Operator Laplace

În matematică și fizică , în special în calculul diferențial vectorial , operatorul Laplace sau Laplacian , al cărui nume se datorează lui Pierre Simon Laplace , este un operator diferențial de ordinul doi definit ca divergența gradientului unei funcții într-un spațiu euclidian și este reprezentată de obicei prin simboluri $\nabla \cdot \nabla$ ${\ displaystyle \ nabla \ cdot \ nabla}$ ${\ displaystyle \ nabla \ cdot \ nabla}$ , $\nabla ^{2}$ ${\ displaystyle \ nabla ^ {2}}$ $\ nabla ^ 2$ , sau $\Delta$ ${\ displaystyle \ Delta}$ $\ Delta$ .

Este un operator eliptic , care în coordonatele carteziene este definit ca suma derivatelor parțiale neamestecate secundare față de coordonate. Operatorul Laplace poate opera de la două la n dimensiuni și poate fi aplicat atât câmpurilor scalare, cât și câmpurilor vectoriale. Funcțiile clasei $C^{2}$ ${\ displaystyle C ^ {2}}$ $C ^ 2$ care anulează Laplacianul sau care satisfac ecuația Laplace sunt funcțiile armonice .

Operatorul Laplace este generalizat la spații neeuclidiene, unde apare și sub forma, de exemplu, a unui operator eliptic , hiperbolic . În special, în spațiul Minkowski , operatorul Laplace-Beltrami devine operatorul d'Alembert .

Laplacianul este folosit, de exemplu, pentru a modela propagarea undelor și fluxul de căldură , care apare în ecuația Helmholtz . De asemenea, joacă un rol central în electrostatică , unde este utilizat în ecuația Laplace și în ecuația Poisson . În mecanica cuantică reprezintă energia cinetică observabilă și este prezentă în ecuația Schrödinger . În hidraulică este folosit pentru a obține expresia căderii piezometrice în funcție de caracteristicile unui curent canalizat în regim laminar. În cele din urmă, operatorul Laplace se află în centrul teoriei lui Hodge și a rezultatelor cohomologiei lui De Rham .

Definiție

Cel mai semnificativ mod de a indica operatorul Laplace utilizează operatorul diferențial vectorial nabla pătrat, abreviat cu $\nabla ^{2}$ ${\ displaystyle \ nabla ^ {2}}$ $\ nabla ^ 2$ . Având o funcție $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ într-un spațiu euclidian , operatorul Laplace s-a aplicat la $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este divergența $\nabla \cdot$ ${\ displaystyle \ nabla \ cdot}$ $\ nabla \ cdot$ a gradientului $\nabla f$ ${\ displaystyle \ nabla f}$ $\ nabla f$ din $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ :

\nabla ^{2}f(\mathbf {x} )=\nabla \!\cdot \!\nabla f(\mathbf {x} )

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} f (\ mathbf {x}) = \ nabla \! \ cdot \! \ nabla f (\ mathbf {x})}

\ nabla ^ {2} f ({\ mathbf {x}}) = \ nabla \! \ cdot \! \ nabla f ({\ mathbf {x}})

Notațiile sunt, de asemenea, utilizate:

\nabla ^{2}f=\Delta f=\nabla \!\cdot \!\nabla f

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} f = \ Delta f = \ nabla \! \ cdot \! \ nabla f}

\ nabla ^ {2} f = \ Delta f = \ nabla \! \ cdot \! \ nabla f

unde acesta din urmă derivă din scris:

\nabla =\left({\frac {\partial }{\partial x_{1}}},\cdots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\right)

{\ displaystyle \ nabla = \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial x_ {1}}}, \ cdots, {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {n}}} \ right)}

{\ displaystyle \ nabla = \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial x_ {1}}}, \ cdots, {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {n}}} \ right)}

Operatorul Laplace în coordonate carteziene , într-un spațiu de dimensiune n , este dat de:

\nabla ^{2}={\partial ^{2} \over \partial x_{1}^{2}}+\dots +{\partial ^{2} \over \partial x_{n}^{2}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}^{2}}}

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} = {\ partial ^ {2} \ over \ partial x_ {1} ^ {2}} + \ dots + {\ partial ^ {2} \ over \ partial x_ {n} ^ {2}} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial x_ {i} ^ {2}}}}

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} = {\ partial ^ {2} \ over \ partial x_ {1} ^ {2}} + \ dots + {\ partial ^ {2} \ over \ partial x_ {n} ^ {2}} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial x_ {i} ^ {2}}}}

Generalizări

Operator Laplace-Beltrami

Același subiect în detaliu: operator Laplace-Beltrami .

Laplacianul poate fi generalizat la un operator eliptic definit pe o varietate Riemanniană și numit operator Laplace - Beltrami, în timp ce operatorul d'Alembert generalizează la un operator hiperbolic definit pe o varietate pseudo-Riemanniană . Operatorul Laplace - Beltrami aplicat unei funcții este urmele matricei sale Hessian :

\Delta _{2}f=\mathrm {tr} (H(f))

{\ displaystyle \ Delta _ {2} f = \ mathrm {tr} (H (f))}

{\ displaystyle \ Delta _ {2} f = \ mathrm {tr} (H (f))}

unde urmele sunt calculate în raport cu inversul tensorului metric . Acest operator poate fi generalizat și în cazul câmpurilor tensoriale cu o formulă similară.

O altă posibilă generalizare a operatorului Laplace pe varietăți pseudo-Riemanniene folosește derivata externă , prin care Laplace ia forma:

\Delta _{2}f=d^{*}df

{\ displaystyle \ Delta _ {2} f = d ^ {*} df}

{\ displaystyle \ Delta _ {2} f = d ^ {*} df}

unde este $d^{*}$ ${\ displaystyle d ^ {*}}$ $d ^ {*}$ este codiferențial . Trebuie remarcat faptul că există o diferență de semn în comparație cu definiția dată mai sus.

În general, laplacianul este extins la formele diferențiale $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ prin intermediul operatorului Laplace-de Rham :

\Delta _{2}\alpha =d^{*}d\alpha +dd^{*}\alpha

{\ displaystyle \ Delta _ {2} \ alpha = d ^ {*} d \ alpha + dd ^ {*} \ alpha}

{\ displaystyle \ Delta _ {2} \ alpha = d ^ {*} d \ alpha + dd ^ {*} \ alpha}

care se referă la operatorul Laplace - Beltrami prin identitatea Weitzenböck .

D'Alembertiano

Același subiect în detaliu: operator d'Alembert .

Operatorul Laplace poate fi generalizat în anumite moduri la spații neeuclidiene, unde poate fi un operator eliptic , hiperbolic sau ultrahiperbolic . În spațiul Minkowski , operatorul Laplace - Beltrami devine operatorul d'Alembert:

\square ={\frac {1}{c^{2}}}{\partial ^{2} \over \partial t^{2}}-{\partial ^{2} \over \partial x^{2}}-{\partial ^{2} \over \partial y^{2}}-{\partial ^{2} \over \partial z^{2}}

{\ displaystyle \ square = {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ partial ^ {2} \ over \ partial t ^ {2}} - {\ partial ^ {2} \ over \ partial x ^ {2}} - {\ partial ^ {2} \ over \ partial y ^ {2}} - {\ partial ^ {2} \ over \ partial z ^ {2}}}

\ square = {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ partial ^ {2} \ over \ partial t ^ {2}} - {\ partial ^ {2} \ over \ partial x ^ {2 }} - {\ partial ^ {2} \ over \ partial y ^ {2}} - {\ partial ^ {2} \ over \ partial z ^ {2}}

Alte sisteme de coordonate

În coordonatele polare , laplacianul din $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ Și:

{\begin{aligned}\nabla ^{2}f&={1 \over r}{\partial  \over \partial r}\left(r{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}}{\partial ^{2}f \over \partial \theta ^{2}}\\&={1 \over r}{\partial f \over \partial r}+{\partial ^{2}f \over \partial r^{2}}+{1 \over r^{2}}{\partial ^{2}f \over \partial \theta ^{2}}\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ nabla ^ {2} f & = {1 \ over r} {\ partial \ over \ partial r} \ left (r {\ partial f \ over \ partial r} \ right) + {1 \ over r ^ {2}} {\ partial ^ {2} f \ over \ partial \ theta ^ {2}} \\ & = {1 \ over r} {\ partial f \ over \ partial r} + {\ partial ^ {2} f \ over \ partial r ^ {2}} + {1 \ over r ^ {2}} {\ partial ^ {2} f \ over \ partial \ theta ^ {2}} \ sfârșit {aliniat}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ nabla ^ {2} f & = {1 \ over r} {\ partial \ over \ partial r} \ left (r {\ partial f \ over \ partial r} \ right) + {1 \ over r ^ {2}} {\ partial ^ {2} f \ over \ partial \ theta ^ {2}} \\ & = {1 \ over r} {\ partial f \ over \ partial r} + {\ partial ^ {2} f \ over \ partial r ^ {2}} + {1 \ over r ^ {2}} {\ partial ^ {2} f \ over \ partial \ theta ^ {2}} \ sfârșit {aliniat}}}

O altă formă a Laplacianului în coordonate sferice este:

\nabla ^{2}={1 \over r^{2}}{\partial  \over \partial r}\left(r^{2}{\partial  \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}}\left(\wedge ^{2}\right)

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} = {1 \ over r ^ {2}} {\ partial \ over \ partial r} \ left (r ^ {2} {\ partial \ over \ partial r} \ right) + {1 \ over r ^ {2}} \ left (\ wedge ^ {2} \ right)}

\ nabla ^ {2} = {1 \ over r ^ {2}} {\ partial \ over \ partial r} \ left (r ^ {2} {\ partial \ over \ partial r} \ right) + {1 \ peste r ^ {2}} \ left (\ wedge ^ {2} \ right)

Unde este $\wedge ^{2}$ ${\ displaystyle \ wedge ^ {2}}$ $\ wedge ^ {2}$ este Legendrian și este partea unghiulară a Laplacianului. Această formă este utilizată în mecanica cuantică pentru calculul hamiltonienului în cazul rotației tridimensionale a unei particule și este definită ca:

\wedge ^{2}={\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}{\partial ^{2} \over \partial \phi ^{2}}+{1 \over \sin \theta }{\partial  \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial  \over \partial \theta }\right)

{\ displaystyle \ wedge ^ {2} = {\ frac {1} {\ sin ^ {2} \ theta}} {\ partial ^ {2} \ over \ partial \ phi ^ {2}} + {1 \ over \ sin \ theta} {\ partial \ over \ partial \ theta} \ left (\ sin \ theta {\ partial \ over \ partial \ theta} \ right)}

{\ displaystyle \ wedge ^ {2} = {\ frac {1} {\ sin ^ {2} \ theta}} {\ partial ^ {2} \ over \ partial \ phi ^ {2}} + {1 \ over \ sin \ theta} {\ partial \ over \ partial \ theta} \ left (\ sin \ theta {\ partial \ over \ partial \ theta} \ right)}

Această reprezentare este deosebit de importantă deoarece permite aplicarea metodei de separare a variabilelor în ecuația diferențială parțială care trebuie calculată pentru a rezolva ecuația Schrödinger , pentru cazul unei particule care se deplasează pe suprafața unei sfere .

3 dimensiuni

În trei dimensiuni și în coordonate carteziene este:

\nabla ^{2}f={\partial ^{2}f \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}f \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2}f \over \partial z^{2}}

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} f = {\ partial ^ {2} f \ over \ partial x ^ {2}} + {\ partial ^ {2} f \ over \ partial y ^ {2}} + { \ partial ^ {2} f \ over \ partial z ^ {2}}}

\ nabla ^ {2} f = {\ partial ^ {2} f \ over \ partial x ^ {2}} + {\ partial ^ {2} f \ over \ partial y ^ {2}} + {\ partial ^ {2} f \ over \ partial z ^ {2}}

în timp ce în coordonate cilindrice :

\nabla ^{2}f={1 \over r}{\partial  \over \partial r}\left(r{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}}{\partial ^{2}f \over \partial \theta ^{2}}+{\partial ^{2}f \over \partial z^{2}}

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} f = {1 \ over r} {\ partial \ over \ partial r} \ left (r {\ partial f \ over \ partial r} \ right) + {1 \ over r ^ {2}} {\ partial ^ {2} f \ over \ partial \ theta ^ {2}} + {\ partial ^ {2} f \ over \ partial z ^ {2}}}

\ nabla ^ {2} f = {1 \ over r} {\ partial \ over \ partial r} \ left (r {\ partial f \ over \ partial r} \ right) + {1 \ over r ^ {2} } {\ partial ^ {2} f \ over \ partial \ theta ^ {2}} + {\ partial ^ {2} f \ over \ partial z ^ {2}}

iar în coordonatele sferice ia forma:

{\begin{aligned}\nabla ^{2}f&={1 \over r^{2}}{\partial  \over \partial r}\left(r^{2}{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial  \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}f \over \partial \phi ^{2}}\\&={1 \over r}{\partial ^{2} \over \partial r^{2}}\left(rf\right)+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial  \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}f \over \partial \phi ^{2}}\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ nabla ^ {2} f & = {1 \ over r ^ {2}} {\ partial \ over \ partial r} \ left (r ^ {2} {\ partial f \ over \ partial r} \ right) + {1 \ over r ^ {2} \ sin \ theta} {\ partial \ over \ partial \ theta} \ left (\ sin \ theta {\ partial f \ over \ partial \ theta } \ right) + {1 \ over r ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta} {\ partial ^ {2} f \ over \ partial \ phi ^ {2}} \\ & = {1 \ over r} {\ partial ^ {2} \ over \ partial r ^ {2}} \ left (rf \ right) + {1 \ over r ^ {2} \ sin \ theta} {\ partial \ over \ partial \ theta } \ left (\ sin \ theta {\ partial f \ over \ partial \ theta} \ right) + {1 \ over r ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta} {\ partial ^ {2} f \ peste \ partial \ phi ^ {2}} \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ nabla ^ {2} f & = {1 \ over r ^ {2}} {\ partial \ over \ partial r} \ left (r ^ {2} {\ partial f \ over \ partial r} \ right) + {1 \ over r ^ {2} \ sin \ theta} {\ partial \ over \ partial \ theta} \ left (\ sin \ theta {\ partial f \ over \ partial \ theta } \ right) + {1 \ over r ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta} {\ partial ^ {2} f \ over \ partial \ phi ^ {2}} \\ & = {1 \ over r} {\ partial ^ {2} \ over \ partial r ^ {2}} \ left (rf \ right) + {1 \ over r ^ {2} \ sin \ theta} {\ partial \ over \ partial \ theta } \ left (\ sin \ theta {\ partial f \ over \ partial \ theta} \ right) + {1 \ over r ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta} {\ partial ^ {2} f \ peste \ partial \ phi ^ {2}} \ end {align}}}

În coordonate curvilinee $(\xi ^{1},\xi ^{2},\xi ^{3})$ ${\ displaystyle (\ xi ^ {1}, \ xi ^ {2}, \ xi ^ {3})}$ $(\ xi ^ {1}, \ xi ^ {2}, \ xi ^ {3})$ , avem:

\nabla ^{2}=\nabla \xi ^{m}\cdot \nabla \xi ^{n}{\partial ^{2} \over \partial \xi ^{m}\partial \xi ^{n}}+\nabla ^{2}\xi ^{m}{\partial  \over \partial \xi ^{m}}

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} = \ nabla \ xi ^ {m} \ cdot \ nabla \ xi ^ {n} {\ partial ^ {2} \ over \ partial \ xi ^ {m} \ partial \ xi ^ {n}} + \ nabla ^ {2} \ xi ^ {m} {\ partial \ over \ partial \ xi ^ {m}}}

\ nabla ^ {2} = \ nabla \ xi ^ {m} \ cdot \ nabla \ xi ^ {n} {\ partial ^ {2} \ over \ partial \ xi ^ {m} \ partial \ xi ^ {n} } + \ nabla ^ {2} \ xi ^ {m} {\ partial \ over \ partial \ xi ^ {m}}

unde se folosește notația lui Einstein .

n dimensiuni

Într-un număr generic de dimensiuni n (finite), dacă spațiul are o metrică pozitivă definită, adică euclidiană, se menține următoarea expresie carteziană:

\nabla ^{2}=\sum _{i=1}^{n}{\partial ^{2} \over \partial {x_{i}}^{2}}

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ partial ^ {2} \ over \ partial {x_ {i}} ^ {2}}}

\ nabla ^ {2} = \ sum _ {{i = 1}} ^ {n} {\ partial ^ {2} \ over \ partial {x_ {i}} ^ {2}}

De asemenea, este posibil să se aplice operatorul la un câmp vector $\mathbf {f} (\mathbf {x} )=\mathbf {u} _{x}f_{x}+\mathbf {u} _{y}f_{y}+\mathbf {u} _{z}f_{z}$ ${\ displaystyle \ mathbf {f} (\ mathbf {x}) = \ mathbf {u} _ {x} f_ {x} + \ mathbf {u} _ {y} f_ {y} + \ mathbf {u} _ {z} f_ {z}}$ ${\ mathbf f} ({\ mathbf {x}}) = {\ mathbf {u}} _ {{x}} f _ {{x}} + {\ mathbf {u}} _ {{y}} f_ {{y}} + {\ mathbf {u}} _ {{z}} f _ {{z}}$ : în acest caz este suficient să se aplice separat celor trei componente scalare carteziene, iar cele trei scalare obținute reprezintă componentele carteziene ale vectorului rezultat. Astfel obținem:

\nabla ^{2}\mathbf {f} =\mathbf {u} _{x}\nabla ^{2}f_{x}+\mathbf {u} _{y}\nabla ^{2}f_{y}+\mathbf {u} _{z}\nabla ^{2}f_{z}

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ mathbf {f} = \ mathbf {u} _ {x} \ nabla ^ {2} f_ {x} + \ mathbf {u} _ {y} \ nabla ^ {2} f_ {y} + \ mathbf {u} _ {z} \ nabla ^ {2} f_ {z}}

\ nabla ^ {2} {\ mathbf f} = {\ mathbf {u}} _ {{x}} \ nabla ^ {2} f _ {{x}} + {\ mathbf {u}} _ {{y }} \ nabla ^ {2} f _ {{y}} + {\ mathbf {u}} _ {{z}} \ nabla ^ {2} f _ {{z}}

În coordonate sferice, cu parametrizare $x=r\theta \in \mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle x = r \ theta \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$ $x = r \ theta \ in \ mathbb {R} ^ {n}$ , in care $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ este raza și $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ un element al sferei unitare $S^{n-1}$ ${\ displaystyle S ^ {n-1}}$ $S ^ {{n-1}}$ , avem:

\Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial r^{2}}}+{\frac {n-1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}\Delta _{S^{n-1}}f

{\ displaystyle \ Delta f = {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial r ^ {2}}} + {\ frac {n-1} {r}} {\ frac {\ partial f} {\ partial r}} + {\ frac {1} {r ^ {2}}} \ Delta _ {S ^ {n-1}} f}

\ Delta f = {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial r ^ {2}}} + {\ frac {n-1} {r}} {\ frac {\ partial f} {\ partial r}} + {\ frac {1} {r ^ {2}}} \ Delta _ {{S ^ {{n-1}}}} f

unde este $\Delta _{S^{n-1}}$ ${\ displaystyle \ Delta _ {S ^ {n-1}}}$ $\ Delta _ {{S ^ {{n-1}}}}$ este operatorul Laplace-Beltrami din sfera ( n −1), cunoscută și sub numele de laplacian sferic . Termenii radiali pot fi, de asemenea, scrise ca:

{\frac {1}{r^{n-1}}}{\frac {\partial }{\partial r}}{\Bigl (}r^{n-1}{\frac {\partial f}{\partial r}}{\Bigr )}

{\ displaystyle {\ frac {1} {r ^ {n-1}}} {\ frac {\ partial} {\ partial r}} {\ Bigl (} r ^ {n-1} {\ frac {\ partial f} {\ partial r}} {\ Bigr)}}

{\ displaystyle {\ frac {1} {r ^ {n-1}}} {\ frac {\ partial} {\ partial r}} {\ Bigl (} r ^ {n-1} {\ frac {\ partial f} {\ partial r}} {\ Bigr)}}

În consecință, laplacianul sferic al unei funcții definite pe $S^{n-1}\subset \mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle S ^ {n-1} \ subset \ mathbb {R} ^ {n}}$ $S ^ {{n-1}} \ subset \ mathbb {R} ^ {n}$ poate fi calculat ca Laplacianul obișnuit al funcției extinse a $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ .

Proprietăți de bază

Laplacianul este un operator liniar:

\nabla ^{2}(a\cdot f+b\cdot g)\,=\,a\cdot \nabla ^{2}f+b\cdot \nabla ^{2}g

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} (a \ cdot f + b \ cdot g) \, = \, a \ cdot \ nabla ^ {2} f + b \ cdot \ nabla ^ {2} g}

\ nabla ^ {2} (a \ cdot f + b \ cdot g) \, = \, a \ cdot \ nabla ^ {2} f + b \ cdot \ nabla ^ {2} g

Direct din regula derivării produsului obținem expresia:

\nabla ^{2}(f\cdot g)=(\nabla ^{2}f)\cdot g+2(\nabla f)\cdot (\nabla g)+f\cdot (\nabla ^{2}g)

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} (f \ cdot g) = (\ nabla ^ {2} f) \ cdot g + 2 (\ nabla f) \ cdot (\ nabla g) + f \ cdot (\ nabla ^ {2} g)}

\ nabla ^ {2} (f \ cdot g) = (\ nabla ^ {2} f) \ cdot g + 2 (\ nabla f) \ cdot (\ nabla g) + f \ cdot (\ nabla ^ {2} g)

Dacă încercăm să aproximăm aplicația operatorului Laplace la o funcție $f(\mathbf {x} )$ ${\ displaystyle f (\ mathbf {x})}$ $f ({\ mathbf {x}})$ folosind metode numerice, trebuie menționate câteva proprietăți interesante. Reamintind definiția derivatului unei funcții a unei variabile:

{\frac {\partial f}{\partial x}}=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0}{\frac {f(x+\varepsilon )-f(x)}{\varepsilon }}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial x}} = \ lim _ {\ varepsilon \ rightarrow 0} {\ frac {f (x + \ varepsilon) -f (x)} {\ varepsilon}} }

{\ frac {\ partial f} {\ partial x}} = \ lim _ {{\ varepsilon \ rightarrow 0}} {\ frac {f (x + \ varepsilon) -f (x)} {\ varepsilon}}

și apoi aplicându-l pe diferitele dimensiuni ale spațiului ambiental pentru a obține suma derivatelor secundare de-a lungul diferitelor coordonate, obținem că valoarea Laplacianului este similară cu valoarea mediei funcției de câmp în acel punct . În esență, laplacianul arată cum funcția variază local în spațiu. Dacă scrieți:

{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0}{\frac {1}{\varepsilon }}\left({{\frac {f(x+\varepsilon )-f(x)}{\varepsilon }}-{\frac {f(x)-f(x-\varepsilon )}{\varepsilon }}}\right)

{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x ^ {2}}} = \ lim _ {\ varepsilon \ rightarrow 0} {\ frac {1} {\ varepsilon}} \ left ( {{\ frac {f (x + \ varepsilon) -f (x)} {\ varepsilon}} - {\ frac {f (x) -f (x- \ varepsilon)} {\ varepsilon}}} \ right) }

{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x ^ {2}}} = \ lim _ {\ varepsilon \ rightarrow 0} {\ frac {1} {\ varepsilon}} \ left ( {{\ frac {f (x + \ varepsilon) -f (x)} {\ varepsilon}} - {\ frac {f (x) -f (x- \ varepsilon)} {\ varepsilon}}} \ right) }

astfel încât să puteți scrie:

{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0}{\frac {f(x+\varepsilon )-2f(x)+f(x-\varepsilon )}{\varepsilon ^{2}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x ^ {2}}} = \ lim _ {\ varepsilon \ rightarrow 0} {\ frac {f (x + \ varepsilon) -2f ( x) + f (x- \ varepsilon)} {\ varepsilon ^ {2}}}}

{\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x ^ {2}}} = \ lim _ {{\ varepsilon \ rightarrow 0}} {\ frac {f (x + \ varepsilon) -2f (x ) + f (x- \ varepsilon)} {\ varepsilon ^ {2}}}

Această proprietate devine foarte interesantă în cazul câmpului electrostatic, deoarece operatorul Laplace al potențialului electric al unui punct din spațiu este divergența opusului câmpului electrostatic (amintind că Laplacianul unui câmp scalar este divergența gradientului din acest domeniu):

\nabla \cdot (\nabla \phi )=\nabla \cdot (-E)

{\ displaystyle \ nabla \ cdot (\ nabla \ phi) = \ nabla \ cdot (-E)}

\ nabla \ cdot (\ nabla \ phi) = \ nabla \ cdot (-E)

întrucât câmpul electrostatic este definit ca opusul gradientului potențialului electric. Prin urmare, Laplacianul semnalează schimbarea densității de încărcare în spațiu.

Operatorul Laplace este, de asemenea, foarte util în cazul soluțiilor numerice ale ecuațiilor care utilizează metoda diferenței finite . Laplacianul dintr-un punct al grilei va fi zero numai dacă valoarea scalară a punctului este egală cu valorile scalare ale punctelor învecinate. Aceasta este utilizată în metodele de relaxare pentru a rezolva o ecuație diferențială parțială, cum ar fi Poisson sau Helmholtz sau ecuația de difuzie .

Bibliografie

(EN) William VD Hodge , The theory and application of harmonic integral, Cambridge, Cambridge University Press, 2009, ISBN 978-05-21-35881-1 .
( EN ) George B. Arfken, Metode matematice pentru fizicieni, ediția a VII-a. , Orlando, Academic Press, 2012, ISBN 978-01-23-84654-9 .
( EN ) Steven G. Krantz, Handbook of Complex Variables , Basel, Birkhäuser, 1999, ISBN 978-14-61-27206-9 . p.16

Elemente conexe

linkuri externe

(EN) Eric W. Weisstein, laplacian , în MathWorld Wolfram Research.
( EN ) MA Shubin, operator Laplace , în Enciclopedia Matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.

Controlul autorității	LCCN (EN) sh85074667 · GND (DE) 4166772-4 · NDL (EN, JA) 01.181.008

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică