Coordonate eliptice

Coordonatele eliptice sunt coordonate curvilinei ortogonale pentru spațiul vectorial tridimensional. Acestea sunt definite prin referirea la două puncte situate prin intermediul triplelor coordonate carteziene, cum ar fi A = (0,0, - a ) și B = (0,0, a ). Pentru a le defini, se face referire la distanța R = 2 a și la cele două distanțe ale punctului generic P de la punctele A și B pe care le denotăm respectiv cu r _A și r _B. Apoi adoptăm coordonatele

\mu :={r_{A}+r_{B} \over R}

{\ displaystyle \ mu: = {r_ {A} + r_ {B} \ peste R}}

{\ displaystyle \ mu: = {r_ {A} + r_ {B} \ peste R}}

\nu :={r_{A}-r_{B} \over R}

{\ displaystyle \ nu: = {r_ {A} -r_ {B} \ peste R}}

{\ displaystyle \ nu: = {r_ {A} -r_ {B} \ peste R}}

\,\phi

{\ displaystyle \, \ phi}

\, \ phi

unghi format de planul PAB cu planul y = 0

Aceste coordonate au următoarele game de variabilitate

1\leq \mu <+\infty \qquad -1\leq \nu \leq +1\qquad 0\leq \phi <2\pi

{\ displaystyle 1 \ leq \ mu <+ \ infty \ qquad -1 \ leq \ nu \ leq +1 \ qquad 0 \ leq \ phi <2 \ pi}

{\ displaystyle 1 \ leq \ mu <+ \ infty \ qquad -1 \ leq \ nu \ leq +1 \ qquad 0 \ leq \ phi <2 \ pi}

.

Expresiile coordonatelor carteziene începând de la eliptice sunt

x=a{\sqrt {(\mu ^{2}-1)(1-\nu ^{2})}}\cos \phi

{\ displaystyle x = a {\ sqrt {(\ mu ^ {2} -1) (1- \ nu ^ {2})}} \ cos \ phi}

{\ displaystyle x = a {\ sqrt {(\ mu ^ {2} -1) (1- \ nu ^ {2})}} \ cos \ phi}

y=a{\sqrt {(\mu ^{2}-1)(1-\nu ^{2})}}\sin \phi

{\ displaystyle y = a {\ sqrt {(\ mu ^ {2} -1) (1- \ nu ^ {2})}} \ sin \ phi}

{\ displaystyle y = a {\ sqrt {(\ mu ^ {2} -1) (1- \ nu ^ {2})}} \ sin \ phi}

z\,=\,a\mu \nu

{\ displaystyle z \, = \, a \ mu \ nu}

{\ displaystyle z \, = \, a \ mu \ nu}

.

Suprafețele legate de valorile fixe ale μ sunt elipsoide de rotație cu focare în A și B , cele referitoare la valorile fixe ale ν sunt hiperboloizi de rotație cu focare în A și B și suprafețele legate de valorile fixe ale φ sunt semiplane definite de pe axa z .

Pentru volumul infinitesimal pe care îl avem

$dV=a^{3}(\mu ^{2}-\nu ^{2})d\mu \,d\nu \,d\phi$ ${\ displaystyle dV = a ^ {3} (\ mu ^ {2} - \ nu ^ {2}) d \ mu \, d \ nu \, d \ phi}$ ${\ displaystyle dV = a ^ {3} (\ mu ^ {2} - \ nu ^ {2}) d \ mu \, d \ nu \, d \ phi}$ .

Pentru operatorul Laplace

$\nabla ^{2}={1 \over a^{2}(\mu ^{2}-\nu ^{2})}\cdot$ ${\ displaystyle \ nabla ^ {2} = {1 \ peste un ^ {2} (\ mu ^ {2} - \ nu ^ {2})} \ cdot}$ ${\ displaystyle \ nabla ^ {2} = {1 \ peste un ^ {2} (\ mu ^ {2} - \ nu ^ {2})} \ cdot}$

\left\{{\partial  \over \partial \mu }\left[(\mu ^{2}-1){\partial  \over \partial \mu }\right]+{\partial  \over \partial \nu }\left[(1-\nu ^{2}){\partial  \over \partial \nu }\right]+{\mu ^{2}-\nu ^{2} \over (\mu ^{2}-1)(1-\nu ^{2})}{\partial ^{2} \over \partial \phi ^{2}}\right\}

{\ displaystyle \ left \ {{\ partial \ over \ partial \ mu} \ left [(\ mu ^ {2} -1) {\ partial \ over \ partial \ mu} \ right] + {\ partial \ over \ partial \ nu} \ left [(1- \ nu ^ {2}) {\ partial \ over \ partial \ nu} \ right] + {\ mu ^ {2} - \ nu ^ {2} \ over (\ mu ^ {2} -1) (1- \ nu ^ {2})} {\ partial ^ {2} \ over \ partial \ phi ^ {2}} \ right \}}

{\ displaystyle \ left \ {{\ partial \ over \ partial \ mu} \ left [(\ mu ^ {2} -1) {\ partial \ over \ partial \ mu} \ right] + {\ partial \ over \ partial \ nu} \ left [(1- \ nu ^ {2}) {\ partial \ over \ partial \ nu} \ right] + {\ mu ^ {2} - \ nu ^ {2} \ over (\ mu ^ {2} -1) (1- \ nu ^ {2})} {\ partial ^ {2} \ over \ partial \ phi ^ {2}} \ right \}}

Coordonatele eliptice sunt avantajoase pentru studiul sistemelor fizice care au două corpuri asemănătoare punctelor care mențin o distanță constantă (2 a ). În special, acestea facilitează tratamentul cuantic al ionului H ₂ ⁺ .

linkuri externe

( EN ) Eric W. Weisstein, Coordonate eliptice , în MathWorld , Wolfram Research.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică