Secțiune (geometrie diferențială)

În geometria diferențială, o secțiune este o aplicație de la baza unui pachet, care este o varietate diferențială , la valori în spațiul total al pachetului în sine. Utilitatea sa practică se găsește în posibilitatea asocierii bazei pachetului vectorial considerat unei funcții diferențiate , prin plasarea unui element al fibrei în acel punct, în fiecare punct al bazei colectorului.

O secțiune generică pe o varietate M

De exemplu, un câmp vector este o secțiune a pachetului de tangente TM. Scrierea sa în coordonate locale este de fapt: $F(x_{1},...,x_{n})={\underset {i=1}{\overset {m}{\sum }}}f^{i}(x_{1},...,x_{n}){\frac {\partial }{\partial x^{i}}}$ ${\ displaystyle F (x_ {1}, ..., x_ {n}) = {\ underset {i = 1} {\ overset {m} {\ sum}}} f ^ {i} (x_ {1} , ..., x_ {n}) {\ frac {\ partial} {\ partial x ^ {i}}}}$ ${\ displaystyle F (x_ {1}, ..., x_ {n}) = {\ underset {i = 1} {\ overset {m} {\ sum}}} f ^ {i} (x_ {1} , ..., x_ {n}) {\ frac {\ partial} {\ partial x ^ {i}}}}$

Secțiune în geometrie diferențială

Definiție

Având în vedere o varietate diferențiată $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ , un punct $p\in M$ ${\ displaystyle p \ în M}$ ${\ displaystyle p \ în M}$ , în jur $U\subset M$ ${\ displaystyle U \ subset M}$ ${\ displaystyle U \ subset M}$ din $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ și un pachet de vectori $\pi :E\rightarrow M$ ${\ displaystyle \ pi: E \ rightarrow M}$ ${\ displaystyle \ pi: E \ rightarrow M}$ , o secțiune din $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ este o aplicație diferențiată $\sigma :U\rightarrow E,p\rightarrow (p,v)$ ${\ displaystyle \ sigma: U \ rightarrow E, p \ rightarrow (p, v)}$ ${\ displaystyle \ sigma: U \ rightarrow E, p \ rightarrow (p, v)}$ astfel încât $\pi \circ \sigma =id_{M}$ ${\ displaystyle \ pi \ circ \ sigma = id_ {M}}$ ${\ displaystyle \ pi \ circ \ sigma = id_ {M}}$ . ^[1]

Clasificarea secțiunilor principale

Unele obiecte matematice, atunci când sunt privite ca secțiuni ale unor pachete de vectori, obțin o interpretare geometrică mult mai profundă. Iată cele mai cunoscute:

O secțiune nulă asociază vectorul nul pe $E_{p},\forall p\in M$ ${\ displaystyle E_ {p}, \ forall p \ în M}$ ${\ displaystyle E_ {p}, \ forall p \ în M}$
O secțiune globală este o secțiune definită pentru întreaga varietate.
O secțiune trivială este o secțiune de pe pachetul trivial $E=M\times \mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle E = M \ times \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle E = M \ times \ mathbb {R} ^ {n}}$ , evident, izomorfă la o aplicație generică diferențiată.
O secțiune a pachetului tangent $T. M.$ ${\ displaystyle TM}$ ${\ displaystyle TM}$ definește un câmp vector pe M.
O secțiune a fasciculului cotangent $T^{*}M$ ${\ displaystyle T ^ {*} M}$ ${\ displaystyle T ^ {*} M}$ definește o formă 1 pe M.
O secțiune a fasciculului anticotangent (produs extern între spații cotangente r) definește o formă de r pe M.
O secțiune a unui pachet care este un produs tensor al pachetelor tangente și cotangente definește un câmp tensor pe M.

Continuitate

Secțiunile sunt funcții între varietatea de bază a unui pachet și spațiul total al pachetului, care, la rândul său, are o structură naturală diferențiată a colectorului, astfel încât o secțiune se spune că este continuă dacă este continuă ca funcție între varietăți.

Derivarea secțiunilor

Este $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ o varietate diferențiată, $\pi :E\rightarrow M$ ${\ displaystyle \ pi: E \ rightarrow M}$ ${\ displaystyle \ pi: E \ rightarrow M}$ fie un pachet de vectori $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ un câmp vector pe $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ cu $\sigma (t):I\rightarrow M$ ${\ displaystyle \ sigma (t): I \ rightarrow M}$ ${\ displaystyle \ sigma (t): I \ rightarrow M}$ curba sa integrală, $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ o secțiune pe $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ la valori în $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ . Precum și în $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ putem obține o funcție diferențiată definind un raport incremental , chiar și o secțiune a unui pachet poate fi „derivată” de-a lungul unei curbe integrale a unui câmp vector, dar cu o mică generalizare geometrică a raportului incremental. Intr-adevar

${\underset {t\rightarrow 0}{\lim }}{\frac {s(\sigma (t))-s(\sigma (0))}{t}}$ ${\ displaystyle {\ underset {t \ rightarrow 0} {\ lim}} {\ frac {s (\ sigma (t)) - s (\ sigma (0))} {t}}}$ ${\ displaystyle {\ underset {t \ rightarrow 0} {\ lim}} {\ frac {s (\ sigma (t)) - s (\ sigma (0))} {t}}}$ este o relație care nu are sens. Pe fiecare punct al $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ trăiește un pachet diferit, e $s(\sigma (t)),s(\sigma (0))$ ${\ displaystyle s (\ sigma (t)), s (\ sigma (0))}$ ${\ displaystyle s (\ sigma (t)), s (\ sigma (0))}$ aparțin respectiv $E_{\sigma (t)},E_{\sigma (0)}$ ${\ displaystyle E _ {\ sigma (t)}, E _ {\ sigma (0)}}$ ${\ displaystyle E _ {\ sigma (t)}, E _ {\ sigma (0)}}$ , deci este imposibil să le furi. Generalizarea care duce la posibilitatea derivării unei secțiuni este conexiunea sau mai bine cunoscută sub numele de derivată covariantă .

Derivată Covariantă

Vom urma o introducere logică / geometrică a conexiunii, ceea ce au făcut istoric matematicienii. Într-adevăr, există un izomorfism între pachetele vectoriale care trăiesc pe punctele unei curbe integrale comune, care devine o identitate în spații plane și, prin urmare, poate fi folosit ca mijloc de generalizare a conceptului de relație incrementală . Se arată cu ușurință că este echivalent cu definiția derivatului covariant tipic manualelor (și al intrării de pe wikipedia). Această echivalență este lăsată cititorului ca exercițiu.

Transport paralel.

O secțiune din $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ pe o curbă $\sigma (t)$ ${\ displaystyle \ sigma (t)}$ ${\ displaystyle \ sigma (t)}$ pe $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ este o funcție $s:I\rightarrow E$ ${\ displaystyle s: I \ rightarrow E}$ ${\ displaystyle s: I \ rightarrow E}$ astfel încât $s(t)\in E_{\sigma (t)}\forall t\in I$ ${\ displaystyle s (t) \ in E _ {\ sigma (t)} \ forall t \ in I}$ ${\ displaystyle s (t) \ in E _ {\ sigma (t)} \ forall t \ in I}$ . Având în vedere o curbă $\sigma :I\rightarrow M$ ${\ displaystyle \ sigma: I \ rightarrow M}$ ${\ displaystyle \ sigma: I \ rightarrow M}$ , cu $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ gama deschisa de $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ Și $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ varietate diferențiată căreia îi aparțin $p=\sigma (0),q=\sigma (t)$ ${\ displaystyle p = \ sigma (0), q = \ sigma (t)}$ ${\ displaystyle p = \ sigma (0), q = \ sigma (t)}$ , atunci un izomorfism este întotdeauna definibil $\tau _{t}$ ${\ displaystyle \ tau _ {t}}$ ${\ displaystyle \ tau _ {t}}$ astfel încât $\tau _{t}:E_{p}\rightarrow E_{q},v\rightarrow s(\sigma (t))$ ${\ displaystyle \ tau _ {t}: E_ {p} \ rightarrow E_ {q}, v \ rightarrow s (\ sigma (t))}$ ${\ displaystyle \ tau _ {t}: E_ {p} \ rightarrow E_ {q}, v \ rightarrow s (\ sigma (t))}$ unde este $E_{p},E_{q}$ ${\ displaystyle E_ {p}, E_ {q}}$ ${\ displaystyle E_ {p}, E_ {q}}$ sunt pachetele pe $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ Și $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ prin $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ .

Acest izomorfism între spațiile vectoriale $E_{p},E_{q}$ ${\ displaystyle E_ {p}, E_ {q}}$ ${\ displaystyle E_ {p}, E_ {q}}$ , se numește transport paralel , un nume care derivă tocmai din posibilitatea „transportării” unui vector al unui pachet către un punct, de-a lungul unei curbe a colectorului, permițând identificarea a două fibre din două puncte diferite.

Iată în cele din urmă definiția geometrică a derivatului covariant :

Este $\sigma :I\rightarrow M$ ${\ displaystyle \ sigma: I \ rightarrow M}$ ${\ displaystyle \ sigma: I \ rightarrow M}$ o curbă integrală pe $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ a unui câmp vector $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ . Este $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ o secțiune din $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ la valori în $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ Și $\tau _{t}$ ${\ displaystyle \ tau _ {t}}$ ${\ displaystyle \ tau _ {t}}$ transport paralel definit mai sus. Atunci:

$\nabla _{X}s(p)={\underset {t\rightarrow 0}{\lim }}{\frac {\tau _{t}^{-1}(s(\sigma (t)))-s(\sigma (0))}{t}}$ ${\ displaystyle \ nabla _ {X} s (p) = {\ underset {t \ rightarrow 0} {\ lim}} {\ frac {\ tau _ {t} ^ {- 1} (s (\ sigma (t ))) - s (\ sigma (0))} {t}}}$ ${\ displaystyle \ nabla _ {X} s (p) = {\ underset {t \ rightarrow 0} {\ lim}} {\ frac {\ tau _ {t} ^ {- 1} (s (\ sigma (t ))) - s (\ sigma (0))} {t}}}$

cu proprietățile sale de conectare:

$C^{\infty }$ ${\ displaystyle C ^ {\ infty}}$ $C ^ {\ infty}$ -liniar în primul argument
$\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ -liniar în al doilea argument
satisface regula lui Leibniz în al doilea argument $\nabla _{X}(fs)=f\nabla _{X}s+(Xf)s$ ${\ displaystyle \ nabla _ {X} (fs) = f \ nabla _ {X} s + (Xf) s}$ ${\ displaystyle \ nabla _ {X} (fs) = f \ nabla _ {X} s + (Xf) s}$ , cu $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ funcţie $C^{\infty }$ ${\ displaystyle C ^ {\ infty}}$ $C ^ {\ infty}$ , și $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ secțiunea luată în considerare

Curiozitate

În fizica modernă, interpretarea câmpurilor ca secțiuni de pachete este adesea fundamentală pentru a avea o coerență matematică și teoretică cu ceea ce este observat.
Datorită identificării prin secțiuni ale fasciculului tangent cu fasciculul său dublu cotangent, toate teoremele clasice de integrare a câmpului pot fi scrise în limbajul formelor diferențiale (presupunând, de asemenea, o mai mare generalitate și eleganță matematică).
Secțiunile unui pachet de pe un distribuitor deschis formează un pachet întreg de grupuri abeliene.
Setul de secțiuni ale unui pachet de pe un colector M formează un pachet de module pe pachetul de inele $C_{M}^{\infty }$ ${\ displaystyle C_ {M} ^ {\ infty}}$ ${\ displaystyle C_ {M} ^ {\ infty}}$ .
Pornind de la un set de secțiuni, se poate construi un pachet.
Fiecare pachet acceptă secțiuni.

Notă

^ M. Abate, F. Tovena, Geometrie diferențială, Springer

Bibliografie

M. Abate, F. Tovena, Geometrie diferențială, Springer, 2011. ISBN 978-88-470-1919-5 .
G. Gentili, F. Podestà, E. Vesentini, Lecții de geometrie diferențială, Torino, Bollati Boringhieri , 1995. ISBN 978-88-339-5556-8 .
(EN) I. Kolář; P. Michor, J. Slovák, Operatori naturali în geometrie diferențială (PDF), Springer-Verlag, 1993.

Elemente conexe

[1] M. Abate, F. Tovena, Geometrie diferențială, Springer

[1]