Sistem de coordonate

Acesta definește sistemul de coordonate, un sistem de referință bazat pe coordonate , care definesc poziția unui obiect într-un anumit spațiu . În funcție de numărul de coordonate utilizate, putem vorbi de:

sistem de referință unidimensional sau unidimensional ;
sisteme de referință bidimensionale ;
Sisteme de referință tridimensionale .

Sistem unidimensional

Sistemul de referință unidimensional conceput de Descartes este constituit dintr-o linie dreaptă , pe care un obiect, de obicei un punct , este constrâns să se miște. O origine este fixată pe această linie, ceea ce este obișnuit să se indice cu $SAU$ ${\ displaystyle O}$ $SAU$ , O direcție de deplasare și o „ unitate de măsură a lungimilor.

Este posibil să se identifice un punct de pe linie în funcție de un număr real , care identifică distanța față de unitatea de măsură aleasă, pozitivă dacă este concordantă cu direcția distanței alese și altfel negativă, a punctului. Acest număr se numește coordonată, iar litera este utilizată pentru a indica această coordonată generic $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ . Linia dreaptă pe care este fixată originea, direcția de deplasare și unitatea de măsură se numește abscisă.

Atunci când un punct, mai degrabă decât pe o linie dreaptă, este constrâns să se deplaseze pe o curbă, este de asemenea posibil să se aleagă pe această din urmă origine, o direcție de deplasare și o unitate de măsură, dar în acest caz vorbim despre abscisa curbiliniară . Distanța semnată a punctului de la origine este coordonata curbiliniară a punctului.

Sisteme bidimensionale

Sistem afinar

Același argument în detaliu: sistemul cartezian de referință .

Unul dintre sistemele de referință bidimensionale este constituit dintr-o pereche de linii incidente. Aceste linii sunt în general indicate cu $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ Și $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ , iar punctul lor de intersecție este originea ambelor linii. O direcție de deplasare și o unitate de măsură sunt fixate pe fiecare linie, care este în general aceeași pentru ambele linii, dar pentru nevoi particulare poate fi diferită pentru fiecare linie. Poziția unui punct constrâns să se deplaseze pe un plan poate fi identificată printr-o pereche de valori reale, generic indicate de litere $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ Și $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ . Este indicat cu $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ numărul real care identifică distanța față de axă $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ punct, măsurat paralel cu axa $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ în unitatea de măsură aleasă pentru aceasta din urmă; cu $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ numărul real care identifică distanța față de axă $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ punct, măsurat paralel cu axa $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ în unitatea de măsură aleasă pentru aceasta din urmă. Perechea de coordonate care identifică punctul este indicată prin scriere $(x,y)$ ${\ displaystyle (x, y)}$ $(X y)$ sau $\langle x,y\rangle$ ${\ displaystyle \ langle x, y \ rangle}$ $\ langle x, y \ rangle$ .

Când asii $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ Și $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ sunt ortogonali între ei acest sistem de referință se numește ortogonal. Dacă axele sunt ortogonale între ele și unitatea de măsură a ambelor este aceeași cu acel cadru se spune ortonormal sau cartezian, în cinstea matematicianului francez Descartes că filmarea în timpurile moderne, după ce fusese deja introdusă în mijloc Varsta de Nicole Oresme . În acest caz axa $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ , orizontală, se numește axa absciselor și axa $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ , verticală, se numește axa ordonată. În lucrările lui Oresme, acestea erau, respectiv, și Longitudo latitudo.

Sistemul polar

Același subiect în detaliu: sistemul de coordonate polare .

Un sistem de referință polar constă din două coordonate indicate prin litere $\rho$ ${\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ Și $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ . Cu $\rho$ ${\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ este indicată distanța punctului considerat de la originea sistemului; în practică dacă luăm în considerare vectorul ${\vec {\rho }}$ ${\ displaystyle {\ vec {\ rho}}}$ ${\ vec \ rho}$ care conectează originea axelor cu punctul nostru, $\rho$ ${\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ Acesta indică modulul . Cu $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ În schimb, se referă la „ colț sau anomalie care se formează între purtător ${\vec {\rho }}$ ${\ displaystyle {\ vec {\ rho}}}$ ${\ vec \ rho}$ luate în considerare anterior și direcția pozitivă a axei $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ a unui sistem ortogonal normal. Asa de, $\rho$ ${\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ Este raza și $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ un unghi orientat.

Pentru a comuta de la coordonatele polare la cele carteziene, se folosesc următoarele formule:

x=\rho \cos \phi

{\ displaystyle x = \ rho \ cos \ phi}

x = \ rho \ cos \ phi

y=\rho \sin \phi

{\ displaystyle y = \ rho \ sin \ phi}

y = \ rho \ sin \ phi

și să treacă de la cartezian la polar

\rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}={\sqrt {\rho ^{2}[\sin ^{2}(\phi )+\cos ^{2}(\phi )]}}

{\ displaystyle \ rho = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} = {\ sqrt {\ rho ^ {2} [\ sin ^ {2} (\ phi) + \ cos ^ { 2} (\ phi)]}}}

{\ displaystyle \ rho = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} = {\ sqrt {\ rho ^ {2} [\ sin ^ {2} (\ phi) + \ cos ^ { 2} (\ phi)]}}}

\phi \ =\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)=\arccos \left({\frac {x}{\rho \ }}\right)=\arcsin \left({\frac {y}{\rho \ }}\right)

{\ displaystyle \ phi \ = \ arctan \ left ({\ frac {y} {x}} \ right) = \ arccos \ left ({\ frac {x} {\ rho \}} \ right) = \ arcsin \ stânga ({\ frac {y} {\ rho \}} \ dreapta)}

\ phi \ = \ arctan \ left ({\ frac {y} {x}} \ right) = \ arccos \ left ({\ frac {x} {\ rho \}} \ right) = \ arcsin \ left ({ \ frac {y} {\ rho \}} \ right)

Coordonata poate fi găsită în multe cazuri $\rho$ ${\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ notat cu litera $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ . Această schimbare a coordonatelor este foarte util în unele aplicații ale matematicii , ca în soluționarea mai multor integralelor de domenii constând din annuli .

Sisteme tridimensionale

Sistem dreptunghiular (sau cartezian)

Sistemul de referință tridimensional este format din trei linii non-paralele, indicate în general cu $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ , $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ Și $Z$ ${\ displaystyle Z}$ $Z$ , trecând printr-un punct care este originea sistemului de referință. Pentru fiecare dintre aceste linii drepte, se alege o unitate de măsură și o direcție de deplasare. Coordonatele generice ale unui punct din spațiu sunt indicate cu litere $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ , $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ Și $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ . Este indicat cu $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ numărul real care identifică distanța unui punct față de planul identificat de drepte $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ Și $Z$ ${\ displaystyle Z}$ $Z$ măsurată paralel cu axa $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ în unitatea de măsură aleasă pentru această ultimă axă. Ele sunt definite în mod similar $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ Și $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ . Cele trei coordonate care identifică un punct din spațiu sunt indicate cu simboluri $(x,y,z)$ ${\ displaystyle (x, y, z)}$ $(x, y, z)$ . Când cele trei axe sunt ortogonale unele cu altele, sistemul de referință este ortogonal sau dreptunghiular.

Fiecare dintre cele trei linii este o axă carteziană și formează împreună triada carteziană.

Sistem cilindric

Sistemul cilindric este expansiunea naturală a sistemului polar în trei dimensiuni. În acest caz, coordonatele sunt $\rho$ ${\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ , $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ Și $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ . Având în vedere un punct generic $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ , și proiecția sa $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ pe podea $X y$ ${\ displaystyle xy}$ $X y$ , coordonata $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ Indică distanța $P. Î$ ${\ displaystyle PQ}$ $PQ$ . Cu $\rho$ ${\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ se notează distanța de la originea punctului $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ , in timp ce $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ identificați unghiul care se formează între vector ${\vec {\rho }}$ ${\ displaystyle {\ vec {\ rho}}}$ ${\ vec \ rho}$ și axa $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ .

Pentru a comuta de la sistemul cilindric la cel dreptunghiular:

{\begin{aligned}x&=\rho \,\cos \phi \\y&=\rho \ \sin \phi \\z&=z\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} x & = \ rho \, \ cos \ phi \\ y & = \ rho \ \ sin \ phi \\ z & = z \ end {align}}}

{\ begin {align} x & = \ rho \, \ cos \ phi \\ y & = \ rho \ \ sin \ phi \\ z & = z \ end {align}}

și pentru a trece la coordonatele cilindrice:

{\begin{aligned}\rho &={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\\phi &=\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)=\arcsin \left({\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\right)=\arccos \left({\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\right)\\z&=z\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ rho & = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} \\\ phi & = \ arctan \ left ({\ frac {y} {x} } \ right) = \ arcsin \ left ({\ frac {y} {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}} \ right) = \ arccos \ left ({\ frac {x} { \ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}} \ right) \\ z & = z \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ rho & = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} \\\ phi & = \ arctan \ left ({\ frac {y} {x} } \ right) = \ arcsin \ left ({\ frac {y} {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}} \ right) = \ arccos \ left ({\ frac {x} { \ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}} \ right) \\ z & = z \ end {align}}}

Foarte des coordonata $\rho$ ${\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ este indicat cu $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ .

Sistem sferic

Un alt mod pe care îl puteți folosi pentru a vă orienta în spațiu este sistemul sferic. Se compune din trei coordonate: $\rho$ ${\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ , $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ Și $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ . Se consideră întotdeauna un punct generic $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ și proiecția sa pe plan $X Da$ ${\ displaystyle XY}$ $X Y$ apel $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ . Cu $\rho$ ${\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ de data aceasta indicăm distanța de $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ de la origine și $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ este unghiul care ${\vec {\rho }}$ ${\ displaystyle {\ vec {\ rho}}}$ ${\ vec \ rho}$ forma cu semi-axa pozitivă a $Z$ ${\ displaystyle Z}$ $Z$ , numit unghiul de înclinare. În schimb, prin indicarea cu ${\vec {\rho }}\ '$ ${\ displaystyle {\ vec {\ rho}} \ '}$ ${\ vec \ rho} \ '$ vectorul care leagă originea de punct $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ , avem asta $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ identifică unghiul pe care acest vector îl formează cu axa $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ , A spus azimutul .

Pentru a trece de la un sistem sferic la unul dreptunghiular, se folosesc următoarele egalități:

x=\rho \ \sin \theta \ \cos \phi

{\ displaystyle x = \ rho \ \ sin \ theta \ \ cos \ phi}

x = \ rho \ \ sin \ theta \ \ cos \ phi

y=\rho \ \sin \theta \ \sin \phi

{\ displaystyle y = \ rho \ \ sin \ theta \ \ sin \ phi}

y = \ rho \ \ sin \ theta \ \ sin \ phi

z=\rho \ \cos \theta

{\ displaystyle z = \ rho \ \ cos \ theta}

z = \ rho \ \ cos \ theta

Pentru a comuta între coordonatele carteziene și cele sferice:

\rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}

{\ displaystyle \ rho = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}}}

\ rho = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}}

\phi \ =\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)=\arcsin \left({\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\right)

{\ displaystyle \ phi \ = \ arctan \ left ({\ frac {y} {x}} \ right) = \ arcsin \ left ({\ frac {y} {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ { 2}}}} \ right)}

\ phi \ = \ arctan \ left ({\ frac {y} {x}} \ right) = \ arcsin \ left ({\ frac {y} {{\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2} }}}} \ dreapta)

\theta \ =\arccos \left({\frac {z}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}\right)=\operatorname {arccot} \left({\frac {z}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\right)

{\ displaystyle \ theta \ = \ arccos \ left ({\ frac {z} {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}}} \ right) = \ operatorname {arccot } \ left ({\ frac {z} {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}} \ right)}

\ theta \ = \ arccos \ left ({\ frac {z} {{\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}}}} \ right) = \ operatorname {arccot} \ left ({\ frac {z} {{\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}}} \ right)

Chiar și cu acest sistem, litera este adesea folosită $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ în loc de scrisoare $\rho$ ${\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ .

Baza coordonată

Pornirea de la sistemul de coordonate sferice poate fi definită ca un nou vector de bază în fiecare punct al spațiului prin intermediul vectorilor tangenți la liniile de coordonate. Este

{\tilde {X}}(r,\theta ,\phi )=(r\sin(\theta )\cos(\phi ),r\sin(\theta )\sin(\phi ),r\cos(\theta ))=(x,y,z),

{\ displaystyle {\ tilde {X}} (r, \ theta, \ phi) = (r \ sin (\ theta) \ cos (\ phi), r \ sin (\ theta) \ sin (\ phi), r \ cos (\ theta)) = (x, y, z),}

{\ displaystyle {\ tilde {X}} (r, \ theta, \ phi) = (r \ sin (\ theta) \ cos (\ phi), r \ sin (\ theta) \ sin (\ phi), r \ cos (\ theta)) = (x, y, z),}

atunci baza naturală a spațiului tangent (izomorf a $\mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ $\ R ^ 3$ ) este dat de cei trei vectori:

{\frac {\partial {\tilde {X}}}{\partial {r}}}={\begin{pmatrix}\sin \theta \cos \phi \\\sin \theta \sin \phi \\\cos \theta \end{pmatrix}}={\widehat {r}};\qquad {\frac {\partial {\tilde {X}}}{\partial {\theta }}}={\begin{pmatrix}r\cos \theta \cos \phi \\r\cos \theta \sin \phi \\-r\sin \theta \end{pmatrix}}=r\,{\widehat {\theta }};\qquad {\frac {\partial {\tilde {X}}}{\partial {\phi }}}={\begin{pmatrix}-r\sin \theta \sin \phi \\r\sin \theta \cos \phi \\0\end{pmatrix}}=r\sin \theta \,{\widehat {\phi }}.

{\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ tilde {X}}} {\ partial {r}}} = {\ begin {pmatrix} \ sin \ theta \ cos \ phi \\\ sin \ theta \ sin \ phi \\\ cos \ theta \ end {pmatrix}} = {\ widehat {r}}; \ qquad {\ frac {\ partial {\ tilde {X}}} {\ partial {\ theta}}} = {\ begin {pmatrix} r \ cos \ theta \ cos \ phi \\ r \ cos \ theta \ sin \ phi \\ - r \ sin \ theta \ end {pmatrix}} = r \, {\ widehat {\ theta}}; \ qquad {\ frac {\ partial {\ tilde {X}}} {\ partial {\ phi}}} = {\ begin {pmatrix} -r \ sin \ theta \ sin \ phi \\ r \ sin \ theta \ cos \ phi \\ 0 \ end {pmatrix}} = r \ sin \ theta \, {\ widehat {\ phi}}.}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ tilde {X}}} {\ partial {r}}} = {\ begin {pmatrix} \ sin \ theta \ cos \ phi \\\ sin \ theta \ sin \ phi \\\ cos \ theta \ end {pmatrix}} = {\ widehat {r}}; \ qquad {\ frac {\ partial {\ tilde {X}}} {\ partial {\ theta}}} = {\ begin {pmatrix} r \ cos \ theta \ cos \ phi \\ r \ cos \ theta \ sin \ phi \\ - r \ sin \ theta \ end {pmatrix}} = r \, {\ widehat {\ theta}}; \ qquad {\ frac {\ partial {\ tilde {X}}} {\ partial {\ phi}}} = {\ begin {pmatrix} -r \ sin \ theta \ sin \ phi \\ r \ sin \ theta \ cos \ phi \\ 0 \ end {pmatrix}} = r \ sin \ theta \, {\ widehat {\ phi}}.}

De asemenea, definitorii

R_{i,j}={\begin{pmatrix}{\widehat {x}}\cdot {\widehat {r}}&{\widehat {x}}\cdot {\widehat {\theta }}&{\widehat {x}}\cdot {\widehat {\phi }}\\{\widehat {y}}\cdot {\widehat {r}}&{\widehat {y}}\cdot {\widehat {\theta }}&{\widehat {y}}\cdot {\widehat {\phi }}\\{\widehat {z}}\cdot {\widehat {r}}&{\widehat {z}}\cdot {\widehat {\theta }}&{\widehat {z}}\cdot {\widehat {\phi }}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\sin \theta \cos \phi &\cos \theta \cos \phi &-\sin \phi \\\sin \theta \sin \phi &\cos \theta \sin \phi &\cos \phi \\\cos \theta &-\sin \theta &0\\\end{pmatrix}}

{\ displaystyle R_ {i, j} = {\ begin {pmatrix} {\ widehat {x}} \ cdot {\ widehat {r}} și {\ widehat {x}} \ cdot {\ widehat {\ theta}} & {\ widehat {x}} \ cdot {\ widehat {\ phi}} \\ {\ widehat {y}} \ cdot {\ widehat {r}} și {\ widehat {y}} \ cdot {\ widehat { \ theta}} și {\ widehat {y}} \ cdot {\ widehat {\ phi}} \\ {\ widehat {z}} \ cdot {\ widehat {r}} și {\ widehat {z}} \ cdot {\ widehat {\ theta}} și {\ widehat {z}} \ cdot {\ widehat {\ phi}} \\\ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} \ sin \ theta \ cos \ phi & \ cos \ theta \ cos \ phi & - \ sin \ phi \\\ sin \ theta \ sin \ phi & \ cos \ theta \ sin \ phi & \ cos \ phi \\\ cos \ theta & - \ sin \ theta & 0 \\\ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle R_ {i, j} = {\ begin {pmatrix} {\ widehat {x}} \ cdot {\ widehat {r}} și {\ widehat {x}} \ cdot {\ widehat {\ theta}} & {\ widehat {x}} \ cdot {\ widehat {\ phi}} \\ {\ widehat {y}} \ cdot {\ widehat {r}} și {\ widehat {y}} \ cdot {\ widehat { \ theta}} și {\ widehat {y}} \ cdot {\ widehat {\ phi}} \\ {\ widehat {z}} \ cdot {\ widehat {r}} și {\ widehat {z}} \ cdot {\ widehat {\ theta}} și {\ widehat {z}} \ cdot {\ widehat {\ phi}} \\\ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} \ sin \ theta \ cos \ phi & \ cos \ theta \ cos \ phi & - \ sin \ phi \\\ sin \ theta \ sin \ phi & \ cos \ theta \ sin \ phi & \ cos \ phi \\\ cos \ theta & - \ sin \ theta & 0 \\\ end {pmatrix}}}

matricea schimbării coordonatelor din ${\widehat {x_{j}}}=(x,y,z)$ ${\ displaystyle {\ widehat {x_ {j}}} = (x, y, z)}$ ${\ displaystyle {\ widehat {x_ {j}}} = (x, y, z)}$ la ${\widehat {x}}_{j}^{*}=(r,\theta ,\phi )$ ${\ displaystyle {\ widehat {x}} _ {j} ^ {*} = (r, \ theta, \ phi)}$ ${\ displaystyle {\ widehat {x}} _ {j} ^ {*} = (r, \ theta, \ phi)}$ , avem un vector de $\mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ $\ R ^ 3$ poate fi scris în cele două sisteme de coordonate ca

U=\sum _{j=1}^{3}u_{j}{\widehat {x_{j}}}=\sum _{k=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}u_{j}^{*}R_{j,k}{\widehat {x_{k}^{*}}}.

{\ displaystyle U = \ sum _ {j = 1} ^ {3} u_ {j} {\ widehat {x_ {j}}} = \ sum _ {k = 1} ^ {3} \ sum _ {j = 1} ^ {3} u_ {j} ^ {*} R_ {j, k} {\ widehat {x_ {k} ^ {*}}}.}

{\ displaystyle U = \ sum _ {j = 1} ^ {3} u_ {j} {\ widehat {x_ {j}}} = \ sum _ {k = 1} ^ {3} \ sum _ {j = 1} ^ {3} u_ {j} ^ {*} R_ {j, k} {\ widehat {x_ {k} ^ {*}}}.}

Atâta timp cât $R_{i,j}$ ${\ displaystyle R_ {i, j}}$ ${\ displaystyle R_ {i, j}}$ trimite un sistem de coordonate ortonormale stângaci în altul, da $R^{T}R=\mathrm {Id} .$ ${\ displaystyle R ^ {T} R = \ mathrm {Id}.}$ ${\ displaystyle R ^ {T} R = \ mathrm {Id}.}$

Exprimând în mod explicit relațiile dintre unitățile vectoriale de bază, obținem:

{\hat {r}}=\sin \theta \,\cos \phi \,{\hat {x}}+\sin \theta \,\sin \phi \,{\hat {y}}+\cos \theta {\hat {z}};\qquad {\hat {r}}=\sin \theta \,\cos \phi \,{\hat {x}}+\sin \theta \,\sin \phi \,{\hat {y}}+\cos \theta {\hat {z}}

{\ displaystyle {\ hat {r}} = \ sin \ theta \, \ cos \ phi \, {\ hat {x}} + \ sin \ theta \, \ sin \ phi \, {\ hat {y}} + \ cos \ theta {\ hat {z}}; \ qquad {\ hat {r}} = \ sin \ theta \, \ cos \ phi \, {\ hat {x}} + \ sin \ theta \, \ sin \ phi \, {\ hat {y}} + \ cos \ theta {\ hat {z}}}

{\ displaystyle {\ hat {r}} = \ sin \ theta \, \ cos \ phi \, {\ hat {x}} + \ sin \ theta \, \ sin \ phi \, {\ hat {y}} + \ cos \ theta {\ hat {z}}; \ qquad {\ hat {r}} = \ sin \ theta \, \ cos \ phi \, {\ hat {x}} + \ sin \ theta \, \ sin \ phi \, {\ hat {y}} + \ cos \ theta {\ hat {z}}}

{\hat {\theta }}=\cos \theta \,\cos \phi \,{\hat {x}}+\cos \theta \,\sin \phi \,{\hat {y}}-\sin \theta {\hat {z}};\qquad {\hat {\theta }}=r\cos \theta \,\cos \phi \,{\hat {x}}+r\cos \theta \,\sin \phi \,{\hat {y}}-r\sin \theta {\hat {z}}

{\ displaystyle {\ hat {\ theta}} = \ cos \ theta \, \ cos \ phi \, {\ hat {x}} + \ cos \ theta \, \ sin \ phi \, {\ hat {y} } - \ sin \ theta {\ hat {z}}; \ qquad {\ hat {\ theta}} = r \ cos \ theta \, \ cos \ phi \, {\ hat {x}} + r \ cos \ theta \, \ sin \ phi \, {\ hat {y}} - r \ sin \ theta {\ hat {z}}}

{\ displaystyle {\ hat {\ theta}} = \ cos \ theta \, \ cos \ phi \, {\ hat {x}} + \ cos \ theta \, \ sin \ phi \, {\ hat {y} } - \ sin \ theta {\ hat {z}}; \ qquad {\ hat {\ theta}} = r \ cos \ theta \, \ cos \ phi \, {\ hat {x}} + r \ cos \ theta \, \ sin \ phi \, {\ hat {y}} - r \ sin \ theta {\ hat {z}}}

{\hat {\phi }}=-\sin \phi \,{\hat {x}}+\cos \phi \,{\hat {y}};\qquad {\hat {\phi }}=-r\sin \theta \,\sin \phi \,{\hat {x}}+r\sin \theta \,\cos \phi \,{\hat {y}}

{\ displaystyle {\ hat {\ phi}} = - \ sin \ phi \, {\ hat {x}} + \ cos \ phi \, {\ hat {y}}; \ qquad {\ hat {\ phi} } = - r \ sin \ theta \, \ sin \ phi \, {\ hat {x}} + r \ sin \ theta \, \ cos \ phi \, {\ hat {y}}}

{\ displaystyle {\ hat {\ phi}} = - \ sin \ phi \, {\ hat {x}} + \ cos \ phi \, {\ hat {y}}; \ qquad {\ hat {\ phi} } = - r \ sin \ theta \, \ sin \ phi \, {\ hat {x}} + r \ sin \ theta \, \ cos \ phi \, {\ hat {y}}}

și invers

{\hat {x}}=\sin \theta \,\cos \phi \,{\hat {r}}+\cos \theta \,\cos \phi \,{\hat {\theta }}-\sin \phi \,{\hat {\phi }};\qquad {\hat {x}}=\sin \theta \,\cos \phi \,{\hat {r}}+{\frac {1}{r}}\cos \theta \,\cos \phi \,{\hat {\theta }}-{\frac {1}{r\sin \theta }}\sin \phi \,{\hat {\phi }}

{\ displaystyle {\ hat {x}} = \ sin \ theta \, \ cos \ phi \, {\ hat {r}} + \ cos \ theta \, \ cos \ phi \, {\ hat {\ theta} } - \ sin \ phi \, {\ hat {\ phi}}; \ qquad {\ hat {x}} = \ sin \ theta \, \ cos \ phi \, {\ hat {r}} + {\ frac {1} {r}} \ cos \ theta \, \ cos \ phi \, {\ hat {\ theta}} - {\ frac {1} {r \ sin \ theta}} \ sin \ phi \, {\ pălărie {\ phi}}}

{\ displaystyle {\ hat {x}} = \ sin \ theta \, \ cos \ phi \, {\ hat {r}} + \ cos \ theta \, \ cos \ phi \, {\ hat {\ theta} } - \ sin \ phi \, {\ hat {\ phi}}; \ qquad {\ hat {x}} = \ sin \ theta \, \ cos \ phi \, {\ hat {r}} + {\ frac {1} {r}} \ cos \ theta \, \ cos \ phi \, {\ hat {\ theta}} - {\ frac {1} {r \ sin \ theta}} \ sin \ phi \, {\ pălărie {\ phi}}}

{\hat {y}}=\sin \theta \,\sin \phi \,{\hat {r}}+\cos \theta \,\sin \phi \,{\hat {\theta }}+\cos \phi \,{\hat {\phi }};\qquad {\hat {y}}=\sin \theta \,\sin \phi \,{\hat {r}}+{\frac {1}{r}}\cos \theta \,\sin \phi \,{\hat {\theta }}+{\frac {1}{r\sin \theta }}\cos \phi \,{\hat {\phi }}

{\ displaystyle {\ hat {y}} = \ sin \ theta \, \ sin \ phi \, {\ hat {r}} + \ cos \ theta \, \ sin \ phi \, {\ hat {\ theta} } + \ cos \ phi \, {\ hat {\ phi}}; \ qquad {\ hat {y}} = \ sin \ theta \, \ sin \ phi \, {\ hat {r}} + {\ frac {1} {r}} \ cos \ theta \, \ sin \ phi \, {\ hat {\ theta}} + {\ frac {1} {r \ sin \ theta}} \ cos \ phi \, {\ pălărie {\ phi}}}

{\ displaystyle {\ hat {y}} = \ sin \ theta \, \ sin \ phi \, {\ hat {r}} + \ cos \ theta \, \ sin \ phi \, {\ hat {\ theta} } + \ cos \ phi \, {\ hat {\ phi}}; \ qquad {\ hat {y}} = \ sin \ theta \, \ sin \ phi \, {\ hat {r}} + {\ frac {1} {r}} \ cos \ theta \, \ sin \ phi \, {\ hat {\ theta}} + {\ frac {1} {r \ sin \ theta}} \ cos \ phi \, {\ pălărie {\ phi}}}

{\hat {z}}=\cos \theta \,{\hat {r}}-\sin \theta \,{\hat {\theta }};\quad {\hat {z}}=\cos \theta \,{\hat {r}}-{\frac {1}{r}}\sin \theta \,{\hat {\theta }}

{\ displaystyle {\ hat {z}} = \ cos \ theta \, {\ hat {r}} - \ sin \ theta \, {\ hat {\ theta}}; \ quad {\ hat {z}} = \ cos \ theta \, {\ hat {r}} - {\ frac {1} {r}} \ sin \ theta \, {\ hat {\ theta}}}

{\ displaystyle {\ hat {z}} = \ cos \ theta \, {\ hat {r}} - \ sin \ theta \, {\ hat {\ theta}}; \ quad {\ hat {z}} = \ cos \ theta \, {\ hat {r}} - {\ frac {1} {r}} \ sin \ theta \, {\ hat {\ theta}}}

În fizica particulelor , în unele cazuri se preferă utilizarea unghiului polar în loc $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ pseudorapiditatea definită ca