ${\ displaystyle | D_ {1} | = | O (P) | = | G: St_ {G} (P) | = | G: N_ {G} (P) |}$ $| D_ {1} | = | O (P) | = | G: St_ {G} (P) | = | G: N_ {G} (P) |$ . Prin teorema lui Lagrange, $|G|=|G:N_{G}(P)||N_{G}(P)|=|G:N_{G}(P)||N_{G}(P):P||P|$ ${\ displaystyle | G | = | G: N_ {G} (P) || N_ {G} (P) | = | G: N_ {G} (P) || N_ {G} (P): P | | P |}$ $| G | = | G: N_ {G} (P) || N_ {G} (P) | = | G: N_ {G} (P) || N_ {G} (P): P || P |$ . Prin urmare, rezultă că $|G:N_{G}(P)||N_{G}(P):P|=m$ ${\ displaystyle | G: N_ {G} (P) || N_ {G} (P): P | = m}$ $| G: N_ {G} (P) || N_ {G} (P): P | = m$ . Asa de, $|G:N_{G}(P)|$ ${\ displaystyle | G: N_ {G} (P) |}$ $| G: N_ {G} (P) |$ este un divizor al lui m și, prin urmare, nu este împărțit la p . Astfel, de asemenea $|D_{1}|$ ${\ displaystyle | D_ {1} |}$ $| D_ {1} |$ nu este împărțit la p , deci suplimentele care apar în însumarea scrisă mai sus nu pot fi toate puteri ale lui p (deoarece altfel ar fi divizibile cu p ). Din aceasta rezultă că există cel puțin un j astfel încât $|O(P_{j})|=1$ ${\ displaystyle | O (P_ {j}) | = 1}$ $| O (P_ {j}) | = 1$ . Aceasta înseamnă că $|Q:N_{Q}(P_{j})|=1|$ ${\ displaystyle | Î: N_ {Q} (P_ {j}) | = 1 |}$ $| Î: N_ {Q} (P_ {j}) | = 1 |$ și, prin urmare, asta $Q=N_{Q}(P_{j})$ ${\ displaystyle Q = N_ {Q} (P_ {j})}$ $Q = N_ {Q} (P_ {j})$ . Ceea ce implică asta $QP_{j}=P_{j}Q$ ${\ displaystyle QP_ {j} = P_ {j} Q}$ $QP_ {j} = P_ {j} Q$ , atâta timp cât $q^{-1}P_{j}q=P_{j}\;\forall q\in Q$ ${\ displaystyle q ^ {- 1} P_ {j} q = P_ {j} \; \ forall q \ in Q}$ $q ^ {{- 1}} P_ {j} q = P_ {j} \; \ forall q \ in Q$ . Asa de, $QP_{j}\leq G$ ${\ displaystyle QP_ {j} \ leq G}$ $QP_ {j} \ leq G$ iar comanda dvs. este valabilă:

$|QP_{j}|={\frac {|Q||P_{j}|}{|Q\cap P_{j}|}}$ ${\ displaystyle | QP_ {j} | = {\ frac {| Q || P_ {j} |} {| Q \ cap P_ {j} |}}}$ $| QP_ {j} | = {\ frac {| Q || P_ {j} |} {| Q \ cap P_ {j} |}}$ .

Numeratorul ține $p^{k}\cdot p^{k}$ ${\ displaystyle p ^ {k} \ cdot p ^ {k}}$ $p ^ {k} \ cdot p ^ {k}$ întrucât ambii aparțin lui A ; în numitor găsim în schimb o putere a lui p , cu un exponent strict mai mic decât k , din moment ce $Q\cap P_{j}\leq Q$ ${\ displaystyle Q \ cap P_ {j} \ leq Q}$ $Q \ cap P_ {j} \ leq Q$ Și $Q\cap P_{j}\leq P_{j}$ ${\ displaystyle Q \ cap P_ {j} \ leq P_ {j}}$ $Q \ cap P_ {j} \ leq P_ {j}$ . Evident, este posibil ca numitorul să nu fie în valoare de p ^k, altfel ar rezulta $Q=P_{j}$ ${\ displaystyle Q = P_ {j}}$ $Q = P_ {j}$ , dar acest lucru nu este posibil deoarece aparțin a două orbite pe care prin ipoteză am presupus-o a fi distincte. Asa de, $|QP_{j}|=p^{z}$ ${\ displaystyle | QP_ {j} | = p ^ {z}}$ $| QP_ {j} | = p ^ {z}$ , cu $z>k$ ${\ displaystyle z> k}$ $z> k$ . Dar acest lucru este absurd, deoarece $QP_{j}\leq G$ ${\ displaystyle QP_ {j} \ leq G}$ $QP_ {j} \ leq G$ . Prin urmare, ipoteza că D ₁ și D ₂ au fost distincte este falsă, iar acțiunea este tranzitivă.

A treia teoremă a lui Sylow

A treia teoremă a lui Sylow oferă informații importante despre numărul de p-Sylows dintr-un grup, utilizând conceptele de divizibilitate și congruență .

Afirmație

Să fie G un grup și să fie | G | = p ^k m , cu p și m coprimă. Apoi, numit n _p numărul de p-Sylows din G , rezultă:

n _p | m
n _p ≡ 1 mod p

Demonstrație

A spus A : = Syl _p ( G ), evident n _p = | A |. Având în vedere P ∈ A , prin a doua teoremă a lui Sylow rezultă că | A | = | O ( P ) |, având în vedere acțiunea prin conjugarea lui G pe A. Asa de, $|A|=|G:St_{G}(P)|=|G:N_{G}(P)|$ ${\ displaystyle | A | = | G: St_ {G} (P) | = | G: N_ {G} (P) |}$ $| A | = | G: St_ {G} (P) | = | G: N_ {G} (P) |$ , unde ultima egalitate rezultă din faptul că stabilizatorul lui P în acțiunea prin conjugare este tocmai normalizatorul lui P în G. Prin teorema lui Lagrange, $|G|=|G:N_{G}(P)||N_{G}(P)|=|G:N_{G}(P)||N_{G}(P):P||P|$ ${\ displaystyle | G | = | G: N_ {G} (P) || N_ {G} (P) | = | G: N_ {G} (P) || N_ {G} (P): P | | P |}$ $| G | = | G: N_ {G} (P) || N_ {G} (P) | = | G: N_ {G} (P) || N_ {G} (P): P || P |$ . Prin urmare, din moment ce | P | = p ^k , $|G:N_{G}(P)|$ ${\ displaystyle | G: N_ {G} (P) |}$ $| G: N_ {G} (P) |$ împarte m . Deoarece n _p = | A |, rezultă că n _p | m .

A doua parte a tezei rămâne de dovedit. În acest scop considerăm Q ∈ A și definim acțiunea

Q\times A\longrightarrow A

{\ displaystyle Q \ times A \ longrightarrow A}

Q \ times A \ longrightarrow A

(q,P)\mapsto q^{-1}Pq

{\ displaystyle (q, P) \ mapsto q ^ {- 1} Pq}

(q, P) \ mapsto q ^ {{- 1}} Pq

Această acțiune are un număr r de orbite, pe care le notăm cu O (P _i ) , deoarece P _i variază în A. Pentru ecuația orbitelor, rezultă deci că

$|A|=\sum _{i=1}^{r}{|O(P_{i})|}=\sum _{i=1}^{r}{|Q:St_{Q}(P_{i})|}=\sum _{i=1}^{r}{|Q:N_{Q}(P_{i})|}$ ${\ displaystyle | A | = \ sum _ {i = 1} ^ {r} {| O (P_ {i}) |} = \ sum _ {i = 1} ^ {r} {| Q: St_ {Q } (P_ {i}) |} = \ sum _ {i = 1} ^ {r} {| Î: N_ {Q} (P_ {i}) |}}$ $| A | = \ sum _ {{i = 1}} ^ {r} {| O (P_ {i}) |} = \ sum _ {{i = 1}} ^ {r} {| Q: St_ { Q} (P_ {i}) |} = \ sum _ {{i = 1}} ^ {r} {| Q: N_ {Q} (P_ {i}) |}$

Toate aceste orbite au o lungime de 1 sau o putere adecvată de p . Să observăm mai întâi asta $O(Q)=O(P_{s})\;\exists s\in \{1,\dots ,r\}$ ${\ displaystyle O (Q) = O (P_ {s}) \; \ există s \ în \ {1, \ dots, r \}}$ $O (Q) = O (P_ {s}) \; \ există s \ în \ {1, \ dots, r \}$ este asta $|O(P_{s})|=|Q:N_{Q}(P_{s})|=|Q:N_{Q}(Q)|=1$ ${\ displaystyle | O (P_ {s}) | = | Q: N_ {Q} (P_ {s}) | = | Q: N_ {Q} (Q) | = 1}$ $| O (P_ {s}) | = | Q: N_ {Q} (P_ {s}) | = | Q: N_ {Q} (Q) | = 1$ . Pentru a verifica teza, trebuie doar să arătăm în acest moment că toate celelalte orbite au lungimea unui multiplu de p . Să presupunem, în mod absurd, că orbita lui Q nu este singura de lungimea 1, adică să presupunem că există $P_{j}\neq Q$ ${\ displaystyle P_ {j} \ neq Q}$ $P_ {j} \ neq Î$ astfel încât $|O(P_{j})|=1$ ${\ displaystyle | O (P_ {j}) | = 1}$ $| O (P_ {j}) | = 1$ . Atunci $|Q:N_{Q}(P_{j})|=1$ ${\ displaystyle | Î: N_ {Q} (P_ {j}) | = 1}$ $| Î: N_ {Q} (P_ {j}) | = 1$ , adică $Q=N_{Q}(P_{j})$ ${\ displaystyle Q = N_ {Q} (P_ {j})}$ $Q = N_ {Q} (P_ {j})$ . Ceea ce implică asta $QP_{j}=P_{j}Q$ ${\ displaystyle QP_ {j} = P_ {j} Q}$ $QP_ {j} = P_ {j} Q$ , atâta timp cât $q^{-1}P_{j}q=P_{j}\;\forall q\in Q$ ${\ displaystyle q ^ {- 1} P_ {j} q = P_ {j} \; \ forall q \ in Q}$ $q ^ {{- 1}} P_ {j} q = P_ {j} \; \ forall q \ in Q$ . Asa de, $QP_{j}\leq G$ ${\ displaystyle QP_ {j} \ leq G}$ $QP_ {j} \ leq G$ iar comanda dvs. este valabilă:

$|QP_{j}|={\frac {|Q||P_{j}|}{|Q\cap P_{j}|}}$ ${\ displaystyle | QP_ {j} | = {\ frac {| Q || P_ {j} |} {| Q \ cap P_ {j} |}}}$ $| QP_ {j} | = {\ frac {| Q || P_ {j} |} {| Q \ cap P_ {j} |}}$ .

Numeratorul ține $p^{k}\cdot p^{k}$ ${\ displaystyle p ^ {k} \ cdot p ^ {k}}$ $p ^ {k} \ cdot p ^ {k}$ întrucât ambii aparțin lui A ; în numitor găsim în schimb o putere a lui p , cu un exponent strict mai mic decât k , din moment ce $Q\cap P_{j}\leq Q$ ${\ displaystyle Q \ cap P_ {j} \ leq Q}$ $Q \ cap P_ {j} \ leq Q$ Și $Q\cap P_{j}\leq P_{j}$ ${\ displaystyle Q \ cap P_ {j} \ leq P_ {j}}$ $Q \ cap P_ {j} \ leq P_ {j}$ . Evident, este posibil ca numitorul să nu fie în valoare de p ^k, altfel ar rezulta $Q=P_{j}$ ${\ displaystyle Q = P_ {j}}$ $Q = P_ {j}$ , dar acest lucru nu este posibil deoarece am presupus prin ipoteză că a fost $P_{j}\neq Q$ ${\ displaystyle P_ {j} \ neq Q}$ $P_ {j} \ neq Î$ . Asa de, $|QP_{j}|=p^{z}$ ${\ displaystyle | QP_ {j} | = p ^ {z}}$ $| QP_ {j} | = p ^ {z}$ , cu $z>k$ ${\ displaystyle z> k}$ $z> k$ . Dar acest lucru este absurd, deoarece $QP_{j}\leq G$ ${\ displaystyle QP_ {j} \ leq G}$ $QP_ {j} \ leq G$ . Prin urmare, ipoteza că a existat o altă orbită, pe lângă cea a lui Q , de lungimea 1 este absurdă. Prin urmare,

$n_{p}=|A|=\sum _{i=1}^{r}{|O(P_{i})|}\equiv 1\;(\mathrm {mod} \;p)$ ${\ displaystyle n_ {p} = | A | = \ sum _ {i = 1} ^ {r} {| O (P_ {i}) |} \ equiv 1 \; (\ mathrm {mod} \; p) }$ $n_ {p} = | A | = \ sum _ {{i = 1}} ^ {r} {| O (P_ {i}) |} \ equiv 1 \; ({\ mathrm {mod}} \; p )$

Două aplicații simple

Un grup de ordine $p q$ ${\ displaystyle pq}$ $pq$ cu $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ Și $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ primele cursuri, $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ mai puțin decât $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ asta nu se împarte $q-1$ ${\ displaystyle q-1}$ $q-1$ , de exemplu de ordine $33$ ${\ displaystyle 33}$ $33$ , este neapărat un grup ciclic .

Numărul n _q al lui q-Sylow este congruos 1 modul q și împarte p de aceea avem neapărat n _q = 1 fiind p mai mic decât q . Mai mult, din moment ce n _p ≡ 1 mod p și din moment ce n _p împarte q trebuie să fie n _p = 1 (nu poate fi q pentru condiția ca p să nu împartă q - 1 ). Fiecare Sylow este deci un subgrup normal . Dar apoi $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ poate fi realizat ca un produs direct al lui Sylows (care au doar identitate ca element comun). Mai mult, p și q sunt primele dintre ele, astfel încât grupul este ciclic.

Rețineți importanța condiției ca p să nu împartă q-1 : gândiți-vă doar că există două grupuri de ordine $6$ ${\ displaystyle 6}$ $6$ (cel ciclic și grupul simetric pe trei obiecte).

Să vedem de ce un grup $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ de ordine $132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$ ${\ displaystyle 132 = 2 \ cdot 2 \ cdot 3 \ cdot 11}$ $132 = 2 \ cdot 2 \ cdot 3 \ cdot 11$ conține un subgrup ciclic normal de ordinul 11. Numărul de 3-Sylow trebuie să fie congruent cu 1 modulo 3 și trebuie să împartă 44, singurele posibilități sunt 1,4 și 22. Numărul lui 11-Sylow trebuie să fie în schimb congruent cu 1 modulo 11 și împarte 12 deci n ₁₁ = 1 pe ₁₁ = 12. Dacă ar fi n ₃ = 22 am avea 44 de elemente ale perioadei 3 și acest lucru implică n ₁₁ = 1 pentru că altfel ar exista 120 de elemente ale perioadei 11: prea multe!

Dacă n ₃ = 1 3-Sylow C ₃ ar fi normal. Atunci G / C ₃ ar avea ordinul 44 și ar conține un subgrup normal de ordinul 11. Acestui subgrup îi corespunde un subgrup normal $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ din $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ de ordinul 33, deci ciclic. Un element de perioadă de 11 in $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ generează subgrupul normal al ordinului 11 căutat.

Ultima posibilitate este n ₃ = 4. De asemenea, în acest caz n ₁₁ nu poate fi egal cu 12. Dacă da, am avea 8 elemente din perioada 3, 120 din perioada 11 și identitate. Există doar loc pentru 3 elemente din perioada 2. Atunci 2-Sylow S ₂ este normal. Să vedem coeficientul G / S ₂ : are ordinea 33. Acesta este ciclic și conține un subgrup de ordinul 11. Aceasta corespunde unui subgrup normal de $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ de ordin 44. Acest subgrup are exact 10 elemente din perioada 11: prea puține (presupusesem că $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ a avut în total 120).

Bibliografie

( RO ) Claudia Menini, Freddy Van Oystaeyen, Abstract Algebra: A Comprehensive Treatment , CRC Press, ISBN 978-0-8247-0985-3
Dikran Dikranjan și Maria Silvia Lucido , Aritmetică și algebră , Liguori , 2007, ISBN 978-8-8207-4098-6
IN Herstein , Algebra , Roma, Editori Riuniti, 1995, ISBN 88-359-3634-9 .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică