Simbolul Christoffel

În geometria diferențială , simbolurile Christoffel sunt coeficienți care codifică complet o conexiune într-o anumită carte . Simbolurile depind puternic de cartea aleasă: acestea nu sunt de fapt tensori . Acestea se datorează lui Elwin Bruno Christoffel .

Definiție

Este $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ o varietate diferențiată cu o conexiune sau un derivat covariant $\nabla$ ${\ displaystyle \ nabla}$ $\ nabla$ . O carte oferă un difeomorfism între un set deschis de $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ și un deschis $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ din $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ . În aer liber $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ sunt definite câmpurile vectorilor de coordonate constante $e_{1},\ldots ,e_{n}$ ${\ displaystyle e_ {1}, \ ldots, e_ {n}}$ $e_ {1}, \ ldots, e_ {n}$ și, prin urmare, toți tensorii pot fi ușor scrise în coordonate. La un moment dat $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , derivatul covariant al câmpului $e_{i}$ ${\ displaystyle e_ {i}}$ $e_ {i}$ în $j$ ${\ displaystyle j}$ $j$ -a direcția este o combinație liniară

\nabla _{j}e_{i}=\Gamma _{ij}^{1}e_{1}+\dots +\Gamma _{ij}^{n}e_{n}=\Gamma _{ij}^{k}e_{k}.

{\ displaystyle \ nabla _ {j} e_ {i} = \ Gamma _ {ij} ^ {1} e_ {1} + \ dots + \ Gamma _ {ij} ^ {n} e_ {n} = \ Gamma _ {ij} ^ {k} e_ {k}.}

{\ displaystyle \ nabla _ {j} e_ {i} = \ Gamma _ {ij} ^ {1} e_ {1} + \ dots + \ Gamma _ {ij} ^ {n} e_ {n} = \ Gamma _ {ij} ^ {k} e_ {k}.}

cu unii coeficienți $\Gamma _{ij}^{k}$ ${\ displaystyle \ Gamma _ {ij} ^ {k}}$ $\ Gamma _ {{ij}} ^ {k}$ . În ultima expresie, se folosește notația lui Einstein . Acești coeficienți sunt simbolurile Christoffel ale conexiunii, în cartea aleasă.

Simbolurile Christoffel sunt definite pentru fiecare punct: deci fiecare $\Gamma _{ij}^{k}$ ${\ displaystyle \ Gamma _ {ij} ^ {k}}$ $\ Gamma _ {{ij}} ^ {k}$ este o funcție lină

\Gamma _{ij}^{k}:A\to \mathbb {R}

{\ displaystyle \ Gamma _ {ij} ^ {k}: A \ to \ mathbb {R}}

\ Gamma _ {{ij}} ^ {k}: A \ to \ mathbb {R}

dependent de trei parametri $the, j, k$ ${\ displaystyle i, j, k}$ $i, j, k$ . Simbolurile lui Christoffel descriu pe deplin și concret derivatul covariant $\nabla$ ${\ displaystyle \ nabla}$ $\ nabla$ în card.

Notaţie

În unele texte este posibil ca simbolurile Christoffel să fie prezentate cu o notație diferită. O primă posibilitate este următoarea ^[1] :

\left\{{\sigma  \atop \mu \lambda }\right\}=\Gamma _{\mu \lambda }^{\sigma }\qquad \left\{\mu \lambda ,\sigma \right\}=\Gamma _{\sigma ,\mu \lambda }=g_{\sigma \rho }\Gamma _{\mu \lambda }^{\rho }\,.

{\ displaystyle \ left \ {{\ sigma \ atop \ mu \ lambda} \ right \} = \ Gamma _ {\ mu \ lambda} ^ {\ sigma} \ qquad \ left \ {\ mu \ lambda, \ sigma \ dreapta \} = \ Gamma _ {\ sigma, \ mu \ lambda} = g _ {\ sigma \ rho} \ Gamma _ {\ mu \ lambda} ^ {\ rho} \,.}

{\ displaystyle \ left \ {{\ sigma \ atop \ mu \ lambda} \ right \} = \ Gamma _ {\ mu \ lambda} ^ {\ sigma} \ qquad \ left \ {\ mu \ lambda, \ sigma \ dreapta \} = \ Gamma _ {\ sigma, \ mu \ lambda} = g _ {\ sigma \ rho} \ Gamma _ {\ mu \ lambda} ^ {\ rho} \,.}

În timp ce în textul original al lui Einstein există notația ^[2]

\left\{{\mu \lambda  \atop \sigma }\right\}=\Gamma _{\mu \lambda }^{\sigma }\qquad \left[{\mu \lambda  \atop \sigma }\right]=\Gamma _{\sigma ,\mu \lambda }=g_{\sigma \rho }\Gamma _{\mu \lambda }^{\rho }\,.

{\ displaystyle \ left \ {{\ mu \ lambda \ atop \ sigma} \ right \} = \ Gamma _ {\ mu \ lambda} ^ {\ sigma} \ qquad \ left [{\ mu \ lambda \ atop \ sigma } \ right] = \ Gamma _ {\ sigma, \ mu \ lambda} = g _ {\ sigma \ rho} \ Gamma _ {\ mu \ lambda} ^ {\ rho} \,.}

{\ displaystyle \ left \ {{\ mu \ lambda \ atop \ sigma} \ right \} = \ Gamma _ {\ mu \ lambda} ^ {\ sigma} \ qquad \ left [{\ mu \ lambda \ atop \ sigma } \ right] = \ Gamma _ {\ sigma, \ mu \ lambda} = g _ {\ sigma \ rho} \ Gamma _ {\ mu \ lambda} ^ {\ rho} \,.}

Proprietate

Obiect non-tensor

În ciuda notării, simbolurile Christoffel nu sunt tensori. Cu această expresie oarecum necorespunzătoare, ne referim la următorul lucru: luați două cărți $(U,\varphi )$ ${\ displaystyle (U, \ varphi)}$ ${\ displaystyle (U, \ varphi)}$ Și $(U,{\hat {\varphi }})$ ${\ displaystyle (U, {\ hat {\ varphi}})}}$ ${\ displaystyle (U, {\ hat {\ varphi}})}}$ definit pe o deschidere comună $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ , induc pe $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ de coordonate diferite $(x_{1},\ldots ,x_{n}),({\hat {x}}_{1},\ldots ,{\hat {x}}_{n})$ ${\ displaystyle (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}), ({\ hat {x}} _ {1}, \ ldots, {\ hat {x}} _ {n})}$ ${\ displaystyle (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}), ({\ hat {x}} _ {1}, \ ldots, {\ hat {x}} _ {n})}$ care generează simboluri Christoffel respectiv $\Gamma _{ij}^{k}$ ${\ displaystyle \ Gamma _ {ij} ^ {k}}$ $\ Gamma _ {{ij}} ^ {k}$ Și ${\hat {\Gamma }}_{ij}^{k}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ Gamma}} _ {ij} ^ {k}}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ Gamma}} _ {ij} ^ {k}}$ . În acest moment, doi tensori pot fi definiți local:

t=\Gamma _{ij}^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}\otimes dx^{i}\otimes dx^{j}\quad {\text{ e }}\quad {\hat {t}}={\hat {\Gamma }}_{ij}^{k}{\frac {\partial }{\partial {\hat {x}}^{k}}}\otimes d{\hat {x}}^{i}\otimes d{\hat {x}}^{j}

{\ displaystyle t = \ Gamma _ {ij} ^ {k} {\ frac {\ partial} {\ partial x ^ {k}}} \ otimes dx ^ {i} \ otimes dx ^ {j} \ quad {\ text {e}} \ quad {\ hat {t}} = {\ hat {\ Gamma}} _ {ij} ^ {k} {\ frac {\ partial} {\ partial {\ hat {x}} ^ { k}}} \ otimes d {\ hat {x}} ^ {i} \ otimes d {\ hat {x}} ^ {j}}

{\ displaystyle t = \ Gamma _ {ij} ^ {k} {\ frac {\ partial} {\ partial x ^ {k}}} \ otimes dx ^ {i} \ otimes dx ^ {j} \ quad {\ text {e}} \ quad {\ hat {t}} = {\ hat {\ Gamma}} _ {ij} ^ {k} {\ frac {\ partial} {\ partial {\ hat {x}} ^ { k}}} \ otimes d {\ hat {x}} ^ {i} \ otimes d {\ hat {x}} ^ {j}}

.

Dacă acum $\Gamma _{ij}^{k}$ ${\ displaystyle \ Gamma _ {ij} ^ {k}}$ $\ Gamma _ {{ij}} ^ {k}$ dacă componentele (în harta în care sunt calculate) ale unui singur câmp tensor ar trebui să coincidă în mod necesar cu ambele $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ asta cu ${\hat {t}}$ ${\ displaystyle {\ hat {t}}}$ ${\ displaystyle {\ hat {t}}}$ , de aici și relația dintre i $\Gamma _{ij}^{k}$ ${\ displaystyle \ Gamma _ {ij} ^ {k}}$ $\ Gamma _ {{ij}} ^ {k}$ și ${\hat {\Gamma }}_{ij}^{k}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ Gamma}} _ {ij} ^ {k}}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ Gamma}} _ {ij} ^ {k}}$ ar trebui să fie cel care leagă componentele unui tensor $(1,2)$ ${\ displaystyle (1,2)}$ $(1.2)$ în două cărți diferite. Dar avem deja o formulă pentru a calcula ambele i ${\hat {\Gamma }}_{ij}^{k}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ Gamma}} _ {ij} ^ {k}}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ Gamma}} _ {ij} ^ {k}}$ că $\Gamma _{ij}^{k}$ ${\ displaystyle \ Gamma _ {ij} ^ {k}}$ ${\ displaystyle \ Gamma _ {ij} ^ {k}}$ și, prin urmare, fie se transformă în mod corect, fie nu. Calculul arată că nu, sunt conectați prin relația:

{\hat {\Gamma }}_{ij}^{k}={\frac {\partial x^{p}}{\partial {\hat {x}}^{i}}}\,{\frac {\partial x^{q}}{\partial {\hat {x}}^{j}}}\,\Gamma _{pq}^{r}\,{\frac {\partial {\hat {x}}^{k}}{\partial x^{r}}}+{\frac {\partial {\hat {x}}^{k}}{\partial x^{m}}}\,{\frac {\partial ^{2}x^{m}}{\partial {\hat {x}}^{i}\partial {\hat {x}}^{j}}}.

{\ displaystyle {\ hat {\ Gamma}} _ {ij} ^ {k} = {\ frac {\ partial x ^ {p}} {\ partial {\ hat {x}} ^ {i}}} \, {\ frac {\ partial x ^ {q}} {\ partial {\ hat {x}} ^ {j}}} \, \ Gamma _ {pq} ^ {r} \, {\ frac {\ partial {\ hat {x}} ^ {k}} {\ partial x ^ {r}}} + {\ frac {\ partial {\ hat {x}} ^ {k}} {\ partial x ^ {m}}} \ , {\ frac {\ partial ^ {2} x ^ {m}} {\ partial {\ hat {x}} ^ {i} \ partial {\ hat {x}} ^ {j}}}.}

{\ displaystyle {\ hat {\ Gamma}} _ {ij} ^ {k} = {\ frac {\ partial x ^ {p}} {\ partial {\ hat {x}} ^ {i}}} \, {\ frac {\ partial x ^ {q}} {\ partial {\ hat {x}} ^ {j}}} \, \ Gamma _ {pq} ^ {r} \, {\ frac {\ partial {\ hat {x}} ^ {k}} {\ partial x ^ {r}}} + {\ frac {\ partial {\ hat {x}} ^ {k}} {\ partial x ^ {m}}} \ , {\ frac {\ partial ^ {2} x ^ {m}} {\ partial {\ hat {x}} ^ {i} \ partial {\ hat {x}} ^ {j}}}.}

Datorită celui de-al doilea addendum din dreapta, simbolurile Christoffel nu se schimbă ca și coordonatele unui tensor $(1,2)$ ${\ displaystyle (1,2)}$ $(1.2)$ .

Răsucire

Același subiect în detaliu: Torsiune (geometrie diferențială) .

Simbolurile lui Christoffel nu sunt tensori. Diferența dintre două simboluri Christoffel este, totuși, un tensor: în formula referitoare la o schimbare de coordonate, al doilea addend din dreapta (descris mai sus) este de fapt anulat și rămâne doar primul. Pe de altă parte, dacă $\Gamma _{ij}^{k}$ ${\ displaystyle \ Gamma _ {ij} ^ {k}}$ $\ Gamma _ {{ij}} ^ {k}$ este un simbol al lui Christoffel, de asemenea, simbolul $\Gamma _{ji}^{k}$ ${\ displaystyle \ Gamma _ {ji} ^ {k}}$ $\ Gamma _ {{ji}} ^ {k}$ obținută prin schimbarea variabilelor $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ Și $j$ ${\ displaystyle j}$ $j$ este un simbol Christoffel (și descrie o altă conexiune). Diferența lor

T_{ij}^{k}=\Gamma _{ij}^{k}-\Gamma _{ji}^{k}.

{\ displaystyle T_ {ij} ^ {k} = \ Gamma _ {ij} ^ {k} - \ Gamma _ {ji} ^ {k}.}

T _ {{ij}} ^ {k} = \ Gamma _ {{ij}} ^ {k} - \ Gamma _ {{ji}} ^ {k}.

este deci un tensor. Acest tensor este torsiunea conexiunii. Prin urmare, o conexiune are torsiune zero (peste tot) dacă și numai dacă simbolurile Christoffel sunt (peste tot) simetrice față de cei doi indici din partea de jos.

Conexiune Levi-Civita

Același subiect în detaliu: conexiunea Levi-Civita .

S-a rezolvat un tensor metric $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ pe o varietate diferențiată , există o singură conexiune fără torsiune în care tensorul metric are derivată covariantă nulă. Această conexiune se numește conexiune Levi-Civita și este cea utilizată de obicei pentru o varietate Riemanniană sau pseudo-Riemanniană . Simbolurile Christoffel care definesc această conexiune pot fi obținute în orice carte din următoarea relație:

\Gamma _{jk}^{i}={\frac {1}{2}}g^{il}\left({\frac {\partial g_{lj}}{\partial x^{k}}}+{\frac {\partial g_{lk}}{\partial x^{j}}}-{\frac {\partial g_{jk}}{\partial x^{l}}}\right)={\frac {1}{2}}g^{il}\left(\partial _{k}g_{lj}+\partial _{j}g_{lk}-\partial _{l}g_{jk}\right)

{\ displaystyle \ Gamma _ {jk} ^ {i} = {\ frac {1} {2}} g ^ {il} \ left ({\ frac {\ partial g_ {lj}} {\ partial x ^ {k }}} + {\ frac {\ partial g_ {lk}} {\ partial x ^ {j}}} - {\ frac {\ partial g_ {jk}} {\ partial x ^ {l}}} \ right) = {\ frac {1} {2}} g ^ {il} \ left (\ partial _ {k} g_ {lj} + \ partial _ {j} g_ {lk} - \ partial _ {l} g_ {jk } \ dreapta)}

{\ displaystyle \ Gamma _ {jk} ^ {i} = {\ frac {1} {2}} g ^ {il} \ left ({\ frac {\ partial g_ {lj}} {\ partial x ^ {k }}} + {\ frac {\ partial g_ {lk}} {\ partial x ^ {j}}} - {\ frac {\ partial g_ {jk}} {\ partial x ^ {l}}} \ right) = {\ frac {1} {2}} g ^ {il} \ left (\ partial _ {k} g_ {lj} + \ partial _ {j} g_ {lk} - \ partial _ {l} g_ {jk } \ dreapta)}

Relația conține tensorul metric și derivatele sale parțiale în raport cu coordonatele fixate de hartă (derivatele parțiale nu coincid cu derivata covariantă a tensorului metric, care este zero). În ultimul pas am folosit convenția:

{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}=\partial _{k}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial x ^ {k}}} = \ partial _ {k}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial x ^ {k}}} = \ partial _ {k}}

pentru derivatele parțiale.

Aplicații

Derivată Covariantă a unui câmp tensorial

Derivata covariantă a unui câmp vector $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ poate fi calculat într-o carte folosind simbolurile Christoffel după cum urmează:

\nabla _{j}v^{i}={\frac {\partial v^{i}}{\partial x^{j}}}+\Gamma _{jk}^{i}v^{k}.

{\ displaystyle \ nabla _ {j} v ^ {i} = {\ frac {\ partial v ^ {i}} {\ partial x ^ {j}}} + \ Gamma _ {jk} ^ {i} v ^ {k}.}

\ nabla _ {j} v ^ {i} = {\ frac {\ partial v ^ {i}} {\ partial x ^ {j}}} + \ Gamma _ {{jk}} ^ {i} v ^ { k}.

În mod similar, derivata covariantă a unui câmp tensorial de tip (0,1) este dată de:

\nabla _{j}v_{i}={\frac {\partial v_{i}}{\partial x^{j}}}-\Gamma _{ij}^{k}v_{k}

{\ displaystyle \ nabla _ {j} v_ {i} = {\ frac {\ partial v_ {i}} {\ partial x ^ {j}}} - \ Gamma _ {ij} ^ {k} v_ {k} }

\ nabla _ {j} v_ {i} = {\ frac {\ partial v_ {i}} {\ partial x ^ {j}}} - \ Gamma _ {{ij}} ^ {k} v_ {k}

Derivata covariantă a unui câmp tensorial de tip (2,0) este dată de:

\nabla _{k}v^{ij}={\frac {\partial v^{ij}}{\partial x^{k}}}+\Gamma _{k\ell }^{i}v^{\ell j}+\Gamma _{k\ell }^{j}v^{i\ell }

{\ displaystyle \ nabla _ {k} v ^ {ij} = {\ frac {\ partial v ^ {ij}} {\ partial x ^ {k}}} + \ Gamma _ {k \ ell} ^ {i} v ^ {\ ell j} + \ Gamma _ {k \ ell} ^ {j} v ^ {i \ ell}}

\ nabla _ {k} v ^ {{ij}} = {\ frac {\ partial v ^ {{ij}}} {\ partial x ^ {k}}} + \ Gamma _ {{k \ ell}} ^ {i} v ^ {{\ ell j}} + \ Gamma _ {{k \ ell}} ^ {j} v ^ {{i \ ell}}

Notă

^ Einstein , vezi nota de la pagina 58 .
^ Landau , vezi nota de la pagina 314 .

Bibliografie

( EN ) Manfredo Perdigao do Carmo, Riemannian Geometry , 1994.
( EN ) Shoshichi Kobayashi, Katsumi Nomizu, Foundations of Differential Geometry, Vol. 1 , Wiley-Interscience, 1996 (ediție nouă), ISBN 0-471-15733-3 .
Albert Einstein, Cele două relativități , Bollati Boringhieri , 2015, ISBN 978-88-339-2713-8 .
Lev D. Landau, Evgenij M. Lifšits, Theoretical Physics II, Field Theory , Editori Riuniti University press, 2010, ISBN 978-88-6473-207-7 .

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Einstein , vezi nota de la pagina 58 .

[2] Landau , vezi nota de la pagina 314 .

[1]

[2]