Torsiune (geometrie diferențială)

Torsiunea planelor tangente de -a lungul unei zone geodezice .

În geometria diferențială , torsiunea este un tensor care măsoară gradul de torsiune al spațiilor tangente de -a lungul unei zone geodezice într-o varietate diferențiată cu conexiune (și, prin urmare, cu un transport paralel care permite deplasarea spațiilor tangente de-a lungul curbei). Noțiunea este, prin urmare, inspirată de cea de torsiune a unei curbe în spațiu utilizată în geometria diferențială a curbelor .

Într-o varietate Riemanniană, torsiunea este întotdeauna zero. De fapt, conexiunea Levi-Civita utilizată în geometria riemanniană este tocmai singura conexiune fără torsiune care păstrează metrica.

Definiție

Este $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ o varietate diferențiată cu o conexiune . Tensorul de torsiune este câmpul tensorial $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ de tip (1,2) definit de relație

T(X,Y)=\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X-[X,Y].

{\ displaystyle T (X, Y) = \ nabla _ {X} Y- \ nabla _ {Y} X- [X, Y].}

T (X, Y) = \ nabla_XY- \ nabla_YX - [X, Y].

Simbolurile $\nabla$ ${\ displaystyle \ nabla}$ $\ nabla$ Și $[,]$ ${\ displaystyle [,]}$ $[,]$ indicați derivata covariantă și respectiv parantezele Lie .

Torsiunea poate fi definită în mod echivalent folosind notația și simbolurile indexului tensorului Christoffel . Torsiunea este tensorul care în orice carte poate fi reprezentat ca.

T_{ij}^{k}=\Gamma _{ij}^{k}-\Gamma _{ji}^{k}.

{\ displaystyle T_ {ij} ^ {k} = \ Gamma _ {ij} ^ {k} - \ Gamma _ {ji} ^ {k}.}

T _ {{ij}} ^ {k} = \ Gamma _ {{ij}} ^ {k} - \ Gamma _ {{ji}} ^ {k}.

Simbolurile Christoffel nu sunt tensori, dar diferența dintre două simboluri Christoffel este întotdeauna un tensor.

Proprietate

Funcții scalare

De sine $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este o funcție lină (adică un câmp scalar ) activat $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ , se ține următoarea relație, exprimată folosind notația lui Einstein :

(\nabla _{a}\nabla _{b}-\nabla _{b}\nabla _{a})f=T_{ab}^{c}\nabla _{c}f.

{\ displaystyle (\ nabla _ {a} \ nabla _ {b} - \ nabla _ {b} \ nabla _ {a}) f = T_ {ab} ^ {c} \ nabla _ {c} f.}

(\ nabla_a \ nabla_b - \ nabla_b \ nabla_a) f = T_ {ab} ^ c \ nabla_c f.

Prin urmare, torsiunea este exact tensorul care codifică eșecul teoremei lui Schwarz pentru derivata covariantă, atunci când este aplicat funcțiilor netede. Prin urmare, tensorul este nul dacă și numai dacă teorema lui Schwarz continuă să se mențină pentru funcții. Eșecul teoremei lui Schwarz pentru derivata covariantă aplicată câmpurilor vectoriale este în schimb codificat de tensorul Riemann .

Bibliografie

(EN) (EN) RL Bishop, SI Goldberg, analiza tensorială pe colectoare, Dover, 1980.
( FR ) ( FR ) Elie Cartan,Sur les variétés à connexion affine, et laorie de la relativité généralisée (première partie) , în Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , vol. 40, 1923, pp. 325-412.
( FR ) Elie Cartan, Sur les variétés à connexion affine, et laorie de la relativité généralisée (première partie) (Suite) , în Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , vol. 41, 1924, pp. 1-25.
( EN ) Manfredo Perdigao do Carmo, Riemannian Geometry , 1994.
( EN ) Shoshichi Kobayashi, Katsumi Nomizu, Foundations of Differential Geometry, Vol. 1 , Wiley-Interscience, 1996 (ediție nouă), ISBN 0-471-15733-3 .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică