Teorema lui Lagrange (teoria grupurilor)

În teoria grupurilor, teorema lui Lagrange este o teoremă de bază în studiul grupurilor finite. Se afirmă că ordinea (adică numărul de elemente) a unui subgrup al unui grup finit este un divizor al ordinii grupului.

Este numit după Joseph-Louis Lagrange .

Demonstrație

Prima parte a dovezii se aplică oricărui grup $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ și la un subgrup al acestuia $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ . Întregul este luat în considerare

\{aH:a\in G\}

{\ displaystyle \ {aH: a \ în G \}}

\ {aH: a \ în G \}

a claselor laterale (stânga)

aH=\{ah:h\in H\}

{\ displaystyle aH = \ {ah: h \ în H \}}

aH = \ {ah: h \ în H \}

din $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ în $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ ; aceasta formează o partiție a $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ , adică $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ este o uniune a claselor laterale și două clase laterale distincte nu au elemente în comun. Tot pentru fiecare $a\in G$ ${\ displaystyle a \ în G}$ $a \ in G$ functia $H\to aH$ ${\ displaystyle H \ to aH}$ $H \ to aH$ care trimite $h\in H$ ${\ displaystyle h \ în H}$ $h \ în H$ în $la h$ ${\ displaystyle ah}$ $Ah$ este o bijecție .

În cazul în care $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ este finit, fiecare clasă laterală are deci un ordin egal cu ordinea $|H|$ ${\ displaystyle | H |}$ $| H |$ din $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ . Dacă este notat cu $[G:H]$ ${\ displaystyle [G: H]}$ $[G: H]$ indicele de $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ în $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ (adică numărul de clase laterale distincte) pe care îl avem deci

|G|=|H|\cdot [G:H].

{\ displaystyle | G | = | H | \ cdot [G: H].}

| G | = | H | \ cdot [G: H].

În special, ordinea $|H|$ ${\ displaystyle | H |}$ $| H |$ din $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ împarte ordinea $|G|$ ${\ displaystyle | G |}$ $| G |$ din $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ .

Urmări

Din teorema lui Lagrange rezultă că, dacă $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ este un grup finit, ordinea fiecăruia dintre elementele sale $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ (adică cel mai mic întreg pozitiv $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ astfel încât $a^{m}$ ${\ displaystyle a ^ {m}}$ $a ^ m$ ambele identitate) împarte ordinea $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ : aceasta rezultă din faptul că ordinea $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ coincide cu ordinea subgrupului ciclic generat de $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ . O altă consecință este că, dacă ordinea unui grup este un număr prim , atunci este ciclic , generat de orice alt element decât identitatea. Mai general, teorema este un prim pas în studiul structurii grupurilor finite.

Un alt corolar al teoremei este acela pentru fiecare $a\in G$ ${\ displaystyle a \ în G}$ $a \ in G$ merita $a^{|G|}=e$ ${\ displaystyle a ^ {| G |} = e}$ ${\ displaystyle a ^ {| G |} = e}$ , unde este $Și$ ${\ displaystyle e}$ $Și$ indică identitatea în $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ . Se traduce prin mica teoremă a lui Fermat dacă $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ este o premieră și $G=(\mathbb {Z} /{p\mathbb {Z} })^{*}$ ${\ displaystyle G = (\ mathbb {Z} / {p \ mathbb {Z}}) ^ {*}}$ ${\ displaystyle G = (\ mathbb {Z} / {p \ mathbb {Z}}) ^ {*}}$ , grupul multiplicativ de numere întregi inversabile modulo $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ , în teorema Euler-Fermat dacă $G=(\mathbb {Z} /{m\mathbb {Z} })^{*}$ ${\ displaystyle G = (\ mathbb {Z} / {m \ mathbb {Z}}) ^ {*}}$ ${\ displaystyle G = (\ mathbb {Z} / {m \ mathbb {Z}}) ^ {*}}$ , cu $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ orice număr întreg.

Invers

În general, inversul teoremei lui Lagrange nu se menține; adică dacă $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ este un număr întreg pozitiv care împarte ordinea lui $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ , nu se spune că $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ au un subgrup de comenzi $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ . De exemplu, grupul alternativ $A_{4}$ ${\ displaystyle A_ {4}}$ $A_ {4}$ are ordinea 12, dar nu are subgrupuri de ordinul 6. Același lucru este valabil pentru orice grup finit simplu de ordine $2n$ ${\ displaystyle 2n}$ $2n$ chiar: de fapt, un subgrup de ordine $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ ar fi normal , împotriva presupunerii că grupul este simplu.

Cu toate acestea, inversul este adevărat, dacă $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ este puterea unui prim: acest rezultat este una dintre teoremele lui Sylow . Un alt caz în care teorema lui Lagrange este inversată este atunci când grupul $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ este abelian sau, mai general, când este nilpotent . În cazul abelian, datorită teoremei structurii pentru grupurile abeliene finit generate, se poate arăta că există întotdeauna un subgrup de fiecare ordine posibilă (adică trebuie să împartă ordinea grupului).

Bibliografie

Michael Artin, Algebra , Bollati Boringhieri , 1997, ISBN 88-339-5586-9 .
IN Herstein, Algebra , Editori Riuniti, 2010, ISBN 978-88-6473-210-7 .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică