Coordonate curvilinee

Coordonatele curvilinee sunt un sistem de coordonate pentru spațiul euclidian bazat pe o transformare care transformă sistemul de coordonate carteziene într-un sistem cu același număr de coordonate în care sunt curbate liniile de coordonate . În cazul bidimensional, în loc de coordonate carteziene $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ și $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ se folosesc coordonate generice $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ Și $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ . Cerința este ca transformarea să fie inversabilă local în orice moment. Aceasta înseamnă că orice punct dintr-un anumit sistem de referință poate fi convertit în coordonate curvilinee și invers.

Descriere

În funcție de aplicație, utilizarea unui sistem de coordonate curbiliniar poate fi mai simplă decât sistemul de coordonate cartezian. De exemplu, o problemă fizică cu simetrie sferică definită în $\mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ (de exemplu mișcarea unei sarcini într-un câmp), este de obicei mai simplă dacă este rezolvată în coordonate sferice mai degrabă decât în coordonate carteziene. În plus, condițiile la graniță pot crea și simetrie. De exemplu, mișcarea unei particule într-o cutie dreptunghiulară este mai ușor descrisă în coordonate carteziene, în timp ce mișcarea într-o sferă în coordonate sferice.

Multe concepte de calcul vectorial care sunt definite în coordonate carteziene sau în coordonate sferice, pot fi formulate într-un sistem de coordonate curbilinice generic. Aceasta oferă o oarecare abstracție și, prin urmare, este posibil să se obțină expresii generale de gradient , divergență , rotor și laplacian , valabile pentru orice sistem de coordonate curvilinee.

Cele mai cunoscute coordonate curvilinee sunt coordonatele polare pentru $\mathbb {R} ^{2}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ $\ mathbb {R} ^ {2}$ iar coordonatele sferice și coordonatele cilindrice pentru $\mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ .

Denumirea de coordonate curvilinee a fost inventată de matematicianul francez Lamé , din faptul că suprafețele coordonate într-un sistem de coordonate curvilinee sunt curbate spre deosebire de un sistem cartezian în care suprafețele de coordonate sunt plane, de exemplu $z=0$ ${\ displaystyle z = 0}$ ${\ displaystyle z = 0}$ definește planul $X y$ ${\ displaystyle xy}$ ${\ displaystyle xy}$ în timp ce de exemplu în coordonatele sferice suprafața coordonată $r=1$ ${\ displaystyle r = 1}$ $r = 1$ este o sferă unitară în $\mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ evident curbat.

Coordonate curvilinee generale

Coordonează suprafețele, liniile ondulate și axele de coordonate ale unui sistem de coordonate curbiliniar.

În cartezian coordonează poziția unui punct $P(x,y,z)$ ${\ displaystyle P (x, y, z)}$ ${\ displaystyle P (x, y, z)}$ este determinată de intersecția a trei plane perpendiculare, $x={\text{cost}}$ ${\ displaystyle x = {\ text {cost}}}$ ${\ displaystyle x = {\ text {cost}}}$ , $y={\text{cost}}$ ${\ displaystyle y = {\ text {cost}}}$ ${\ displaystyle y = {\ text {cost}}}$ , $z={\text{cost}}$ ${\ displaystyle z = {\ text {cost}}}$ ${\ displaystyle z = {\ text {cost}}}$ . Coordonatele $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ , $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ Și $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ acestea sunt legate de trei cantități noi $q_{1}$ ${\ displaystyle q_ {1}}$ ${\ displaystyle q_ {1}}$ , $q_{2}$ ${\ displaystyle q_ {2}}$ ${\ displaystyle q_ {2}}$ Și $q_{3}$ ${\ displaystyle q_ {3}}$ ${\ displaystyle q_ {3}}$ din ecuații:

x=x(q_{1},q_{2},q_{3})

{\ displaystyle x = x (q_ {1}, q_ {2}, q_ {3})}

{\ displaystyle x = x (q_ {1}, q_ {2}, q_ {3})}

transformare directă

y=y(q_{1},q_{2},q_{3})

{\ displaystyle y = y (q_ {1}, q_ {2}, q_ {3})}

{\ displaystyle y = y (q_ {1}, q_ {2}, q_ {3})}

(coordonate de la curviliniar la cartezian)

z=z(q_{1},q_{2},q_{3})

{\ displaystyle z = z (q_ {1}, q_ {2}, q_ {3})}

{\ displaystyle z = z (q_ {1}, q_ {2}, q_ {3})}

Sistemul de ecuații de mai sus poate fi rezolvat pentru necunoscute $q_{1}$ ${\ displaystyle q_ {1}}$ ${\ displaystyle q_ {1}}$ , $q_{2}$ ${\ displaystyle q_ {2}}$ ${\ displaystyle q_ {2}}$ Și $q_{3}$ ${\ displaystyle q_ {3}}$ ${\ displaystyle q_ {3}}$ cu soluții sub forma:

q_{1}=q_{1}(x,y,z)

{\ displaystyle q_ {1} = q_ {1} (x, y, z)}

{\ displaystyle q_ {1} = q_ {1} (x, y, z)}

transformare inversă

q_{2}=q_{2}(x,y,z)

{\ displaystyle q_ {2} = q_ {2} (x, y, z)}

{\ displaystyle q_ {2} = q_ {2} (x, y, z)}

(coordonate de la cartezian la curbiliniar)

q_{3}=q_{3}(x,y,z)

{\ displaystyle q_ {3} = q_ {3} (x, y, z)}

{\ displaystyle q_ {3} = q_ {3} (x, y, z)}

Funcțiile de transformare sunt de așa natură încât există un punct la unu între punctele din coordonatele „vechi” și „noi”, încât aceste funcții sunt bijective și îndeplinesc următoarele condiții în domeniul lor:

sunt funcții netede ;
determinantul Jacobianului :

{\partial (q_{1},q_{2},q_{3}) \over \partial (x,y,z)}={\begin{vmatrix}{\frac {\partial q_{1}}{\partial x}}&{\frac {\partial q_{2}}{\partial x}}&{\frac {\partial q_{3}}{\partial x}}\\{\frac {\partial q_{1}}{\partial y}}&{\frac {\partial q_{2}}{\partial y}}&{\frac {\partial q_{3}}{\partial y}}\\{\frac {\partial q_{1}}{\partial z}}&{\frac {\partial q_{2}}{\partial z}}&{\frac {\partial q_{3}}{\partial z}}\end{vmatrix}}\neq 0

{\ displaystyle {\ partial (q_ {1}, q_ {2}, q_ {3}) \ over \ partial (x, y, z)} = {\ begin {vmatrix} {\ frac {\ partial q_ {1 }} {\ partial x}} & {\ frac {\ partial q_ {2}} {\ partial x}} & {\ frac {\ partial q_ {3}} {\ partial x}} \\ {\ frac { \ partial q_ {1}} {\ partial y}} & {\ frac {\ partial q_ {2}} {\ partial y}} & {\ frac {\ partial q_ {3}} {\ partial y}} \ \ {\ frac {\ partial q_ {1}} {\ partial z}} și {\ frac {\ partial q_ {2}} {\ partial z}} și {\ frac {\ partial q_ {3}} {\ parțial z}} \ end {vmatrix}} \ neq 0}

{\ displaystyle {\ partial (q_ {1}, q_ {2}, q_ {3}) \ over \ partial (x, y, z)} = {\ begin {vmatrix} {\ frac {\ partial q_ {1 }} {\ partial x}} & {\ frac {\ partial q_ {2}} {\ partial x}} & {\ frac {\ partial q_ {3}} {\ partial x}} \\ {\ frac { \ partial q_ {1}} {\ partial y}} & {\ frac {\ partial q_ {2}} {\ partial y}} & {\ frac {\ partial q_ {3}} {\ partial y}} \ \ {\ frac {\ partial q_ {1}} {\ partial z}} și {\ frac {\ partial q_ {2}} {\ partial z}} și {\ frac {\ partial q_ {3}} {\ parțial z}} \ end {vmatrix}} \ neq 0}

nu este zero; aceasta înseamnă că transformarea este inversabilă conform teoremei funcției inverse . Condiția conform căreia determinantul iacobian este diferit de zero reflectă faptul că există trei suprafețe diferite care se intersectează într-un singur punct și astfel determină în mod unic poziția punctului.

Un punct generic poate fi descris prin specificarea ambelor $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ , $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ , $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ sau $q_{1}$ ${\ displaystyle q_ {1}}$ ${\ displaystyle q_ {1}}$ , $q_{2}$ ${\ displaystyle q_ {2}}$ ${\ displaystyle q_ {2}}$ , $q_{3}$ ${\ displaystyle q_ {3}}$ ${\ displaystyle q_ {3}}$ în timp ce fiecare ecuație inversă descrie o suprafață în noile coordonate și intersecțiile a trei dintre aceste suprafețe determină punctul din spațiul tridimensional. Suprafețele $q_{1}={\text{cost}}$ ${\ displaystyle q_ {1} = {\ text {cost}}}$ ${\ displaystyle q_ {1} = {\ text {cost}}}$ , $q_{2}={\text{cost}}$ ${\ displaystyle q_ {2} = {\ text {cost}}}$ ${\ displaystyle q_ {2} = {\ text {cost}}}$ , $q_{3}={\text{cost}}$ ${\ displaystyle q_ {3} = {\ text {cost}}}$ ${\ displaystyle q_ {3} = {\ text {cost}}}$ sunt suprafețele coordonate ; curbele formate prin intersecția unei perechi de suprafețe de coordonate se numește linie de coordonate . Axele de coordonate sunt determinate de tangențele la liniile de coordonate și de intersecția celor trei suprafețe. În general, ele nu fixează o direcție în spațiu, așa cum se întâmplă în coordonatele carteziene. Cantități $(q_{1},q_{2},q_{3})$ ${\ displaystyle (q_ {1}, q_ {2}, q_ {3})}$ ${\ displaystyle (q_ {1}, q_ {2}, q_ {3})}$ sunt coordonatele curvilinei ale punctului $P(q_{1},q_{2},q_{3})$ ${\ displaystyle P (q_ {1}, q_ {2}, q_ {3})}$ ${\ displaystyle P (q_ {1}, q_ {2}, q_ {3})}$ .

Mai general, $(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{n})$ ${\ displaystyle (q_ {1}, q_ {2}, \ ldots, q_ {n})}$ ${\ displaystyle (q_ {1}, q_ {2}, \ ldots, q_ {n})}$ sunt coordonate curvilinee în spațiu $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -dimensional.

Exemplu: coordonate sferice

Coordonează suprafețele, liniile de coordonate, axele de coordonate ale coordonatelor sferice. Suprafete:

r

{\ displaystyle r}

r

- sferă,

\theta

{\ displaystyle \ theta}

\ theta

- con,

\varphi

{\ displaystyle \ varphi}

\ varphi

- jumătate de plan; Linii:

r

{\ displaystyle r}

r

- jumătăți de linie,

\theta

{\ displaystyle \ theta}

\ theta

- semicercuri verticale,

\varphi

{\ displaystyle \ varphi}

\ varphi

- cercuri orizontale; Axe:

r

{\ displaystyle r}

r

- jumătăți de linie,

\theta

{\ displaystyle \ theta}

\ theta

- tangente la semicercurile verticale,

\varphi

{\ displaystyle \ varphi}

\ varphi

- tangente la cercurile orizontale

Coordonatele sferice sunt unul dintre cele mai utilizate sisteme de coordonate curvilinee, cum ar fi științele pământului, cartografie și fizică. Coordonatele curvilinei $(q_{1},q_{2},q_{3})$ ${\ displaystyle (q_ {1}, q_ {2}, q_ {3})}$ ${\ displaystyle (q_ {1}, q_ {2}, q_ {3})}$ în acest sistem sunt respectiv $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ ( distanța radială sau raza polară , $r\geq 0$ ${\ displaystyle r \ geq 0}$ ${\ displaystyle r \ geq 0}$ ), $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ ( azimut sau latitudine , $0\leq \theta \leq \pi$ ${\ displaystyle 0 \ leq \ theta \ leq \ pi}$ ${\ displaystyle 0 \ leq \ theta \ leq \ pi}$ ) Și $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ ( zenit sau longitudine , $0\leq \varphi \leq 2\pi$ ${\ displaystyle 0 \ leq \ varphi \ leq 2 \ pi}$ ${\ displaystyle 0 \ leq \ varphi \ leq 2 \ pi}$ ). Relația dintre coordonatele carteziene și coordonatele sferice este dată de:

x=r\sin {\theta }\cos {\varphi }

{\ displaystyle x = r \ sin {\ theta} \ cos {\ varphi}}

{\ displaystyle x = r \ sin {\ theta} \ cos {\ varphi}}

y=r\sin {\theta }\sin {\varphi }

{\ displaystyle y = r \ sin {\ theta} \ sin {\ varphi}}

{\ displaystyle y = r \ sin {\ theta} \ sin {\ varphi}}

z=r\cos {\theta }

{\ displaystyle z = r \ cos {\ theta}}

{\ displaystyle z = r \ cos {\ theta}}

transformare directă (de la sferică la carteziană)

Rezolvarea ecuațiilor sistemului pentru $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ , $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ , Și $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ se obțin relațiile dintre coordonatele sferice și coordonatele carteziene:

r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}

{\ displaystyle r = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}}}

{\ displaystyle r = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}}}

{\theta }=\arccos \left({\frac {z}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}\right)

{\ displaystyle {\ theta} = \ arccos \ left ({\ frac {z} {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}}} \ right)}

{\ displaystyle {\ theta} = \ arccos \ left ({\ frac {z} {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}}} \ right)}

sau

\cos \theta ={\frac {z}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}

{\ displaystyle \ cos \ theta = {\ frac {z} {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}}}}

{\ displaystyle \ cos \ theta = {\ frac {z} {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}}}}

{\varphi }=\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)

{\ displaystyle {\ varphi} = \ arctan \ left ({\ frac {y} {x}} \ right)}

{\ displaystyle {\ varphi} = \ arctan \ left ({\ frac {y} {x}} \ right)}

sau

\tan \varphi ={\frac {y}{x}}

{\ displaystyle \ tan \ varphi = {\ frac {y} {x}}}

{\ displaystyle \ tan \ varphi = {\ frac {y} {x}}}

transformări inverse (de la cartezian la sferic)

Suprafețele de coordonate sferice sunt derivate în termen de coordonatele carteziene prin fixarea coordonatelor sferice în transformările inverse la o valoare constantă. De aici ecuația $r={\text{cost}}$ ${\ displaystyle r = {\ text {cost}}}$ ${\ displaystyle r = {\ text {cost}}}$ reprezintă suprafețe sferice concentrice centrate la origine $SAU$ ${\ displaystyle O}$ $SAU$ de coordonate carteziene. Ecuația $\theta ={\text{cost}}$ ${\ displaystyle \ theta = {\ text {cost}}}$ ${\ displaystyle \ theta = {\ text {cost}}}$ reprezintă suprafețe conice circulare cu vârful în $SAU$ ${\ displaystyle O}$ $SAU$ iar cu ax axa $SAU z$ ${\ displaystyle Oz}$ ${\ displaystyle Oz}$ , $\varphi ={\text{cost}}$ ${\ displaystyle \ varphi = {\ text {cost}}}$ ${\ displaystyle \ varphi = {\ text {cost}}}$ sunt semiplanele mărginite de axă $SAU z$ ${\ displaystyle Oz}$ ${\ displaystyle Oz}$ și perpendicular pe planul coordonat cartesian $X SAU y$ ${\ displaystyle xOy}$ ${\ displaystyle xOy}$ . Fiecare linie de coordonate sferice este formată din intersecția unei perechi de suprafețe de coordonate sferice, corespunzătoare celorlalte două coordonate: liniile $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ ( distanța radială ) sunt jumătăți de linii $SAU r$ ${\ displaystyle Or}$ ${\ displaystyle Or}$ , intersecția unui con $\theta ={\text{cost}}$ ${\ displaystyle \ theta = {\ text {cost}}}$ ${\ displaystyle \ theta = {\ text {cost}}}$ și un avion și jumătate $\varphi ={\text{cost}}$ ${\ displaystyle \ varphi = {\ text {cost}}}$ ${\ displaystyle \ varphi = {\ text {cost}}}$ ; liniile $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ ( meridianele ) sunt semicercuri formate prin intersecția unei sfere $r={\text{cost}}$ ${\ displaystyle r = {\ text {cost}}}$ ${\ displaystyle r = {\ text {cost}}}$ și un avion și jumătate $\varphi ={\text{cost}}$ ${\ displaystyle \ varphi = {\ text {cost}}}$ ${\ displaystyle \ varphi = {\ text {cost}}}$ ; liniile $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ ( paralel ) sunt cercuri în planuri paralele cu $X SAU y$ ${\ displaystyle xOy}$ ${\ displaystyle xOy}$ intersecția unei sfere $r={\text{cost}}$ ${\ displaystyle r = {\ text {cost}}}$ ${\ displaystyle r = {\ text {cost}}}$ și un con $\theta ={\text{cost}}$ ${\ displaystyle \ theta = {\ text {cost}}}$ ${\ displaystyle \ theta = {\ text {cost}}}$ . Locația punctului $P(r,\theta ,\varphi )$ ${\ displaystyle P (r, \ theta, \ varphi)}$ ${\ displaystyle P (r, \ theta, \ varphi)}$ este determinată de intersecția a trei suprafețe de coordonate sau, alternativ, ca intersecție a trei linii de coordonate. Așii $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ Și $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ în $P(r,\theta ,\varphi )$ ${\ displaystyle P (r, \ theta, \ varphi)}$ ${\ displaystyle P (r, \ theta, \ varphi)}$ sunt reciproc perpendiculare (ortogonale) tangente la meridian și la paralel în acel punct, în timp ce axa $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ este îndreptată de-a lungul distanței radiale și este ortogonală atât la axă $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ acea $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ .

Suprafețele descrise de transformările inverse sunt funcții netede în domeniul lor. Jacobianul transformării inverse este:

J^{-1}={\frac {\partial (r,\theta ,\varphi )}{\partial (x,y,z)}}={\begin{vmatrix}\sin \theta \cos \varphi &\sin \theta \sin \varphi &\cos \theta \\{\frac {1}{r}}\cos \theta \cos \varphi &{\frac {1}{r}}\cos \theta \sin \varphi &-{\frac {1}{r}}\sin \theta \\-{\frac {1}{r}}{\frac {\sin \varphi }{\sin \theta }}&{\frac {1}{r}}{\frac {\cos \varphi }{\sin \theta }}&0\end{vmatrix}}={\frac {1}{r^{2}\sin {\theta }}}\neq 0

{\ displaystyle J ^ {- 1} = {\ frac {\ partial (r, \ theta, \ varphi)} {\ partial (x, y, z)}} = {\ begin {vmatrix} \ sin \ theta \ cos \ varphi & \ sin \ theta \ sin \ varphi & \ cos \ theta \\ {\ frac {1} {r}} \ cos \ theta \ cos \ varphi & {\ frac {1} {r}} \ cos \ theta \ sin \ varphi & - {\ frac {1} {r}} \ sin \ theta \\ - {\ frac {1} {r}} {\ frac {\ sin \ varphi} {\ sin \ theta} } & {\ frac {1} {r}} {\ frac {\ cos \ varphi} {\ sin \ theta}} & 0 \ end {vmatrix}} = {\ frac {1} {r ^ {2} \ sin {\ theta}}} \ neq 0}

{\ displaystyle J ^ {- 1} = {\ frac {\ partial (r, \ theta, \ varphi)} {\ partial (x, y, z)}} = {\ begin {vmatrix} \ sin \ theta \ cos \ varphi & \ sin \ theta \ sin \ varphi & \ cos \ theta \\ {\ frac {1} {r}} \ cos \ theta \ cos \ varphi & {\ frac {1} {r}} \ cos \ theta \ sin \ varphi & - {\ frac {1} {r}} \ sin \ theta \\ - {\ frac {1} {r}} {\ frac {\ sin \ varphi} {\ sin \ theta} } & {\ frac {1} {r}} {\ frac {\ cos \ varphi} {\ sin \ theta}} & 0 \ end {vmatrix}} = {\ frac {1} {r ^ {2} \ sin {\ theta}}} \ neq 0}

Bazele locale

Coordonatele sunt utilizate pentru a defini poziția sau distribuția mărimilor fizice care pot fi scalare, vectoriale sau tensoriale. Scalarele sunt exprimate ca puncte și poziția lor este definită prin specificarea coordonatelor lor prin utilizarea liniilor de coordonate sau a suprafețelor de coordonate. Vectorii sunt obiecte care au două caracteristici: modul și direcție. Pentru a defini un vector în termeni de coordonate, aveți nevoie de o structură de coordonate asociată, numită bază . O bază în spațiul tridimensional este un set de trei vectori liniar independenți $\{e_{1},e_{2},e_{3}\}$ ${\ displaystyle \ {e_ {1}, e_ {2}, e_ {3} \}}$ ${\ displaystyle \ {e_ {1}, e_ {2}, e_ {3} \}}$ , numită bază vectorială . Fiecare bază vectorială este asociată cu o coordonată în dimensiunea sa respectivă. Fiecare vector poate fi reprezentat ca suma vectorilor $A_{n}e_{n}$ ${\ displaystyle A_ {n} e_ {n}}$ ${\ displaystyle A_ {n} e_ {n}}$ format prin multiplicarea unui vector al bazei cu un coeficient scalar, numit component . Fiecare vector are exact o componentă pentru fiecare dimensiune și poate fi reprezentat ca suma vectorului: $A=A_{1}e_{1}+A_{2}e_{2}+A_{3}e_{3}$ ${\ displaystyle A = A_ {1} e_ {1} + A_ {2} e_ {2} + A_ {3} e_ {3}}$ ${\ displaystyle A = A_ {1} e_ {1} + A_ {2} e_ {2} + A_ {3} e_ {3}}$ , unde este $A_{n}$ ${\ displaystyle A_ {n}}$ ${\ displaystyle A_ {n}}$ Și $e_{n}$ ${\ displaystyle e_ {n}}$ ${\ displaystyle e_ {n}}$ sunt componentele și vectorii bazei. Condiția este o cerere pentru sistemul de coordonate și baza acestuia $A_{1}e_{1}+A_{2}e_{2}+A_{3}e_{3}\neq 0$ ${\ displaystyle A_ {1} e_ {1} + A_ {2} e_ {2} + A_ {3} e_ {3} \ neq 0}$ ${\ displaystyle A_ {1} e_ {1} + A_ {2} e_ {2} + A_ {3} e_ {3} \ neq 0}$ cât cel puțin unul dintre $A_{n}\neq 0$ ${\ displaystyle A_ {n} \ neq 0}$ ${\ displaystyle A_ {n} \ neq 0}$ . Această condiție este independența liniară. Independența liniară implică faptul că nu există nicio bază vector modul zero, deoarece ar da naștere vectorilor modul modul zero folosind orice componentă. Vectorii non-paraleli sunt liniar independenți și un triplu de vectori non-coplanari poate fi folosit ca bază în cele trei dimensiuni.

Pentru un sistem de coordonate curbilinice generic, vectorii de bază și componentele variază de la punct la punct. Dacă un transportator $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este inițial în subiect $P(q_{1},q_{2},q_{3})$ ${\ displaystyle P (q_ {1}, q_ {2}, q_ {3})}$ ${\ displaystyle P (q_ {1}, q_ {2}, q_ {3})}$ și este mutat în punctul P '(q' ₁ , q ' ₂ , q' ₃ ) în așa fel încât direcția și orientarea acestuia să fie păstrate, atunci noul vector va fi exprimat cu noi componente A ^' _n cu noi vectori de bază și ^_„nu. Prin urmare, suma vectorilor pe care o descrie $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ în noul punct este compus din vectori diferiți, deși suma rămâne aceeași. O bază de coordonate ai cărei vectori de bază își schimbă direcția și / sau direcția de la punct la punct se numește bază locală . Toate bazele asociate cu coordonatele curvilinee sunt neapărat locale. Bazele globale, adică cele compuse din vectori care rămân întotdeauna aceleași în toate punctele, pot fi asociate doar cu coordonate liniare. O expresie mai exactă pentru această sumă vectorială cu baza locală este $\mathbf {A} =\textstyle \sum _{i=1}^{n}A_{i}(q_{1}\ldots q_{n})\mathbf {e} _{i}(q_{1}\ldots q_{n})$ ${\ displaystyle \ mathbf {A} = \ textstyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} A_ {i} (q_ {1} \ ldots q_ {n}) \ mathbf {e} _ {i} (q_ {1} \ ldots q_ {n})}$ ${\ displaystyle \ mathbf {A} = \ textstyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} A_ {i} (q_ {1} \ ldots q_ {n}) \ mathbf {e} _ {i} (q_ {1} \ ldots q_ {n})}$ , în care dependența atât a componentelor, cât și a vectorilor bazei de punct este explicită ( $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ este mărimea).

Vectorii bazei pot fi asociați unui sistem de coordonate în două moduri: pot fi construiți de-a lungul axelor de coordonate (coliniare cu axele) sau perpendiculare pe suprafețele de coordonate. În primul caz (coliniar cu axele), vectorii bazei se transformă ca vectori covarianți , în timp ce în al doilea caz (normal față de suprafețe), vectorii bazei se transformă ca vectori contravarianți . Aceste două tipuri de baze se disting prin poziția indicilor lor: vectorii covarianți au un indice scăzut, în timp ce vectorii contravarianți au un indice ridicat. Deci, pentru un sistem de coordonate curbiliniare există două seturi de vectori de bază pentru fiecare punct: $\{e_{1},e_{2},e_{3}\}$ ${\ displaystyle \ {e_ {1}, e_ {2}, e_ {3} \}}$ ${\ displaystyle \ {e_ {1}, e_ {2}, e_ {3} \}}$ este baza covariantă, în timp ce $\{e^{1},e^{2},e^{3}\}$ ${\ displaystyle \ {e ^ {1}, e ^ {2}, e ^ {3} \}}$ ${\ displaystyle \ {e ^ {1}, e ^ {2}, e ^ {3} \}}$ este baza contravariantă. O proprietate importantă a reprezentării vectorilor și tensorilor în ceea ce privește componentele și vectorii bazei este invarianța în sensul că componentele care se transformă într-un mod covariant (sau contravariant) sunt asociate cu o bază vectorială care se transformă într-un mod contravariant ( sau covariantă). Aceasta înseamnă că într-o expresie în care un index apare de două ori, acesta trebuie să apară o dată în partea de sus și o dată în partea de jos. Deci, în suma vectorială de mai sus, baza vectorilor cu indici mici este înmulțită cu componente al căror indice este mare sau invers, astfel încât un vector poate fi descris în două moduri: $A=A^{1}e_{1}+A^{2}e_{2}+A^{3}e_{3}=A_{1}e^{1}+A_{2}e^{2}+A_{3}e^{3}$ ${\ displaystyle A = A ^ {1} e_ {1} + A ^ {2} e_ {2} + A ^ {3} e_ {3} = A_ {1} e ^ {1} + A_ {2} și ^ {2} + A_ {3} și ^ {3}}$ ${\ displaystyle A = A ^ {1} e_ {1} + A ^ {2} e_ {2} + A ^ {3} e_ {3} = A_ {1} e ^ {1} + A_ {2} și ^ {2} + A_ {3} și ^ {3}}$ . Sub o schimbare de coordonate, un vector se transformă în același mod ca și componentele sale. Astfel, un vector este covariant sau contravariant dacă, respectiv, componentele sale sunt covariante sau contravariante. Din sumele vectoriale anterioare, se observă că vectorii contravarianți sunt reprezentați cu o bază vectorială covariantă, iar vectorii covarianți sunt reprezentați cu o bază vectorială contravariantă. Acest lucru se reflectă în notația lui Einstein cu care suma vectorială $\textstyle \sum _{i=1}^{n}A^{i}\mathbf {e} _{i}$ ${\ displaystyle \ textstyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} A ^ {i} \ mathbf {e} _ {i}}$ ${\ displaystyle \ textstyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} A ^ {i} \ mathbf {e} _ {i}}$ și $\textstyle \sum _{i=1}^{n}A_{i}\mathbf {e} ^{i}$ ${\ displaystyle \ textstyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} A_ {i} \ mathbf {e} ^ {i}}$ ${\ displaystyle \ textstyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} A_ {i} \ mathbf {e} ^ {i}}$ baza vectorială și simbolul însumării sunt omise, rămânând singur $A^{i}$ ${\ displaystyle A ^ {i}}$ ${\ displaystyle A ^ {i}}$ Și $A_{i}$ ${\ displaystyle A_ {i}}$ $Către}$ care reprezintă, respectiv, un vector contravariant și un vector covariant.

Bazele Covariante

Transformarea bazei covariante locale în cazul coordonatelor curvilinei generale

Un vector contravariant este un vector ale cărui componente contravariante a căror poziție este determinată utilizând o bază vector covariantă care sunt construite de-a lungul axelor de coordonate. În analogie cu celelalte elemente de coordonate, transformarea bazei covariante a coordonatelor curvilinei generale este descrisă pornind de la sistemul de coordonate cartezian a cărui bază se numește bază standard. Baza standard este o bază globală compusă din 3 vectori reciproc ortogonali $\{i,j,k\}$ ${\ displaystyle \ {i, j, k \}}$ ${\ displaystyle \ {i, j, k \}}$ de unitate de lungime, adică modulul lor este $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ . Indiferent de modul de construcție (paralel cu axele, sau normal cu suprafețele de coordonate) în sistemul cartezian, rezultatul este un set de vectori care formează baza standard. Pentru a evita complicațiile, baza standard este construită de-a lungul axelor de coordonate.

În sens $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ , luată ca origine, $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ este una dintre coordonatele carteziene și q ₁ este una dintre coordonatele curvilinee. Baza de transport local este $e_{1}$ ${\ displaystyle e_ {1}}$ ${\ displaystyle e_ {1}}$ și este construit pe axă $q_{1}$ ${\ displaystyle q_ {1}}$ ${\ displaystyle q_ {1}}$ care este tangentă la linia de coordonate $q_{1}$ ${\ displaystyle q_ {1}}$ ${\ displaystyle q_ {1}}$ în sens $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ . Axa $q_{1}$ ${\ displaystyle q_ {1}}$ ${\ displaystyle q_ {1}}$ și vectorul $e_{1}$ ${\ displaystyle e_ {1}}$ ${\ displaystyle e_ {1}}$ formează un unghi $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ cu axa carteziană $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ și cu vectorul de bază cartezian $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ . Se notează din triunghi $P. LA B.$ ${\ displaystyle PAB}$ ${\ displaystyle PAB}$ acea $\cos \alpha ={\tfrac {|\mathbf {i} |}{|\mathbf {e} _{1}|}}$ ${\ displaystyle \ cos \ alpha = {\ tfrac {| \ mathbf {i} |} {| \ mathbf {e} _ {1} |}}}$ ${\ displaystyle \ cos \ alpha = {\ tfrac {| \ mathbf {i} |} {| \ mathbf {e} _ {1} |}}}$ unde este $|e_{1}|$ ${\ displaystyle | e_ {1} |}$ ${\ displaystyle | e_ {1} |}$ este modulul vectorului de bază $e_{1}$ ${\ displaystyle e_ {1}}$ ${\ displaystyle e_ {1}}$ Și $|i|$ ${\ displaystyle | i |}$ ${\ displaystyle | i |}$ este modulul vectorului bazei carteziene $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ care este și proiecția lui $e_{1}$ ${\ displaystyle e_ {1}}$ ${\ displaystyle e_ {1}}$ pe axă $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ . Rezultă că $|\mathbf {e} _{1}|={\tfrac {|\mathbf {i} |}{\cos \alpha }}$ ${\ displaystyle | \ mathbf {e} _ {1} | = {\ tfrac {| \ mathbf {i} |} {\ cos \ alpha}}}$ ${\ displaystyle | \ mathbf {e} _ {1} | = {\ tfrac {| \ mathbf {i} |} {\ cos \ alpha}}}$ Și $|\mathbf {i} |=|\mathbf {e} _{1}|\cos \alpha$ ${\ displaystyle | \ mathbf {i} | = | \ mathbf {e} _ {1} | \ cos \ alpha}$ ${\ displaystyle | \ mathbf {i} | = | \ mathbf {e} _ {1} | \ cos \ alpha}$ . Cu toate acestea, această metodă pentru transformările vectorului de bază folosind cosinusurile director nu este aplicabilă coordonatelor curvilinee din următorul motiv. Creșterea distanței de la $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ unghiul dintre linia curbilinie $q_{1}$ ${\ displaystyle q_ {1}}$ ${\ displaystyle q_ {1}}$ iar axa carteziană $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ diferă din ce în ce mai mult de $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ . La distanță $P. B.$ ${\ displaystyle PB}$ ${\ displaystyle PB}$ unghiul adevărat este acela dintre tangenta la punct $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ și axa $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ și este diferit de $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ . Unghiurile care o înclină $q_{1}$ ${\ displaystyle q_ {1}}$ ${\ displaystyle q_ {1}}$ și axa $q_{1}$ ${\ displaystyle q_ {1}}$ ${\ displaystyle q_ {1}}$ formează cu axa $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ devin din ce în ce mai mici. Fii punctul $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ situat foarte aproape de $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ , atât de aproape încât distanța $P. ȘI$ ${\ displaystyle PE}$ ${\ displaystyle PE}$ este infinitesimal. Atunci $P. ȘI$ ${\ displaystyle PE}$ ${\ displaystyle PE}$ măsurată pe axă $q_{1}$ ${\ displaystyle q_ {1}}$ ${\ displaystyle q_ {1}}$ aproape coincide cu $P. ȘI$ ${\ displaystyle PE}$ ${\ displaystyle PE}$ măsurată pe linie $q_{1}$ ${\ displaystyle q_ {1}}$ ${\ displaystyle q_ {1}}$ . La fel, relația ${\tfrac {PD}{PE}}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {PD} {PE}}}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {PD} {PE}}}$ ( $P. D.$ ${\ displaystyle PD}$ ${\ displaystyle PD}$ este proiecția lui $P. ȘI$ ${\ displaystyle PE}$ ${\ displaystyle PE}$ pe axă $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ ) devine aproape exact la fel ca $\cos {\alpha }$ ${\ displaystyle \ cos {\ alpha}}$ ${\ displaystyle \ cos {\ alpha}}$ . Lasa-i sa fie $P. D.$ ${\ displaystyle PD}$ ${\ displaystyle PD}$ Și $P. ȘI$ ${\ displaystyle PE}$ ${\ displaystyle PE}$ numit respectiv $d X$ ${\ displaystyle dx}$ $dreapta$ Și $dq_{1}$ ${\ displaystyle dq_ {1}}$ ${\ displaystyle dq_ {1}}$ . Atunci $\cos \alpha ={\tfrac {dx}{dq_{1}}}$ ${\ displaystyle \ cos \ alpha = {\ tfrac {dx} {dq_ {1}}}}$ ${\ displaystyle \ cos \ alpha = {\ tfrac {dx} {dq_ {1}}}}$ Și ${\tfrac {1}{\cos \alpha }}={\tfrac {dq_{1}}{dx}}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {\ cos \ alpha}} = {\ tfrac {dq_ {1}} {dx}}}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {\ cos \ alpha}} = {\ tfrac {dq_ {1}} {dx}}}$ . Prin urmare, cosinusul director poate fi substituit în relațiile cu raporturile mai exacte dintre interceptările infinitesimale. Coordonatele curvilinei generice $q_{1}\equiv q_{1}(x,y,z)$ ${\ displaystyle q_ {1} \ equiv q_ {1} (x, y, z)}$ ${\ displaystyle q_ {1} \ equiv q_ {1} (x, y, z)}$ Și $x\equiv x(q_{1},q_{2},q_{3})$ ${\ displaystyle x \ equiv x (q_ {1}, q_ {2}, q_ {3})}$ ${\ displaystyle x \ equiv x (q_ {1}, q_ {2}, q_ {3})}$ sunt funcții netede (diferențiate continuu) și, prin urmare, relația poate fi scrisă ca ${\tfrac {dq_{1}}{dx}}={\tfrac {dq_{1}(x,y,z)}{dx}}={\tfrac {\partial q_{1}}{\partial x}}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {dq_ {1}} {dx}} = {\ tfrac {dq_ {1} (x, y, z)} {dx}} = {\ tfrac {\ partial q_ {1}} { \ partial x}}}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {dq_ {1}} {dx}} = {\ tfrac {dq_ {1} (x, y, z)} {dx}} = {\ tfrac {\ partial q_ {1}} { \ partial x}}}$ Și ${\tfrac {dx}{dq_{1}}}={\tfrac {dx(q_{1},q_{1},q_{3})}{dq_{1}}}={\tfrac {\partial x}{\partial q_{1}}}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {dx} {dq_ {1}}} = {\ tfrac {dx (q_ {1}, q_ {1}, q_ {3})} {dq_ {1}}} = {\ tfrac {\ partial x} {\ partial q_ {1}}}}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {dx} {dq_ {1}}} = {\ tfrac {dx (q_ {1}, q_ {1}, q_ {3})} {dq_ {1}}} = {\ tfrac {\ partial x} {\ partial q_ {1}}}}$ , adică aceste rapoarte sunt derivatele parțiale ale coordonatelor unui sistem față de coordonatele celuilalt sistem.

Rezultă că componenta (proiecția) din $e_{1}$ ${\ displaystyle e_ {1}}$ ${\ displaystyle e_ {1}}$ pe axă $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ Și $x={\tfrac {|\mathbf {i} |}{|\mathbf {e} _{1}|}}|\mathbf {e} _{1}|=\cos \alpha |\mathbf {e} _{1}|={\tfrac {\partial x}{\partial q_{1}}}|\mathbf {e} _{1}|$ ${\ displaystyle x = {\ tfrac {| \ mathbf {i} |} {| \ mathbf {e} _ {1} |}} | \ mathbf {e} _ {1} | = \ cos \ alpha | \ mathbf {e} _ {1} | = {\ tfrac {\ partial x} {\ partial q_ {1}}} | \ mathbf {e} _ {1} |}$ ${\ displaystyle x = {\ tfrac {| \ mathbf {i} |} {| \ mathbf {e} _ {1} |}} | \ mathbf {e} _ {1} | = \ cos \ alpha | \ mathbf {e} _ {1} | = {\ tfrac {\ partial x} {\ partial q_ {1}}} | \ mathbf {e} _ {1} |}$ . Proiecția vectorilor normalizați cea a bazei $|e_{1}|=1$ ${\ displaystyle | e_ {1} | = 1}$ ${\ displaystyle | e_ {1} | = 1}$ poate fi construit este dat de un vector de-a lungul axei $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ înmulțit cu vectorul de bază standard $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ . Făcând același lucru pentru coordonatele din spații cu dimensiuni mai mari, $e_{1}$ ${\ displaystyle e_ {1}}$ ${\ displaystyle e_ {1}}$ poate fi exprimat ca: $\mathbf {e} _{1}={\tfrac {\partial x}{\partial q_{1}}}\mathbf {i} +{\tfrac {\partial y}{\partial q_{1}}}\mathbf {j} +{\tfrac {\partial z}{\partial q_{1}}}\mathbf {k}$ ${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {1} = {\ tfrac {\ partial x} {\ partial q_ {1}}} \ mathbf {i} + {\ tfrac {\ partial y} {\ partial q_ {1 }}} \ mathbf {j} + {\ tfrac {\ partial z} {\ partial q_ {1}}} \ mathbf {k}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {1} = {\ tfrac {\ partial x} {\ partial q_ {1}}} \ mathbf {i} + {\ tfrac {\ partial y} {\ partial q_ {1 }}} \ mathbf {j} + {\ tfrac {\ partial z} {\ partial q_ {1}}} \ mathbf {k}}$ . Ecuații similare sunt valabile pentru $e_{2}$ ${\ displaystyle e_ {2}}$ ${\ displaystyle e_ {2}}$ și $e_{3}$ ${\ displaystyle e_ {3}}$ ${\ displaystyle e_ {3}}$ astfel încât baza standard $\{i,j,k\}$ ${\ displaystyle \ {i, j, k \}}$ ${\ displaystyle \ {i, j, k \}}$ se transformă în baza locală ordonată și normalizată $\{e_{1},e_{2},e_{3}\}$ ${\ displaystyle \ {e_ {1}, e_ {2}, e_ {3} \}}$ ${\ displaystyle \ {e_ {1}, e_ {2}, e_ {3} \}}$ din următorul sistem de ecuații:

${\begin{cases}{\tfrac {\partial x}{\partial q_{1}}}\mathbf {i} +{\tfrac {\partial y}{\partial q_{1}}}\mathbf {j} +{\tfrac {\partial z}{\partial q_{1}}}\mathbf {k} =\mathbf {e} _{1}\\{\tfrac {\partial x}{\partial q_{2}}}\mathbf {i} +{\tfrac {\partial y}{\partial q_{2}}}\mathbf {j} +{\tfrac {\partial z}{\partial q_{2}}}\mathbf {k} =\mathbf {e} _{2}\\{\tfrac {\partial x}{\partial q_{3}}}\mathbf {i} +{\tfrac {\partial y}{\partial q_{3}}}\mathbf {j} +{\tfrac {\partial z}{\partial q_{3}}}\mathbf {k} =\mathbf {e} _{3}.\end{cases}}$ ${\ displaystyle {\ begin {cases} {\ tfrac {\ partial x} {\ partial q_ {1}}} \ mathbf {i} + {\ tfrac {\ partial y} {\ partial q_ {1}}} \ mathbf {j} + {\ tfrac {\ partial z} {\ partial q_ {1}}} \ mathbf {k} = \ mathbf {e} _ {1} \\ {\ tfrac {\ partial x} {\ partial q_ {2}}} \ mathbf {i} + {\ tfrac {\ partial y} {\ partial q_ {2}}} \ mathbf {j} + {\ tfrac {\ partial z} {\ partial q_ {2} }} \ mathbf {k} = \ mathbf {e} _ {2} \\ {\ tfrac {\ partial x} {\ partial q_ {3}}} \ mathbf {i} + {\ tfrac {\ partial y} {\ partial q_ {3}}} \ mathbf {j} + {\ tfrac {\ partial z} {\ partial q_ {3}}} \ mathbf {k} = \ mathbf {e} _ {3}. \ end {cazuri}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {cases} {\ tfrac {\ partial x} {\ partial q_ {1}}} \ mathbf {i} + {\ tfrac {\ partial y} {\ partial q_ {1}}} \ mathbf {j} + {\ tfrac {\ partial z} {\ partial q_ {1}}} \ mathbf {k} = \ mathbf {e} _ {1} \\ {\ tfrac {\ partial x} {\ partial q_ {2}}} \ mathbf {i} + {\ tfrac {\ partial y} {\ partial q_ {2}}} \ mathbf {j} + {\ tfrac {\ partial z} {\ partial q_ {2} }} \ mathbf {k} = \ mathbf {e} _ {2} \\ {\ tfrac {\ partial x} {\ partial q_ {3}}} \ mathbf {i} + {\ tfrac {\ partial y} {\ partial q_ {3}}} \ mathbf {j} + {\ tfrac {\ partial z} {\ partial q_ {3}}} \ mathbf {k} = \ mathbf {e} _ {3}. \ end {cazuri}}}$

Purtători $\{e_{1},e_{2},e_{3}\}$ ${\ displaystyle \ {e_ {1}, e_ {2}, e_ {3} \}}$ ${\ displaystyle \ {e_ {1}, e_ {2}, e_ {3} \}}$ în partea dreaptă a ecuațiilor precedente sunt vectori unitari direcționați de-a lungul celor trei axe ale sistemului de coordonate curvilinee. Cu toate acestea, în general, nu este necesar ca vectorii bazei sistemului de coordonate curvilinei să fie unitari. Se poate dovedi cu ușurință că starea $|e_{1}|=|e_{2}|=|e_{3}|=1$ ${\ displaystyle | e_ {1} | = | e_ {2} | = | e_ {3} | = 1}$ ${\ displaystyle | e_ {1} | = | e_ {2} | = | e_ {3} | = 1}$ este un rezultat al transformării și nu o cerere a priori impusă pe baza curbiliniară. Dacă în schimb baza locală $\{e_{1},e_{2},e_{3}\}$ ${\ displaystyle \ {e_ {1}, e_ {2}, e_ {3} \}}$ ${\ displaystyle \ {e_ {1}, e_ {2}, e_ {3} \}}$ nu este normalizat atunci în partea dreaptă, în loc de $e_{1}$ ${\ displaystyle e_ {1}}$ ${\ displaystyle e_ {1}}$ , $e_{2}$ ${\ displaystyle e_ {2}}$ ${\ displaystyle e_ {2}}$ și $e_{3}$ ${\ displaystyle e_ {3}}$ ${\ displaystyle e_ {3}}$ va fi ${\tfrac {\mathbf {e} _{1}}{|\mathbf {e} _{1}|}}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {\ mathbf {e} _ {1}} {| \ mathbf {e} _ {1} |}}}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {\ mathbf {e} _ {1}} {| \ mathbf {e} _ {1} |}}}$ , ${\tfrac {\mathbf {e} _{2}}{|\mathbf {e} _{2}|}}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {\ mathbf {e} _ {2}} {| \ mathbf {e} _ {2} |}}}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {\ mathbf {e} _ {2}} {| \ mathbf {e} _ {2} |}}}$ Și ${\tfrac {\mathbf {e} _{3}}{|\mathbf {e} _{3}|}}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {\ mathbf {e} _ {3}} {| \ mathbf {e} _ {3} |}}}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {\ mathbf {e} _ {3}} {| \ mathbf {e} _ {3} |}}}$ care sunt încă vectori unitari direcționați de-a lungul axelor de coordonate.

Cu un raționament similar, dar proiectând baza standard pe axele curvilinee ( $|i|=|j|=|k|=1$ ${\ displaystyle | i | = | j | = | k | = 1}$ $|i|=|j|=|k|=1$ in accordo con la definizione di base standard), si può ottenere la trasformazione inversa da base locale a base standard:

${\begin{cases}{\tfrac {\partial q_{1}}{\partial x}}\mathbf {e} _{1}+{\tfrac {\partial q_{2}}{\partial x}}\mathbf {e} _{2}+{\tfrac {\partial q_{3}}{\partial x}}\mathbf {e} _{3}=\mathbf {i} \\{\tfrac {\partial q_{1}}{\partial y}}\mathbf {e} _{1}+{\tfrac {\partial q_{2}}{\partial y}}\mathbf {e} _{2}+{\tfrac {\partial q_{3}}{\partial y}}\mathbf {e} _{3}=\mathbf {j} \\{\tfrac {\partial q_{1}}{\partial z}}\mathbf {e} _{1}+{\tfrac {\partial q_{2}}{\partial z}}\mathbf {e} _{2}+{\tfrac {\partial q_{3}}{\partial z}}\mathbf {e} _{3}=\mathbf {k} .\end{cases}}$ ${\begin{cases}{\tfrac {\partial q_{1}}{\partial x}}\mathbf {e} _{1}+{\tfrac {\partial q_{2}}{\partial x}}\mathbf {e} _{2}+{\tfrac {\partial q_{3}}{\partial x}}\mathbf {e} _{3}=\mathbf {i} \\{\tfrac {\partial q_{1}}{\partial y}}\mathbf {e} _{1}+{\tfrac {\partial q_{2}}{\partial y}}\mathbf {e} _{2}+{\tfrac {\partial q_{3}}{\partial y}}\mathbf {e} _{3}=\mathbf {j} \\{\tfrac {\partial q_{1}}{\partial z}}\mathbf {e} _{1}+{\tfrac {\partial q_{2}}{\partial z}}\mathbf {e} _{2}+{\tfrac {\partial q_{3}}{\partial z}}\mathbf {e} _{3}=\mathbf {k} .\end{cases}}$ ${\begin{cases}{\tfrac {\partial q_{1}}{\partial x}}\mathbf {e} _{1}+{\tfrac {\partial q_{2}}{\partial x}}\mathbf {e} _{2}+{\tfrac {\partial q_{3}}{\partial x}}\mathbf {e} _{3}=\mathbf {i} \\{\tfrac {\partial q_{1}}{\partial y}}\mathbf {e} _{1}+{\tfrac {\partial q_{2}}{\partial y}}\mathbf {e} _{2}+{\tfrac {\partial q_{3}}{\partial y}}\mathbf {e} _{3}=\mathbf {j} \\{\tfrac {\partial q_{1}}{\partial z}}\mathbf {e} _{1}+{\tfrac {\partial q_{2}}{\partial z}}\mathbf {e} _{2}+{\tfrac {\partial q_{3}}{\partial z}}\mathbf {e} _{3}=\mathbf {k} .\end{cases}}$

