Construcție cu riglă și busolă

Executați o construcție de busolă și drepte înseamnă urmărirea segmentelor și a unghiurilor utilizând exclusiv un rând și o busolă idealizate, care nu sunt gradate, deci fără posibilitatea de a face referire la crestăturile de rând pentru a lua măsuri sau pentru a repeta o anumită deschidere pe care busola a avut anterior.

Problema construcțiilor de drepte și busole a însoțit dezvoltarea geometriei în Grecia antică . Pentru matematicienii greci, problemele geometrice au fost prezentate nu în forma existențială generică, ci în cea constructivă. Prima propoziție a Elementelor Euclid ne prezintă imediat o problemă constructivă: „Deasupra unei linii date terminate (segment) construim un triunghi echilateral ”. Geometria a fost de asemenea folosită pentru a rezolva ceea ce acum sunt probleme algebrice pentru noi.

Conducător și busolă „ideală”

Elements of Euclid, Book I: Postulates 1 and 2

Elementele lui Euclid, Cartea I: al treilea postulat

Elemente de Euclid, Cartea I: Propunerea 3 (Aplicarea unui segment la o linie)

Efectuarea construcțiilor cu rigla și busola înseamnă, începând de la cel puțin două puncte de pe plan , efectuând un număr finit de operații cu două instrumente „ideale”: rigla (pentru a trasa linii drepte) și busola (pentru a trasa cercuri). Operațiunile de bază utilizate în Elements sunt cele descrise în primele trei postulate ale primei cărți:

Este posibil să se conducă o linie dreaptă de la orice punct la orice alt punct;
Un segment finit poate fi extins la infinit în linie dreaptă;
Este posibil să se descrie un cerc cu orice centru și orice rază.

Pe baza acestor postulate, pot fi efectuate numai următoarele operații:

Având două puncte, trageți linia care trece prin ele (sau, prin extensie, extindeți un segment, vedeți prima animație din dreapta);
Având două puncte A și B, desenați un cerc cu centrul A și trecând prin B (a doua animație din dreapta);
Determinați punctul posibil de intersecție a două drepte;
Determinați posibilele puncte de intersecție ale unui cerc cu o dreaptă;
Determinați posibilele puncte de intersecție a două cercuri.

Operațiuni care nu pot fi realizate:

Aplicați un segment unei linii (adică transportați-i lungimea) prin intermediul liniei, deoarece nu este gradată;
Aplicați un segment pe o linie dreaptă folosind busola, deoarece postulatele nu prevăd acest tip de manevră.

De fapt, Euclid nu vorbește despre un conducător sau o busolă; nu le descrie ca instrumente, cu atât mai puțin definește utilizarea lor. Faptul de a putea urmări o circumferință pe baza a două puncte (al treilea postulat) nu autorizează utilizarea unui instrument mecanic care poate menține o anumită deschidere după trasarea circumferinței: trebuie să ne gândim că busola se deschide când este timpul pentru a desena o circumferință și se închide imediat după trasarea acesteia.

Evident, în geometria clasică, necesitatea aplicării distanțelor este o practică frecventă: de fapt, Euclid dedică primele trei propuneri ale primei cărți pentru a rezolva această problemă, arătând că o distanță poate fi aplicată efectuând numai operații legale (vezi a treia animație din dreapta) ).

Tocmai în virtutea celor trei postulate menționate mai sus, se spune că clădirile conținute în Elementele lui Euclid sunt obținute prin conducător și busolă. Trebuie subliniat faptul că trebuie să ignorăm materialele utilizate și nivelurile de aproximare ale instrumentelor mecanice: știința construcțiilor cu drepte și busolă este strict teoretică și nu practică.

Se știe că - dincolo de construcțiile cu care se ocupă Elementele lui Euclid - matematicienii greci și-au pus probleme complexe de construcție cu rigla și busola care doar în secolul al XIX-lea , grație teoriei câmpului dezvoltată de Galois , Abel și alții, s-a dovedit irezolvabilă .

Puncte construibile și câmp euclidian

Având în vedere conotația clasică menționată mai sus a problemei construcțiilor cu rigla și busola, se poate ajunge la o formulare teoretică riguroasă folosind metodele de geometrie analitică care, așa cum se știe, permit întotdeauna transformarea unei probleme geometrice într-o problemă analitică .
Folosind limbajul geometriei analitice, orice problemă de construcție cu rigla și busola poate fi întotdeauna formulată în următorii termeni:

Având în vedere mai multe puncte într-un plan care se referă la un sistem de coordonate (definit pornind de la punctele de date), stabiliți dacă coordonatele unui punct determinat suplimentar pot fi obținute prin intermediul celor cinci operații grafice descrise mai sus.

Se demonstrează cu ușurință că utilizarea liniei unice permite atingerea tuturor și numai punctelor ale căror coordonate se află în „câmpul de raționalitate” definit de coordonatele punctelor de date, adică executând, pentru fiecare pereche $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ , $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ de numere date, operații algebrice $a+b$ ${\ displaystyle a + b}$ $a + b$ , $a-b$ ${\ displaystyle ab}$ $a-b$ , $a*b$ ${\ displaystyle a * b}$ $a * b$ , $a/b$ ${\ displaystyle a / b}$ $a / b$ .
Se arată apoi că, prin adăugarea busolei, este posibil să se creeze o „extensie pătratică” a câmpului de raționalitate, prin construirea pentru fiecare număr $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ conține numărul ${\sqrt {a}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {a}}}$ ${\ sqrt {a}}$ .
Aplicând orice număr finit de extensii pătratice, ajungem la așa-numitul „câmp euclidian”.
Se arată că:

Având în plan mai multe puncte referitoare la un sistem de coordonate, fiecare alt punct atins, începând de la punctele date, printr-un număr finit de operații efectuate cu rigla și cu busola, are coordonate care aparțin „câmpului euclidian” definit de asemenea date .

Spuse în termeni analitici, coordonatele „punctelor construibile” sunt soluții de ecuații care au o putere de 2 ca grad maxim.

Probleme rezolvate cu „mai puține instrumente”

Problemele de constructibilitate pot fi, de asemenea, studiate în condiții diferite de cele folosind rigla și busola. Danezul Mohr și italianul Mascheroni au ajuns în mod independent să stabilească, cu mult înainte de o demonstrație exactă a lungimilor și a punctelor construibile, că:
Orice problemă care poate fi rezolvată cu rigla și busola poate fi, de asemenea, rezolvată doar cu busola (teorema Mohr - Mascheroni).
Problemele de construcție de la care a pornit Mascheroni în demonstrația sa au fost următoarele:

să conducă printr-un punct dat paralela cu o dreaptă dată (în sensul determinării a cel puțin două puncte aparținând acestei linii drepte);
determinarea oricărui segment multiplu dintr-un segment atribuit;
construiți punctul simetric al unui punct dat în raport cu o dreaptă dată.

Odată rezolvate aceste probleme, se ajunge cu ușurință la dovada teoremei în cauză.
Matematicienii Poncelet și Steiner au arătat în schimb că:
Orice problemă care poate fi rezolvată cu rigla și busola poate fi rezolvată și cu rigla și cercul fix (teorema Poncelet - Steiner).
Cu alte cuvinte, atunci când este dat un cerc complet trasat în plan al cărui centru este cunoscut, toate problemele care pot fi rezolvate cu rigla și busola pot fi, de asemenea, rezolvate doar cu rigla.

Construirea de poligoane regulate

Construirea unui heptadecagon obișnuit

Problema în cauză poate fi definită în următorii termeni: dată fiind partea $L$ ${\ displaystyle l}$ $L$ construiți un poligon regulat de $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ laturile. Construcția se poate face cu ușurință pentru $N=3,4,5,6$ ${\ displaystyle N = 3,4,5,6}$ $N = 3,4,5,6$ ; dar deja pentru $N=7$ ${\ displaystyle N = 7}$ $N = 7$ întâmpinăm dificultăți. Prin urmare, este interesant să înțelegem care poligoane sunt construibile cu rigla și busola și care nu. Tânărul Gauss în 1796 a reușit să demonstreze că, dacă $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ este un număr prim Fermat , apoi poligonul regulat cu un număr $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ de laturi poate fi construit cu rigla și busola. Amintiți-vă că numerele Fermat sunt exprimate prin formulă

F_{n}=2^{(2^{n})}+1

{\ displaystyle F_ {n} = 2 ^ {(2 ^ {n})} + 1}

F _ {{n}} = 2 ^ {{(2 ^ {n})}} + 1

și că numai numerele obținute pentru $n=0,1,2,3,4$ ${\ displaystyle n = 0,1,2,3,4}$ $n = 0,1,2,3,4$ (ale căror valori sunt respectiv 3 , 5 , 17 , 257 , 65537 ) au fost verificate până acum ca fiind prime.

Gauss a demonstrat astfel, mai general, că un poligon regulat al $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ laturile este construibil dacă factorizarea sa primară este de tipul

N=2^{k}{p_{1}}{p_{2}}\cdots {p_{s}}

{\ displaystyle N = 2 ^ {k} {p_ {1}} {p_ {2}} \ cdots {p_ {s}}}

N = 2 ^ {k} {p_ {1}} {p_ {2}} \ cdots {p_ {s}}

unde este $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ este un număr întreg negativ și factorii $p_{j}$ ${\ displaystyle p_ {j}}$ $pijamale}$ sunt numere prime distincte Fermat. De asemenea, a simțit că condiția menționată mai sus trebuie să fie necesară, dar acest lucru a fost dovedit abia mai târziu de Pierre Wantzel , în 1836 .

Probleme clasice și construcții imposibile

Cele mai cunoscute probleme, cu care se confruntă deja matematicienii greci și care au menținut atenția generațiilor succesive de matematicieni înainte de a se dovedi imposibil să le rezolve cu rigla și busola, sunt:

Duplicarea cubului

Același subiect în detaliu: Duplicarea cubului .

Este vorba de construirea cu o riglă și busolă a marginii unui cub care are dublu volumul unui cub dat. De sine ${l}$ ${\ displaystyle {l}}$ ${L}$ este marginea cubului dat, este necesar să se construiască un segment de lungime ${\sqrt[{3}]{2}}{l}$ ${\ displaystyle {\ sqrt [{3}] {2}} {l}}$ ${\ sqrt [{3}] 2} {l}$ , care nu se află în „câmpul euclidian” al lungimilor care pot fi construite cu rigla și busola.

Trisecția colțului

Același subiect în detaliu: Trisecția unghiului .

Problema necesită, având în vedere orice unghi $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ , pentru a-l împărți în trei unghiuri egale. Din trigonometrie știm că este

\tan(\phi )={\frac {3\tan(\phi /3)-\tan ^{3}(\phi /3)}{1-3\tan ^{2}(\phi /3)}}

{\ displaystyle \ tan (\ phi) = {\ frac {3 \ tan (\ phi / 3) - \ tan ^ {3} (\ phi / 3)} {1-3 \ tan ^ {2} (\ phi / 3)}}}

{\ displaystyle \ tan (\ phi) = {\ frac {3 \ tan (\ phi / 3) - \ tan ^ {3} (\ phi / 3)} {1-3 \ tan ^ {2} (\ phi / 3)}}}

Prin urmare plasarea ${m}=\tan(\phi )$ ${\ displaystyle {m} = \ tan (\ phi)}$ ${m} = \ tan (\ phi)$ Și ${x}=\tan(\phi /3)$ ${\ displaystyle {x} = \ tan (\ phi / 3)}$ ${x} = \ tan (\ phi / 3)$ obținem ecuația cubică:

x^{3}-3mx^{2}-3x+m=0

${\ displaystyle x ^ {3} -3mx ^ {2} -3x + m = 0}$ $x ^ {3} -3mx ^ {2} -3x + m = 0$

care (cu excepția cazurilor speciale) este ireductibilă în câmpul euclidian; ceea ce dovedește că problema trisecției unghiului nu este (cu excepția cazurilor speciale) solubilă cu o riglă și busolă.

Patratarea cercului

Același subiect în detaliu: pătrarea cercului .

Cadrarea cercului este cea mai faimoasă dintre problemele de construcție cu rigla și busola, pentru care au fost propuse un număr considerabil de „dovezi false”, până la punctul în care a devenit o metaforă pentru a indica o problemă de soluție imposibilă.
Problema necesită un anumit cerc de rază ${r}$ ${\ displaystyle {r}}$ ${r}$ construiește latura ${l}$ ${\ displaystyle {l}}$ ${L}$ a unui pătrat care are aceeași zonă cu acel cerc.
Deoarece latura pătratului pe care doriți să o construiți trebuie să aibă lungime ${l}$ ${\ displaystyle {l}}$ ${L}$ egal cu ${\sqrt {\pi }}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {\ pi}}}$ ${{\ sqrt \ pi}}$ ${r}$ ${\ displaystyle {r}}$ ${r}$ unde este $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ este, așa cum a demonstrat Lindemann , un număr transcendent (adică nu poate fi obținut prin intermediul unei ecuații algebrice cu coeficienți raționali, indiferent de grad), este evidentă imposibilitatea rezolvării problemei cu rigla și busola.

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere pe construcții cu riglă și busolă

linkuri externe

( EN ) Construcții cu riglă și busolă , pe Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Controlul autorității	GND ( DE ) 4792645-4

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică