Contracția unui tensor

În geometria diferențială , contracția unui tensor este o operație care transformă un tensor de tip $(h,k)$ ${\ displaystyle (h, k)}$ $(h, k)$ într-un tensor de tip $(h-1,k-1)$ ${\ displaystyle (h-1, k-1)}$ $(h-1, k-1)$ .

Aceasta se numește uneori o urmă . Dacă tensorul este de tipul (1,1), acesta este efectiv echivalent cu calcularea urmelor unei matrici asociate .

Definiție

Contracția unui tensor de tip mixt $(h,k)$ ${\ displaystyle (h, k)}$ $(h, k)$ este definit în felul următor: scriem tensorul inițial folosind indicii, apoi luăm doi dintre ei, unul superior și celălalt inferior, le indicăm cu aceeași literă și interpretăm tensorul rezultat în funcție de notația lui Einstein . De exemplu, dat

T_{\ \ cd}^{ab}

{\ displaystyle T _ {\ \ cd} ^ {ab}}

T ^ {ab} _ {\ \ cd}

sa spunem $b=c=i$ ${\ displaystyle b = c = i}$ $b = c = i$ iar noi scriem

T_{\ d}^{a}=T_{\ \ id}^{ai}.

{\ displaystyle T _ {\ d} ^ {a} = T _ {\ \ id} ^ {ai}.}

T _ {{\ d}} ^ {a} = T _ {{\ \ id}} ^ {{ai}}.

Tensorul rezultat este echivalent cu

T_{\ d}^{a}=\sum _{i=1}^{n}T_{\ \ id}^{ai}=T_{\ \ 1d}^{a1}+\ldots +T_{\ \ nd}^{an}.

{\ displaystyle T _ {\ d} ^ {a} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} T _ {\ \ id} ^ {ai} = T _ {\ \ 1d} ^ {a1} + \ ldots + T _ {\ \ nd} ^ {an}.}

T _ {{\ d}} ^ {a} = \ sum _ {{i = 1}} ^ {n} T _ {{\ \ id}} ^ {{ai}} = T _ {{\ \ 1d }} ^ {{a1}} + \ ldots + T _ {{\ \ nd}} ^ {{an}}.

Construcții de acest fel, realizate folosind coordonate, depind întotdeauna de alegerea unei baze. Punctul important în această construcție specifică constă în faptul că nu depinde de baza utilizată: acest lucru se datorează faptului că cei doi indici contractați sunt la înălțimi diferite și, prin urmare, cele două matrice corespunzătoare $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ în expresia care descrie mutația tensorului de schimbare a bazei, acestea sunt inverse față de celălalt și se anulează reciproc.

Exemplu

De sine $T_{b}^{a}$ ${\ displaystyle T_ {b} ^ {a}}$ $T_ {b} ^ {a}$ este un tensor de tip $(1,1)$ ${\ displaystyle (1,1)}$ $(1.1)$ , tensorul contractat $T_{i}^{i}$ ${\ displaystyle T_ {i} ^ {i}}$ $T_ {i} ^ {i}$ este de tip $(0,0)$ ${\ displaystyle (0,0)}$ $(0,0)$ , adică un scalar. Interpretare $T_{b}^{a}$ ${\ displaystyle T_ {b} ^ {a}}$ $T_ {b} ^ {a}$ ca endomorfism , scalarul este urma endomorfismului, definit ca suma elementelor $T_{i}^{i}$ ${\ displaystyle T_ {i} ^ {i}}$ $T_ {i} ^ {i}$ care se află pe diagonala principală a unei matrice asociate $T_{b}^{a}$ ${\ displaystyle T_ {b} ^ {a}}$ $T_ {b} ^ {a}$ .

Bibliografie

(EN) Donald H. Menzel. Fizica matematică . Publicații Dover, New York.
(EN) Richard L. Bishop și Samuel I. Goldberg, Tensor Analysis on Manifolds, Dover, 1980, ISBN 0486640396 .

Elemente conexe

Creșterea și scăderea indicilor