Operator Laplace-Beltrami

În geometria diferențială , operatorul Beltrami este un operator diferențial autoadjunct care generalizează operatorul Laplace la funcții definite pe varietăți Riemanniene , cum ar fi suprafețele într-un spațiu euclidian și cele pseudo-Riemanniene . În mod similar cu operatorul Laplace, este divergența gradientului . Operatorul Beltrami poate fi extins la forme diferențiale prin intermediul divergenței și derivatei externe și, în acest caz, se numește operator Laplace-de Rham (de la Georges de Rham ).

Definiție

Operatorul Beltrami, precum și operatorul Laplace al cărui extensie este definit, sunt divergența gradientului :

\Delta f=\operatorname {div} \;\operatorname {grad} f

{\ displaystyle \ Delta f = \ operatorname {div} \; \ operatorname {grad} f}

{\ displaystyle \ Delta f = \ operatorname {div} \; \ operatorname {grad} f}

Este $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ o varietate Riemanniană orientată. Orientarea vă permite să specificați o formă de volum $\mathrm {vol} _{n}$ ${\ displaystyle \ mathrm {vol} _ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {vol} _ {n}}$ pe $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ , decât într-un sistem de coordonate orientat $x^{i}$ ${\ displaystyle x ^ {i}}$ $x ^ i$ il scrii:

\mathrm {vol} _{n}:={\sqrt {|g|}}\;dx^{1}\wedge \ldots \wedge dx^{n}

{\ displaystyle \ mathrm {vol} _ {n}: = {\ sqrt {| g |}} \; dx ^ {1} \ wedge \ ldots \ wedge dx ^ {n}}

{\ displaystyle \ mathrm {vol} _ {n}: = {\ sqrt {| g |}} \; dx ^ {1} \ wedge \ ldots \ wedge dx ^ {n}}

unde este $dx^{i}$ ${\ displaystyle dx ^ {i}}$ ${\ displaystyle dx ^ {i}}$ sunt formele 1 care constituie baza duală la baza (a spațiului tangent) compusă din vectori:

\partial _{i}:={\frac {\partial }{\partial x^{i}}}

{\ displaystyle \ partial _ {i}: = {\ frac {\ partial} {\ partial x ^ {i}}}}

{\ displaystyle \ partial _ {i}: = {\ frac {\ partial} {\ partial x ^ {i}}}}

Și $\wedge$ ${\ displaystyle \ wedge}$ $\ wedge$ este produsul cu pană . În plus, $|g|=\det(g_{ij})$ ${\ displaystyle | g | = \ det (g_ {ij})}$ ${\ displaystyle | g | = \ det (g_ {ij})}$ este modulul determinantului tensorului metric $g_{ij}$ ${\ displaystyle g_ {ij}}$ $g _ {{ij}}$ .

Divergența $\operatorname {div} X$ ${\ displaystyle \ operatorname {div} X}$ ${\ displaystyle \ operatorname {div} X}$ a unui câmp vector $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ pe colector este apoi definit ca funcția scalară astfel încât:

({\mbox{div}}X)\;\mathrm {vol} _{n}:=L_{X}\mathrm {vol} _{n}

{\ displaystyle ({\ mbox {div}} X) \; \ mathrm {vol} _ {n}: = L_ {X} \ mathrm {vol} _ {n}}

{\ displaystyle ({\ mbox {div}} X) \; \ mathrm {vol} _ {n}: = L_ {X} \ mathrm {vol} _ {n}}

cu $L_{X}$ ${\ displaystyle L_ {X}}$ ${\ displaystyle L_ {X}}$ derivatul Lie lung $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ . În coordonate locale:

{\mbox{div}}X={\frac {1}{\sqrt {|g|}}}\partial _{i}\left({\sqrt {|g|}}X^{i}\right)

{\ displaystyle {\ mbox {div}} X = {\ frac {1} {\ sqrt {| g |}}} \ partial _ {i} \ left ({\ sqrt {| g |}} X ^ {i } \ dreapta)}

{\ displaystyle {\ mbox {div}} X = {\ frac {1} {\ sqrt {| g |}}} \ partial _ {i} \ left ({\ sqrt {| g |}} X ^ {i } \ dreapta)}

unde s-a folosit notația lui Einstein .

Gradientul de $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ în schimb este câmpul vector $\operatorname {grad} f$ ${\ displaystyle \ operatorname {grad} f}$ ${\ displaystyle \ operatorname {grad} f}$ care poate fi definit prin intermediul produsului intern $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ ${\ displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle}$ $\ langle \ cdot, \ cdot \ rangle$ pe varietate, cum ar fi:

\langle {\mbox{grad}}f(x),v_{x}\rangle =df(x)(v_{x})

{\ displaystyle \ langle {\ mbox {grad}} f (x), v_ {x} \ rangle = df (x) (v_ {x})}

{\ displaystyle \ langle {\ mbox {grad}} f (x), v_ {x} \ rangle = df (x) (v_ {x})}

pentru toți transportatorii $v_{x}$ ${\ displaystyle v_ {x}}$ $v_ {x}$ plasat în punct $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ de spațiu $T_{x}M$ ${\ displaystyle T_ {x} M}$ ${\ displaystyle T_ {x} M}$ tangent la varietatea în $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ , unde este $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ este derivatul extern . În coordonate locale:

\left({\mbox{grad}}f\right)^{i}=\partial ^{i}f=g^{ij}\partial _{j}f

{\ displaystyle \ left ({\ mbox {grad}} f \ right) ^ {i} = \ partial ^ {i} f = g ^ {ij} \ partial _ {j} f}

{\ displaystyle \ left ({\ mbox {grad}} f \ right) ^ {i} = \ partial ^ {i} f = g ^ {ij} \ partial _ {j} f}

unde este $g^{ij}g_{jk}=\delta _{k}^{i}$ ${\ displaystyle g ^ {ij} g_ {jk} = \ delta _ {k} ^ {i}}$ ${\ displaystyle g ^ {ij} g_ {jk} = \ delta _ {k} ^ {i}}$ .

Combinând definițiile gradientului și divergenței, formula pentru operatorul Beltrami $\Delta$ ${\ displaystyle \ Delta}$ $\ Delta$ aplicată unei funcții scalare $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este dat în coordonate locale de:

\Delta f=\operatorname {div} \;\operatorname {grad} f={\frac {1}{\sqrt {|g|}}}\partial _{i}\left({\sqrt {|g|}}g^{ij}\partial _{j}f\right)

{\ displaystyle \ Delta f = \ operatorname {div} \; \ operatorname {grad} f = {\ frac {1} {\ sqrt {| g |}}} \ partial _ {i} \ left ({\ sqrt { | g |}} g ^ {ij} \ partial _ {j} f \ right)}

{\ displaystyle \ Delta f = \ operatorname {div} \; \ operatorname {grad} f = {\ frac {1} {\ sqrt {| g |}}} \ partial _ {i} \ left ({\ sqrt { | g |}} g ^ {ij} \ partial _ {j} f \ right)}

Auto-ajustabilitate formală

Pentru o funcție compactă de stand $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ , derivatul extern $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ satisface relația:

\int _{M}df(X)\;\mathrm {vol} _{n}=-\int _{M}f\mathrm {div} X\;\mathrm {vol} _{n}

{\ displaystyle \ int _ {M} df (X) \; \ mathrm {vol} _ {n} = - \ int _ {M} f \ mathrm {div} X \; \ mathrm {vol} _ {n} }

{\ displaystyle \ int _ {M} df (X) \; \ mathrm {vol} _ {n} = - \ int _ {M} f \ mathrm {div} X \; \ mathrm {vol} _ {n} }

unde a fost aplicată teorema lui Stokes . De asemenea, avem:

\int _{M}f\,\Delta h\,\mathrm {vol} _{n}=-\int _{M}\langle df,dh\rangle \,\mathrm {vol} _{n}

{\ displaystyle \ int _ {M} f \, \ Delta h \, \ mathrm {vol} _ {n} = - \ int _ {M} \ langle df, dh \ rangle \, \ mathrm {vol} _ { n}}

{\ displaystyle \ int _ {M} f \, \ Delta h \, \ mathrm {vol} _ {n} = - \ int _ {M} \ langle df, dh \ rangle \, \ mathrm {vol} _ { n}}

pentru fiecare pereche de funcții $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ Și $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ suport compact. Această ultimă relație caracterizează complet operatorul Beltrami $\Delta$ ${\ displaystyle \ Delta}$ $\ Delta$ , deoarece este singurul operator care satisface această proprietate.

În consecință, operatorul lui Beltrami este negativ și este în mod formal autoadjunct . Aceasta înseamnă pentru orice pereche de funcții $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ Și $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ suport compact:

\int _{M}f\,\Delta h\;\mathrm {vol} _{n}=-\int _{M}\langle df,dh\rangle \;\mathrm {vol} _{n}=\int _{M}h\,\Delta f\;\mathrm {vol} _{n}

{\ displaystyle \ int _ {M} f \, \ Delta h \; \ mathrm {vol} _ {n} = - \ int _ {M} \ langle df, dh \ rangle \; \ mathrm {vol} _ { n} = \ int _ {M} h \, \ Delta f \; \ mathrm {vol} _ {n}}

{\ displaystyle \ int _ {M} f \, \ Delta h \; \ mathrm {vol} _ {n} = - \ int _ {M} \ langle df, dh \ rangle \; \ mathrm {vol} _ { n} = \ int _ {M} h \, \ Delta f \; \ mathrm {vol} _ {n}}

Uneori operatorul Beltrami este definit cu semnul opus.

Tensor Laplacian

Operatorul Beltrami poate fi scris folosind urmele derivatului covariant iterat asociat cu o conexiune Levi-Civita . Din acest punct de vedere, dacă $X_{i}$ ${\ displaystyle X_ {i}}$ $X_i$ este o bază a câmpului vector tangent atunci matricea Hessiană a unei funcții $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este un tensor simetric de ordinul 2 cu componente:

H(f)_{ij}=H_{f}(X_{i},X_{j})=\nabla _{X_{i}}\nabla _{X_{j}}f-\nabla _{\nabla _{X_{i}}X_{j}}f

{\ displaystyle H (f) _ {ij} = H_ {f} (X_ {i}, X_ {j}) = \ nabla _ {X_ {i}} \ nabla _ {X_ {j}} f- \ nabla _ {\ nabla _ {X_ {i}} X_ {j}} f}

{\ displaystyle H (f) _ {ij} = H_ {f} (X_ {i}, X_ {j}) = \ nabla _ {X_ {i}} \ nabla _ {X_ {j}} f- \ nabla _ {\ nabla _ {X_ {i}} X_ {j}} f}

iar operatorul Beltrami este urma lui Hessian, ținând cont de metrică $g^{ij}$ ${\ displaystyle g ^ {ij}}$ $g ^ {{ij}}$ :

\Delta f=\sum _{ij}g^{ij}H(f)_{ij}

{\ displaystyle \ Delta f = \ sum _ {ij} g ^ {ij} H (f) _ {ij}}

{\ displaystyle \ Delta f = \ sum _ {ij} g ^ {ij} H (f) _ {ij}}

În altă notație, este scris și:

\Delta f=\nabla ^{a}\nabla _{a}f

{\ displaystyle \ Delta f = \ nabla ^ {a} \ nabla _ {a} f}

{\ displaystyle \ Delta f = \ nabla ^ {a} \ nabla _ {a} f}

Deoarece derivata covariantă se extinde canonic la tensori arbitrari, operatorul Beltrami a definit pe un tensor $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ din raport:

\Delta T=g^{ij}\left(\nabla _{X_{i}}\nabla _{X_{j}}T-\nabla _{\nabla _{X_{i}}X_{j}}T\right)

{\ displaystyle \ Delta T = g ^ {ij} \ left (\ nabla _ {X_ {i}} \ nabla _ {X_ {j}} T- \ nabla _ {\ nabla _ {X_ {i}} X_ { j}} T \ dreapta)}

{\ displaystyle \ Delta T = g ^ {ij} \ left (\ nabla _ {X_ {i}} \ nabla _ {X_ {j}} T- \ nabla _ {\ nabla _ {X_ {i}} X_ { j}} T \ dreapta)}

este „bine definit”.

Operator De Rham

Mai general, este posibil să se definească un operator diferențial laplacian pe secțiuni ale pachetului (mai precis al generalizării sale numite pachet ) de forme diferențiale pe o varietate pseudo-Riemanniană . Pe o varietate Riemanniană este un operator eliptic , în timp ce pe o varietate Lorentziană este un operator hiperbolic . Operatorul de Rham este definit ca:

\Delta =\mathrm {d} \delta +\delta \mathrm {d} =(\mathrm {d} +\delta )^{2}

{\ displaystyle \ Delta = \ mathrm {d} \ delta + \ delta \ mathrm {d} = (\ mathrm {d} + \ delta) ^ {2}}

{\ displaystyle \ Delta = \ mathrm {d} \ delta + \ delta \ mathrm {d} = (\ mathrm {d} + \ delta) ^ {2}}

unde este $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ este derivatul extern e $\delta$ ${\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ este codiferențial , acționând ca $(-1)^{kn+n+1}*d*$ ${\ displaystyle (-1) ^ {kn + n + 1} * d *}$ ${\ displaystyle (-1) ^ {kn + n + 1} * d *}$ pe formele k.

Dacă calculezi $\Delta f$ ${\ displaystyle \ Delta f}$ $\ Delta f$ pentru o funcție $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ urca, da $\delta f=0$ ${\ displaystyle \ delta f = 0}$ ${\ displaystyle \ delta f = 0}$ astfel încât:

\Delta f=\delta \,df

{\ displaystyle \ Delta f = \ delta \, df}

{\ displaystyle \ Delta f = \ delta \, df}

Bibliografie

( EN ) Iyanaga, S. și Kawada, Y. (Eds.). Dicționar enciclopedic de matematică . Cambridge, MA: MIT Press, p. 628, 1980.
(EN) Harley Flanders, Forme diferențiale cu aplicații la științele fizice, Dover, 1989, ISBN 978-0-486-66169-8 .
( EN ) Jürgen Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis , Berlin, Springer-Verlag, 2002, ISBN 3-540-42627-2 . .

Elemente conexe

linkuri externe

(EN) Eric W. Weisstein, operator Laplace-Beltrami , în MathWorld , Wolfram Research.
Ecuația Laplace-Beltrami - Enciclopedia Springer de matematică.

Controlul autorității	GND ( DE ) 4451064-0

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică