Conexiune (matematică)

O conexiune pe sferă vă permite să „alunecați” planul tangent la un punct de-a lungul unei curbe. Curba (aici în violet) corespunde unei curbe (în roșu) în planul tangent, prin harta exponențială .

În matematică , o conexiune este un instrument central al geometriei diferențiale . Este un obiect matematic care „conectează” spații tangente în diferite puncte ale unei varietăți diferențiabile .

Această legătură între cele două spații tangente se face pe baza unei curbe care le leagă. Intuitiv, conexiunea definește o modalitate de a „aluneca” spațiul tangent de-a lungul curbei. Această operație de alunecare se numește transport paralel .

Definiție

Același subiect în detaliu: derivat Covariant .

O conexiune pe o varietate diferențiată este introdusă în general prin definirea unui obiect diferențial, numit derivat covariant . Conceptual, conexiunea și derivatul covariant sunt, prin urmare, în esență același lucru.

O conexiune poate fi definită în mod similar pentru orice pachet de vectori de pe colector, în plus față de pachetul tangent . ^[1]

De fapt, să fie E → M un pachet vectorial peste varietatea diferențiată M și să noteze cu Γ ( E ) setul de secțiuni diferențiate ale lui E.

O conexiune pe E este o aplicație $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ - liniar

\nabla :\Gamma (E)\to \Gamma (E\otimes T^{*}M)\simeq \Gamma ({\mathrm {Hom} }(TM,E))

{\ displaystyle \ nabla: \ Gamma (E) \ to \ Gamma (E \ otimes T ^ {*} M) \ simeq \ Gamma ({\ mathrm {Hom}} (TM, E))}

{\ displaystyle \ nabla: \ Gamma (E) \ to \ Gamma (E \ otimes T ^ {*} M) \ simeq \ Gamma ({\ mathrm {Hom}} (TM, E))}

astfel încât stăpânirea lui Leibniz

\nabla (\sigma f)=(\nabla \sigma )f+\sigma \otimes df

{\ displaystyle \ nabla (\ sigma f) = (\ nabla \ sigma) f + \ sigma \ otimes df}

{\ displaystyle \ nabla (\ sigma f) = (\ nabla \ sigma) f + \ sigma \ otimes df}

este satisfăcut pentru fiecare funcție diferențiată f pe M și pentru fiecare secțiune diferențiată σ a lui E.

Pentru fiecare câmp vector X deasupra M (adică pentru fiecare secțiune a pachetului tangent TM ), se poate defini o derivată covariantă

\nabla _{X}:\Gamma (E)\to \Gamma (E)

{\ displaystyle \ nabla _ {X}: \ Gamma (E) \ to \ Gamma (E)}

{\ displaystyle \ nabla _ {X}: \ Gamma (E) \ to \ Gamma (E)}

prin contracția lui X cu homomorfismul definit de operatorul ∇ (adică ∇ _X σ = (∇σ) ( X )). Derivata covariantă îndeplinește următoarele proprietăți:

{\begin{aligned}&\nabla _{X}(\sigma _{1}+\sigma _{2})=\nabla _{X}\sigma _{1}+\nabla _{X}\sigma _{2}\\&\nabla _{X_{1}+X_{2}}\sigma =\nabla _{X_{1}}\sigma +\nabla _{X_{2}}\sigma \\&\nabla _{X}(f\sigma )=f\nabla _{X}\sigma +X(f)\sigma \\&\nabla _{fX}\sigma =f\nabla _{X}\sigma .\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} & \ nabla _ {X} (\ sigma _ {1} + \ sigma _ {2}) = \ nabla _ {X} \ sigma _ {1} + \ nabla _ {X } \ sigma _ {2} \\ & \ nabla _ {X_ {1} + X_ {2}} \ sigma = \ nabla _ {X_ {1}} \ sigma + \ nabla _ {X_ {2}} \ sigma \\ & \ nabla _ {X} (f \ sigma) = f \ nabla _ {X} \ sigma + X (f) \ sigma \\ & \ nabla _ {fX} \ sigma = f \ nabla _ {X} \ sigma. \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} & \ nabla _ {X} (\ sigma _ {1} + \ sigma _ {2}) = \ nabla _ {X} \ sigma _ {1} + \ nabla _ {X } \ sigma _ {2} \\ & \ nabla _ {X_ {1} + X_ {2}} \ sigma = \ nabla _ {X_ {1}} \ sigma + \ nabla _ {X_ {2}} \ sigma \\ & \ nabla _ {X} (f \ sigma) = f \ nabla _ {X} \ sigma + X (f) \ sigma \\ & \ nabla _ {fX} \ sigma = f \ nabla _ {X} \ sigma. \ end {align}}}

În schimb, fiecare operator ∇ _X de acest tip definește o conexiune peste pachetul vector E. O conexiune definită în acest mod se mai numește derivată covariantă pe E.

Transport paralel pe un pachet de vectori

Fie M o varietate diferențiată. Dat fiind un pachet vector E → M cu derivată covariantă ∇ și o curbă diferențiată γ : I → M parametrizată cu un interval deschis I. O secțiune diferențiată σ a $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ definit mai sus γ se spune că este paralel dacă ecuația este îndeplinită:

\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}\sigma =0{\text{ per ogni }}t\in I.\,

{\ displaystyle \ nabla _ {{\ dot {\ gamma}} (t)} \ sigma = 0 {\ text {pentru fiecare}} t \ in I. \,}

{\ displaystyle \ nabla _ {{\ dot {\ gamma}} (t)} \ sigma = 0 {\ text {pentru fiecare}} t \ in I. \,}

Să presupunem că fixăm un punct și ₀ ∈ E _P al fibrei deasupra punctului P = γ (0) ∈ M , în locul unei secțiuni. Transportul paralel al vectorului e _{0 de} -a lungul curbei diferențiate γ este extensia lui e ₀ la secțiunea paralelă σ deasupra curbei γ . Mai precis, σ este definit ca singura secțiune (locală) a mănunchiului E de -a lungul γ astfel încât

$\nabla _{\dot {\gamma }}\sigma =0$ ${\ displaystyle \ nabla _ {\ dot {\ gamma}} \ sigma = 0}$ ${\ displaystyle \ nabla _ {\ dot {\ gamma}} \ sigma = 0}$
$\sigma _{\gamma (0)}=e_{0}.$ ${\ displaystyle \ sigma _ {\ gamma (0)} = e_ {0}.}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {\ gamma (0)} = e_ {0}.}$

Rețineți că în orice sistem de coordonate local, expresia (1) definește o ecuație diferențială obișnuită , cu condiția inițială dată de (2). Prin urmare, teorema Picard - Lindelöf garantează (cel puțin local) existența și unicitatea soluției.

Astfel, conexiunea ∇ definește un mod de a transporta vectori între fibre conectate printr-o curbă diferențiată, stabilind un izomorfism liniar între fibre (adică între spații vectoriale) pe puncte distincte ale aceleiași curbe:

\Gamma (\gamma )_{s}^{t}:E_{\gamma (s)}\rightarrow E_{\gamma (t)}

{\ displaystyle \ Gamma (\ gamma) _ {s} ^ {t}: E _ {\ gamma (s)} \ rightarrow E _ {\ gamma (t)}}

{\ displaystyle \ Gamma (\ gamma) _ {s} ^ {t}: E _ {\ gamma (s)} \ rightarrow E _ {\ gamma (t)}}

de la spațiul vectorial de deasupra punctului γ ( s ) la cel de deasupra γ ( t ). Acest izomorfism este cunoscut ca transportul paralel asociat cu curba diferențiată dată. Izomorfismul dintre fibrele obținute în acest mod depinde, în general, de alegerea curbei diferențiabile: dacă acest lucru nu se întâmplă, atunci transportul paralel de-a lungul curbelor arbitrare poate fi utilizat pentru a defini secțiunile paralele ale lui E peste tot M. Acest lucru este posibil numai dacă curbura conexiunii ∇ este identică zero.

Notă

^ G. Gentili, F. Podestà, E. Vesentini, Lecții de geometrie diferențială , Torino, Bollati Boringhieri, 1995, p. 126.

Bibliografie

Edoardo Sernesi, Geometry 2 , Turin, Bollati Boringhieri , 1994, ISBN 978-88-339-5548-3 .
G. Gentili, F. Podestà, E. Vesentini, Lecții de geometrie diferențială , Torino, Bollati Boringhieri , 1995, ISBN 978-88-339-5556-8 .
( EN ) Shoshichi Kobayashi, Katsumi Nomizu, Foundations of Differential Geometry, Vol. 1 , Wiley-Interscience, 1996 (ediție nouă), ISBN 0-471-15733-3 .
(EN) Michael Spivak , A Comprehensive Introduction to Differential Geometry (Vol. 2), Publish or Perish, Inc., Houston, 1999.

Elemente conexe

Spațiul tangent

Controlul autorității	Tezaur BNCF 58085 · LCCN (EN) sh85031181 · BNF (FR) cb12275144b (data)

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] G. Gentili, F. Podestà, E. Vesentini, Lecții de geometrie diferențială , Torino, Bollati Boringhieri, 1995, p. 126.

[1]