Il sistema lineare precedente può essere in forma matriciale come ${\tfrac {\partial x_{i}}{\partial q_{k}}}\mathbf {i} _{i}=\mathbf {e} _{k}$ ${\tfrac {\partial x_{i}}{\partial q_{k}}}\mathbf {i} _{i}=\mathbf {e} _{k}$ ${\tfrac {\partial x_{i}}{\partial q_{k}}}\mathbf {i} _{i}=\mathbf {e} _{k}$ e ${\tfrac {\partial q_{i}}{\partial x_{k}}}\mathbf {e} _{i}=\mathbf {i} _{k}$ ${\tfrac {\partial q_{i}}{\partial x_{k}}}\mathbf {e} _{i}=\mathbf {i} _{k}$ ${\tfrac {\partial q_{i}}{\partial x_{k}}}\mathbf {e} _{i}=\mathbf {i} _{k}$ dove $x_{i}$ $x_{i}$ $x_{i}$ sono le coordinate cartesiane $x$ ${\displaystyle x}$ $x$ , $y$ ${\displaystyle y}$ $y$ , $z$ ${\displaystyle z}$ $z$ e $i_{i}$ $i_{i}$ $i_{i}$ sono i vettori standard $i$ ${\displaystyle i}$ $i$ , $j$ ${\displaystyle j}$ $j$ e $k$ ${\displaystyle k}$ $k$ . Le matrici del sistema sono rispettivamente ${\tfrac {\partial x_{i}}{\partial q_{k}}}$ ${\tfrac {\partial x_{i}}{\partial q_{k}}}$ ${\tfrac {\partial x_{i}}{\partial q_{k}}}$ and ${\tfrac {\partial q_{i}}{\partial x_{k}}}$ ${\tfrac {\partial q_{i}}{\partial x_{k}}}$ ${\tfrac {\partial q_{i}}{\partial x_{k}}}$ . Allo stesso modo queste due matrici sono il Jacobiano $J_{ik}$ $J_{ik}$ $J_{ik}$ e $J_{ik}^{-1}$ $J_{ik}^{-1}$ $J_{ik}^{-1}$ delle trasformazioni dei vettori della base curvilinea ai vettori della base cartesiane e viceversa. Nel secondo sistema di equazioni (la trasformazione inversa), le incognite sono i vettori della base curvilinea che devono essere tali che in ogni punto del sistema di coordinate curvilinee deve esiste uno e un solo insieme di vettori della base. Questa condizione è soddisfatta se e solo se il sistema di equazioni ha una sola soluzione, cioè se il determinante della matrice è diverso da zero. Per il secondo sistema di equazioni, il determinante della matrice è $\det {J_{ik}^{-1}}=J^{-1}={\tfrac {\partial (q_{1},q_{2},q_{3})}{\partial (x,y,z)}}\neq 0$ $\det {J_{ik}^{-1}}=J^{-1}={\tfrac {\partial (q_{1},q_{2},q_{3})}{\partial (x,y,z)}}\neq 0$ $\det {J_{ik}^{-1}}=J^{-1}={\tfrac {\partial (q_{1},q_{2},q_{3})}{\partial (x,y,z)}}\neq 0$ .

Un'altra proprietà delle trasformazioni precedenti è la natura delle derivate. In generale vale la seguente definizione:

Un vettore covariante è un oggetto che in un sistema di coordinate $x$ ${\displaystyle x}$ $x$ è definito da $n$ ${\displaystyle n}$ $n$ numeri ordinati o funzioni (componenti) $a_{i}(x^{1},x^{2},x^{3})$ $a_{i}(x^{1},x^{2},x^{3})$ $a_{i}(x^{1},x^{2},x^{3})$ e in un sistema $q$ ${\displaystyle q}$ $q$ è definito da $n$ ${\displaystyle n}$ $n$ componenti ordinate ${\bar {a}}_{i}(q^{1},q^{2},q^{3})$ ${\bar {a}}_{i}(q^{1},q^{2},q^{3})$ ${\bar {a}}_{i}(q^{1},q^{2},q^{3})$ che sono legate da $a_{i}(x^{1},x^{2},x^{3})$ $a_{i}(x^{1},x^{2},x^{3})$ $a_{i}(x^{1},x^{2},x^{3})$ in ogni punto dello spazio dalla trasformazione ${\bar {a}}_{k}={\tfrac {\partial x^{i}}{\partial q^{k}}}a_{i}$ ${\bar {a}}_{k}={\tfrac {\partial x^{i}}{\partial q^{k}}}a_{i}$ ${\bar {a}}_{k}={\tfrac {\partial x^{i}}{\partial q^{k}}}a_{i}$ .

Questa definizione è così generale che si applica alla covarianza in senso astratto, quindi non solo ai vettori della base, ma anche a tutti i vettori, alle componenti, ai tensori, pseudovettori, e pseudotensori (negli ultimi due casi con inversione di segno).

I coefficienti delle derivate parziali con cui i vettori trasformano sono chiamati coefficienti di scala o coefficienti di Lamé (da Gabriel Lamé ): $h_{ik}={\tfrac {\partial x^{i}}{\partial q^{k}}}$ $h_{ik}={\tfrac {\partial x^{i}}{\partial q^{k}}}$ $h_{ik}={\tfrac {\partial x^{i}}{\partial q^{k}}}$ . Tuttavia la notazione $h_{ik}$ $h_{ik}$ $h_{ik}$ è poco usata, e si preferisce usare ${\sqrt {g_{ik}}}$ ${\sqrt {g_{ik}}}$ ${\sqrt {g_{ik}}}$ , che sono le componenti del tensore metrico .