Conexiunea lui Levi Civita

În geometria diferențială , conexiunea Levi Civita este, pe o varietate riemanniană , singura conexiune fără torsiune care păstrează metrica. Numele său se datorează lui Tullio Levi Civita ^[1] .

Datorită conexiunii Levi Civita, tensorul metric al soiului Riemannian este, prin urmare, un ingredient suficient pentru a defini în mod unic concepte mai elaborate, cum ar fi derivat covariant , geodezic , transport paralel .

Definiție

Este $(M;g)$ ${\ displaystyle (M; g)}$ ${\ displaystyle (M; g)}$ un soi riemannian . O conexiune $\nabla$ ${\ displaystyle \ nabla}$ $\ nabla$ este de Levi Civita dacă următoarele proprietăți dețin ^[2] :

nu are torsiune , adică avem: $\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X=[X,Y]$ ${\ displaystyle \ nabla _ {X} Y- \ nabla _ {Y} X = [X, Y]}$ ${\ displaystyle \ nabla _ {X} Y- \ nabla _ {Y} X = [X, Y]}$
păstrați valoarea, adică:

\nabla _{X}(g(Y,Z))=g(\nabla _{X}Y,Z)+g(Y,\nabla _{X}Z)\,.

{\ displaystyle \ nabla _ {X} (g (Y, Z)) = g (\ nabla _ {X} Y, Z) + g (Y, \ nabla _ {X} Z) \,.}

{\ displaystyle \ nabla _ {X} (g (Y, Z)) = g (\ nabla _ {X} Y, Z) + g (Y, \ nabla _ {X} Z) \,.}

Adică în mod echivalent

\nabla _{X}g=0\,.

{\ displaystyle \ nabla _ {X} g = 0 \,.}

{\ displaystyle \ nabla _ {X} g = 0 \,.}

Ambele proprietăți pot fi exprimate folosind notația index. O conexiune este de la Levi Civita dacă în fiecare carte dețin următoarele proprietăți:

Simbolurile Christoffel sunt simetrice în indexurile din partea de jos, adică:

\Gamma _{ij}^{k}=\Gamma _{ji}^{k}

{\ displaystyle \ Gamma _ {ij} ^ {k} = \ Gamma _ {ji} ^ {k}}

{\ displaystyle \ Gamma _ {ij} ^ {k} = \ Gamma _ {ji} ^ {k}}

derivata covariantă a tensorului metric este zero, adică:

\nabla _{k}g_{ij}=0\,.

{\ displaystyle \ nabla _ {k} g_ {ij} = 0 \,.}

{\ displaystyle \ nabla _ {k} g_ {ij} = 0 \,.}

Proprietate

Existența și unicitatea

Următorul fapt este un rezultat fundamental al geometriei riemanniene.

O varietate Riemanniană sau pseudo-Riemanniană are o conexiune unică Levi Civita.

Demonstrarea acestui fapt se poate face în felul următor. Simbolurile Christoffel definesc termenul care trebuie adăugat într-o carte la derivata parțială obișnuită pentru a obține derivata covariantă . Prin urmare, pentru fiecare conexiune și în fiecare card, relația este valabilă

\nabla _{k}g_{ij}=\partial _{k}g_{ij}-\Gamma _{kj}^{h}g_{hi}-\Gamma _{ik}^{h}g_{jh}.

{\ displaystyle \ nabla _ {k} g_ {ij} = \ partial _ {k} g_ {ij} - \ Gamma _ {kj} ^ {h} g_ {hi} - \ Gamma _ {ik} ^ {h} g_ {jh}.}

{\ displaystyle \ nabla _ {k} g_ {ij} = \ partial _ {k} g_ {ij} - \ Gamma _ {kj} ^ {h} g_ {hi} - \ Gamma _ {ik} ^ {h} g_ {jh}.}

Să presupunem că legătura este de la Levi Civita. Prin urmare, această cantitate este zero, deoarece derivata covariantă a metricei trebuie să fie zero. Permutând cei trei indici $the, j, k$ ${\ displaystyle i, j, k}$ $i, j, k$ se obțin trei egalități în mod ciclic. Scăzând ultimele două egalități din prima și folosind simetria simbolurilor Christoffel (răsucirea este zero) obținem:

\partial _{i}g_{jk}-\partial _{j}g_{ki}-\partial _{k}g_{ij}+2\Gamma _{jk}^{h}g_{hi}=0.

{\ displaystyle \ partial _ {i} g_ {jk} - \ partial _ {j} g_ {ki} - \ partial _ {k} g_ {ij} +2 \ Gamma _ {jk} ^ {h} g_ {hi } = 0.}

{\ displaystyle \ partial _ {i} g_ {jk} - \ partial _ {j} g_ {ki} - \ partial _ {k} g_ {ij} +2 \ Gamma _ {jk} ^ {h} g_ {hi } = 0.}

Simbolul Christoffel poate fi explicitat prin multiplicarea acestei relații cu $g^{li}$ ${\ displaystyle g ^ {li}}$ ${\ displaystyle g ^ {li}}$ . Rezultatul este

\Gamma _{jk}^{l}={\frac {1}{2}}g^{li}(\partial _{j}g_{ki}+\partial _{k}g_{ij}-\partial _{i}g_{jk}).

{\ displaystyle \ Gamma _ {jk} ^ {l} = {\ frac {1} {2}} g ^ {li} (\ partial _ {j} g_ {ki} + \ partial _ {k} g_ {ij } - \ partial _ {i} g_ {jk}).}

{\ displaystyle \ Gamma _ {jk} ^ {l} = {\ frac {1} {2}} g ^ {li} (\ partial _ {j} g_ {ki} + \ partial _ {k} g_ {ij } - \ partial _ {i} g_ {jk}).}

Acest lucru demonstrează unicitatea conexiunii. Pe de altă parte, această egalitate poate fi utilizată pentru a defini o conexiune Levi Civita: este suficient să se verifice dacă o astfel de definiție oferă de fapt o conexiune, adică simbolurile $\Gamma _{jk}^{l}$ ${\ displaystyle \ Gamma _ {jk} ^ {l}}$ ${\ displaystyle \ Gamma _ {jk} ^ {l}}$ definite în acest fel, ele se schimbă pe măsură ce coordonatele se schimbă ca simbolurile Christoffel.

Creșterea și scăderea indicilor

O conexiune Levi Civita are proprietăți bune în ceea ce privește operația de ridicare și coborâre a indicilor, efectuată prin contracție cu tensorul metric sau inversul acestuia. În primul rând, tensorul metric invers are, de asemenea, derivată covariantă nulă:

\nabla _{k}g^{ij}=0.

{\ displaystyle \ nabla _ {k} g ^ {ij} = 0.}

{\ displaystyle \ nabla _ {k} g ^ {ij} = 0.}

Prin urmare, derivatul covariant comută odată cu creșterea sau coborârea indicilor. De exemplu, dacă $V^{i}$ ${\ displaystyle V ^ {i}}$ ${\ displaystyle V ^ {i}}$ este un câmp vector :

\nabla _{k}(g_{ij}V^{j})=(\nabla _{k}g_{ij})V^{j}+g_{ij}(\nabla _{k}V^{j})=g_{ij}(\nabla _{k}V^{j}).

{\ displaystyle \ nabla _ {k} (g_ {ij} V ^ {j}) = (\ nabla _ {k} g_ {ij}) V ^ {j} + g_ {ij} (\ nabla _ {k} V ^ {j}) = g_ {ij} (\ nabla _ {k} V ^ {j}).}

{\ displaystyle \ nabla _ {k} (g_ {ij} V ^ {j}) = (\ nabla _ {k} g_ {ij}) V ^ {j} + g_ {ij} (\ nabla _ {k} V ^ {j}) = g_ {ij} (\ nabla _ {k} V ^ {j}).}

Notă

^ Tullio Levi-Civita, Noțiunea de paralelism în orice varietate , în Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo , vol. 42, 1917, pp. 173–205, DOI : 10.1007 / BF03014898 , JFM 46.1125.02 .
^ G. Gentili, F. Podestà, E. Vesentini, Lecții de geometrie diferențială , Torino, Bollati Boringhieri, 1995, p. 146.

Bibliografie

( EN ) Manfredo Perdigao do Carmo, Riemannian Geometry , 1994.
( EN ) Shoshichi Kobayashi, Katsumi Nomizu, Foundations of Differential Geometry, Vol. 1 , Wiley-Interscience, 1996 (ediție nouă), ISBN 0-471-15733-3 .
G. Gentili, F. Podestà, E. Vesentini, Lecții de geometrie diferențială , Torino, Bollati Boringhieri , 1995, ISBN 978-88-339-5556-8 .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Tullio Levi-Civita, Noțiunea de paralelism în orice varietate , în Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo , vol. 42, 1917, pp. 173–205, DOI : 10.1007 / BF03014898 , JFM 46.1125.02 .

[2] G. Gentili, F. Podestà, E. Vesentini, Lecții de geometrie diferențială , Torino, Bollati Boringhieri, 1995, p. 146.

[1]

[2]