Derivat de minciună

În matematică , derivatul Lie , numit în onoarea lui Sophus Lie de Władysław Ślebodziński , calculează variația unui câmp vector , mai general al unui câmp tensor , de-a lungul fluxului unui alt câmp vector.

Ideea de bază a derivatei Lie este de a compara doi tensori, unul evoluat al celuilalt, de-a lungul aceleiași curbe, care este soluția unui câmp vectorial adecvat și care face limita pentru deplasarea infinitesimală.

Această derivată este strâns legată de ideea care stă la baza derivatei unei secțiuni de - a lungul unei curbe.

Definiție

Este $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ o varietate diferențiată , $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ un câmp vector pe $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ , $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ orice câmp tensorial, de asemenea, pe $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ .

Derivatul Lie al lui $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ lung $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este câmpul tensorial definit astfel:

{\mathcal {L}}_{X}T=\lim _{t\to 0}{\frac {1}{t}}(\Phi _{t}^{*}T-T)={\frac {d}{dt}}(\Phi _{t}^{*}T)

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X} T = \ lim _ {t \ to 0} {\ frac {1} {t}} (\ Phi _ {t} ^ {*} TT) = { \ frac {d} {dt}} (\ Phi _ {t} ^ {*} T)}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X} T = \ lim _ {t \ to 0} {\ frac {1} {t}} (\ Phi _ {t} ^ {*} TT) = { \ frac {d} {dt}} (\ Phi _ {t} ^ {*} T)}

cu $\Phi _{t}^{*}T$ ${\ displaystyle \ Phi _ {t} ^ {*} T}$ ${\ displaystyle \ Phi _ {t} ^ {*} T}$ înseamnă retragerea $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ de-a lungul hărții $\Phi _{t}$ ${\ displaystyle \ Phi _ {t}}$ ${\ displaystyle \ Phi _ {t}}$ care coincide cu fluxul de $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ . $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este orice câmp tensorial, în special este valabil și în caz $(0,0)$ ${\ displaystyle (0,0)}$ $(0,0)$ , adică atunci când este o funcție $f:M\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle f: M \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle f: M \ to \ mathbb {R}}$ .

Cazuri speciale

Este $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ o varietate diferențială m-dimensională, $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ un câmp vector potrivit pe $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ , $x^{i}$ ${\ displaystyle x ^ {i}}$ $x ^ i$ un sistem de coordonate pe $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ , cu $i=1,...,m$ ${\ displaystyle i = 1, ..., m}$ ${\ displaystyle i = 1, ..., m}$ . Notatia $X^{i}$ ${\ displaystyle X ^ {i}}$ ${\ displaystyle X ^ {i}}$ indică a i-a componentă a câmpului vector $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ în ceea ce privește baza naturală indusă de sistemul de coordonate și același lucru este valabil și pentru câmpurile tensoriale $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ cu notația $T_{j_{1}\cdots j_{q}}^{i_{1}\cdots i_{p}}$ ${\ displaystyle T_ {j_ {1} \ cdots j_ {q}} ^ {i_ {1} \ cdots i_ {p}}}$ ${\ displaystyle T_ {j_ {1} \ cdots j_ {q}} ^ {i_ {1} \ cdots i_ {p}}}$ .

În cazul derivatei Lie a unei funcții scalare pe $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ retragerea coincide cu compoziția funcției dintre $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ și harta $\Phi _{t}$ ${\ displaystyle \ Phi _ {t}}$ ${\ displaystyle \ Phi _ {t}}$ :

\Phi _{t}^{*}f=f\circ \Phi _{t}=f(\Phi _{t}(x))

{\ displaystyle \ Phi _ {t} ^ {*} f = f \ circ \ Phi _ {t} = f (\ Phi _ {t} (x))}

{\ displaystyle \ Phi _ {t} ^ {*} f = f \ circ \ Phi _ {t} = f (\ Phi _ {t} (x))}

derivând cu privire la

t

{\ displaystyle t}

t

primesti:

{\mathcal {L}}_{X}T={\frac {d}{dt}}(\Phi _{t}^{*}f)=(df)_{i}X^{i}={\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}X^{i}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X} T = {\ frac {d} {dt}} (\ Phi _ {t} ^ {*} f) = (df) _ {i} X ^ { i} = {\ frac {\ partial f} {\ partial x ^ {i}}} X ^ {i}}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X} T = {\ frac {d} {dt}} (\ Phi _ {t} ^ {*} f) = (df) _ {i} X ^ { i} = {\ frac {\ partial f} {\ partial x ^ {i}}} X ^ {i}}

cu

d f

{\ displaystyle df}

df

ne referim la diferențialul sau derivatul extern al lui

f

{\ displaystyle f}

f

.

Dacă acum este indicat cu

{\mathcal {F}}(M)

{\ displaystyle {\ mathcal {F}} (M)}

{\ displaystyle {\ mathcal {F}} (M)}

algebra funcțiilor definite pe

M.

{\ displaystyle M}

M.

, asa de:

{\mathcal {L}}_{X}({\mathcal {F}}(M)):{\mathcal {F}}(M)\to {\mathcal {F}}(M)

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X} ({\ mathcal {F}} (M)): {\ mathcal {F}} (M) \ to {\ mathcal {F}} (M)}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X} ({\ mathcal {F}} (M)): {\ mathcal {F}} (M) \ to {\ mathcal {F}} (M)}

.

Derivată de minciună pentru un câmp tensorial $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ de tip $(p,q)$ ${\ displaystyle (p, q)}$ $(p, q)$ pe $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ :

({\mathcal {L}}_{X}T)_{j_{1}\cdots j_{q}}^{i_{1}\cdots i_{p}}={\frac {\partial T_{j_{1}\cdots j_{q}}^{i_{1}\cdots i_{p}}}{\partial x^{k}}}X^{k}-T_{j_{1}\cdots j_{q}}^{ri_{2}\cdots i_{p}}{\frac {\partial X^{i_{1}}}{\partial x^{r}}}-\cdots -T_{j_{1}\cdots j_{q}}^{i_{1}\cdots i_{p-1}r}{\frac {\partial X^{i_{p}}}{\partial x^{r}}}+T_{s\cdots j_{q}}^{i_{1}\cdots i_{p}}{\frac {\partial X^{s}}{\partial x^{j_{1}}}}+\cdots +T_{j_{1}\cdots s}^{i_{1}\cdots i_{p}}{\frac {\partial X^{s}}{\partial x^{j_{q}}}}

{\ displaystyle ({\ mathcal {L}} _ {X} T) _ {j_ {1} \ cdots j_ {q}} ^ {i_ {1} \ cdots i_ {p}} = {\ frac {\ partial T_ {j_ {1} \ cdots j_ {q}} ^ {i_ {1} \ cdots i_ {p}}} {\ partial x ^ {k}}} X ^ {k} -T_ {j_ {1} \ cdots j_ {q}} ^ {ri_ {2} \ cdots i_ {p}} {\ frac {\ partial X ^ {i_ {1}}} {\ partial x ^ {r}}} - \ cdots -T_ { j_ {1} \ cdots j_ {q}} ^ {i_ {1} \ cdots i_ {p-1} r} {\ frac {\ partial X ^ {i_ {p}}} {\ partial x ^ {r} }} + T_ {s \ cdots j_ {q}} ^ {i_ {1} \ cdots i_ {p}} {\ frac {\ partial X ^ {s}} {\ partial x ^ {j_ {1}}} } + \ cdots + T_ {j_ {1} \ cdots s} ^ {i_ {1} \ cdots i_ {p}} {\ frac {\ partial X ^ {s}} {\ partial x ^ {j_ {q} }}}}

{\ displaystyle ({\ mathcal {L}} _ {X} T) _ {j_ {1} \ cdots j_ {q}} ^ {i_ {1} \ cdots i_ {p}} = {\ frac {\ partial T_ {j_ {1} \ cdots j_ {q}} ^ {i_ {1} \ cdots i_ {p}}} {\ partial x ^ {k}}} X ^ {k} -T_ {j_ {1} \ cdots j_ {q}} ^ {ri_ {2} \ cdots i_ {p}} {\ frac {\ partial X ^ {i_ {1}}} {\ partial x ^ {r}}} - \ cdots -T_ { j_ {1} \ cdots j_ {q}} ^ {i_ {1} \ cdots i_ {p-1} r} {\ frac {\ partial X ^ {i_ {p}}} {\ partial x ^ {r} }} + T_ {s \ cdots j_ {q}} ^ {i_ {1} \ cdots i_ {p}} {\ frac {\ partial X ^ {s}} {\ partial x ^ {j_ {1}}} } + \ cdots + T_ {j_ {1} \ cdots s} ^ {i_ {1} \ cdots i_ {p}} {\ frac {\ partial X ^ {s}} {\ partial x ^ {j_ {q} }}}}

De asemenea, în acest caz dacă indicați cu

{\mathcal {X}}_{q}^{p}(M)

{\ displaystyle {\ mathcal {X}} _ {q} ^ {p} (M)}

{\ displaystyle {\ mathcal {X}} _ {q} ^ {p} (M)}

spațiu vectorial sus

\mathbb {R}

{\ displaystyle \ mathbb {R}}

\ mathbb {R}

, sau ca modul pe ring

{\mathcal {F}}(M)

{\ displaystyle {\ mathcal {F}} (M)}

{\ displaystyle {\ mathcal {F}} (M)}

, a câmpurilor tensoriale

(p,q)

{\ displaystyle (p, q)}

(p, q)

pe

M.

{\ displaystyle M}

M.

asa de:

{\mathcal {L}}_{X}({\mathcal {X}}_{q}^{p}(M)):{\mathcal {X}}_{q}^{p}(M)\to {\mathcal {X}}_{q}^{p}(M)

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X} ({\ mathcal {X}} _ {q} ^ {p} (M)): {\ mathcal {X}} _ {q} ^ {p} (M) \ to {\ mathcal {X}} _ {q} ^ {p} (M)}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X} ({\ mathcal {X}} _ {q} ^ {p} (M)): {\ mathcal {X}} _ {q} ^ {p} (M) \ to {\ mathcal {X}} _ {q} ^ {p} (M)}

.

Proprietate

Derivatul Lie are multe proprietăți:

Liniaritatea. Lasa-i sa fie $\lambda \in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ lambda \ in \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ lambda \ in \ mathbb {R}}$ Și $T., R.$ ${\ displaystyle T, R}$ ${\ displaystyle T, R}$ a câmpurilor tensoriale $(p,r)$ ${\ displaystyle (p, r)}$ ${\ displaystyle (p, r)}$ pe $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ . Atunci:

{\mathcal {L}}_{X}(T+R)={\mathcal {L}}_{X}T+{\mathcal {L}}_{X}R

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X} (T ​​+ R) = {\ mathcal {L}} _ {X} T + {\ mathcal {L}} _ {X} R}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X} (T ​​+ R) = {\ mathcal {L}} _ {X} T + {\ mathcal {L}} _ {X} R}

{\mathcal {L}}_{X}(\lambda T)=\lambda {\mathcal {L}}_{X}T

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X} (\ lambda T) = \ lambda {\ mathcal {L}} _ {X} T}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X} (\ lambda T) = \ lambda {\ mathcal {L}} _ {X} T}

Regula lui Leibniz. Lasa-i sa fie $f:M\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle f: M \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle f: M \ to \ mathbb {R}}$ Și $T., R.$ ${\ displaystyle T, R}$ ${\ displaystyle T, R}$ câmpuri tensoriale pe $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ . Atunci:

{\mathcal {L}}_{X}(fT)=({\mathcal {L}}_{X}f)T+f({\mathcal {L}}_{X}T)

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X} (fT) = ({\ mathcal {L}} _ {X} f) T + f ({\ mathcal {L}} _ {X} T)}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X} (fT) = ({\ mathcal {L}} _ {X} f) T + f ({\ mathcal {L}} _ {X} T)}

{\mathcal {L}}_{X}(T\otimes R)=({\mathcal {L}}_{X}T)\otimes R+T\otimes ({\mathcal {L}}_{X}R)

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X} (T ​​\ otimes R) = ({\ mathcal {L}} _ {X} T) \ otimes R + T \ otimes ({\ mathcal {L }} _ {X} R)}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X} (T ​​\ otimes R) = ({\ mathcal {L}} _ {X} T) \ otimes R + T \ otimes ({\ mathcal {L }} _ {X} R)}

Este $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ o formă diferențială q pe $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ , asa de

{\mathcal {L}}_{X}(d\omega )=d({\mathcal {L}}_{X}\omega )

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X} (d \ omega) = d ({\ mathcal {L}} _ {X} \ omega)}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X} (d \ omega) = d ({\ mathcal {L}} _ {X} \ omega)}

Formula lui Cartan sau formula magică a lui Cartan, referitoare la formele q diferențiale:

{\mathcal {L}}_{X}\omega =i_{X}d\omega +d(i_{X}\omega )

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X} \ omega = i_ {X} d \ omega + d (i_ {X} \ omega)}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X} \ omega = i_ {X} d \ omega + d (i_ {X} \ omega)}

unde este

i_{X}\omega

{\ displaystyle i_ {X} \ omega}

{\ displaystyle i_ {X} \ omega}

denotă produsul intern e

d

{\ displaystyle d}

d

derivatul extern este valabil și în caz

\omega =f:M\to \mathbb {R}

{\ displaystyle \ omega = f: M \ to \ mathbb {R}}

{\ displaystyle \ omega = f: M \ to \ mathbb {R}}

punând prin definiție

i_{X}f=0

{\ displaystyle i_ {X} f = 0}

{\ displaystyle i_ {X} f = 0}

pentru fiecare câmp vectorial

X

{\ displaystyle X}

X

.

Identitatea lui Jacobi :

{\mathcal {L}}_{X}({\mathcal {L}}_{Y}T)-{\mathcal {L}}_{Y}({\mathcal {L}}_{X}T)={\mathcal {L}}_{{\mathcal {L}}_{X}Y}T

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X} ({\ mathcal {L}} _ {Y} T) - {\ mathcal {L}} _ {Y} ({\ mathcal {L}} _ { X} T) = {\ mathcal {L}} _ {{\ mathcal {L}} _ {X} Y} T}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X} ({\ mathcal {L}} _ {Y} T) - {\ mathcal {L}} _ {Y} ({\ mathcal {L}} _ { X} T) = {\ mathcal {L}} _ {{\ mathcal {L}} _ {X} Y} T}

Derivată de minciună a unui câmp vector

Derivata Lie a unui câmp vector $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ în raport cu un alt câmp vector $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ pe o varietate $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ este definit cu notația $[X,Y]$ ${\ displaystyle [X, Y]}$ ${\ displaystyle [X, Y]}$ care ia numele de paranteză Lie și, prin definiție, coincide cu derivata Lie, adică:

[X,Y]={\mathcal {L}}_{X}Y

{\ displaystyle [X, Y] = {\ mathcal {L}} _ {X} Y}

{\ displaystyle [X, Y] = {\ mathcal {L}} _ {X} Y}

Dacă acum luăm în considerare un sistem de coordonate $x^{i}$ ${\ displaystyle x ^ {i}}$ $x ^ i$ pe $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ Și $\partial /\partial x^{i}$ ${\ displaystyle \ partial / \ partial x ^ {i}}$ ${\ displaystyle \ partial / \ partial x ^ {i}}$ baza respectivă indusă pe tangenta lui $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ , $T. M.$ ${\ displaystyle TM}$ ${\ displaystyle TM}$ , apoi câmpul vector $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ il scrii:

X=X^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}

{\ displaystyle X = X ^ {i} {\ frac {\ partial} {\ partial x ^ {i}}}}

{\ displaystyle X = X ^ {i} {\ frac {\ partial} {\ partial x ^ {i}}}}

iar paranteze Lie între câmpurile vectoriale în coordonate ia următorul aspect:

[X,Y]=\left(X^{j}{\frac {\partial Y^{i}}{\partial x^{j}}}-{\frac {\partial X^{i}}{\partial x^{j}}}Y^{j}\right){\frac {\partial }{\partial x^{i}}}

{\ displaystyle [X, Y] = \ left (X ^ {j} {\ frac {\ partial Y ^ {i}} {\ partial x ^ {j}}} - {\ frac {\ partial X ^ {i }} {\ partial x ^ {j}}} Y ^ {j} \ right) {\ frac {\ partial} {\ partial x ^ {i}}}}

{\ displaystyle [X, Y] = \ left (X ^ {j} {\ frac {\ partial Y ^ {i}} {\ partial x ^ {j}}} - {\ frac {\ partial X ^ {i }} {\ partial x ^ {j}}} Y ^ {j} \ right) {\ frac {\ partial} {\ partial x ^ {i}}}}

Această scriere face evidentă relația:

[X,Y]=-[Y,X]

{\ displaystyle [X, Y] = - [Y, X]}

{\ displaystyle [X, Y] = - [Y, X]}

și face ca proprietatea indicată mai sus cu numele de identitate al lui Jacobi să fie mai ușor de înțeles, de fapt:

[X,[Y,Z]]-[Y,[X,Z]]=[[X,Y],Z]

{\ displaystyle [X, [Y, Z]] - [Y, [X, Z]] = [[X, Y], Z]}

{\ displaystyle [X, [Y, Z]] - [Y, [X, Z]] = [[X, Y], Z]}

unde este $Z$ ${\ displaystyle Z}$ $Z$ reprezintă un alt câmp vectorial pe $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ . Datorită acestor relații, spațiul vectorial al câmpurilor vectoriale de pe $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ , indicat cu $Vett(M)$ ${\ displaystyle Vett (M)}$ ${\ displaystyle Vett (M)}$ , cu operația $[,]$ ${\ displaystyle [,]}$ $[,]$ se dovedește a fi o algebră Lie .

Bibliografie

Ralph Abraham și Jerrold E. Marsden , Foundations of Mechanics , (1978) Benjamin-Cummings, Londra ISBN 0-8053-0102-X A se vedea secțiunea 2.2 .
David Bleecker, Gauge Theory and Variational Principles , (1981), Editura Addison-Wesley, ISBN 0-201-10096-7 . Vezi capitolul 0 .
Jurgen Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis , (2002) Springer-Verlag, Berlin ISBN 3-540-42627-2 Vezi secțiunea 1.6 .
Kolář, I., Michor, P. și Slovák, J., Operații naturale în geometrie diferențială , Springer-Verlag, 1993. Discuție extinsă despre parantezele Lie și teoria generală a derivatelor Lie.
Lang, S. , Diferențiale și varietăți riemanniene , Springer-Verlag, 1995, ISBN 978-0-387-94338-1 . Pentru generalizări la dimensiuni infinite.
Lang, S. , Fundamentals of Differential Geometry , Springer-Verlag, 1999, ISBN 978-0-387-98593-0 . Pentru generalizări la dimensiuni infinite.

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) DV Alekseevskii, Derivat de minciună , în Enciclopedia Matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică