Separarea variabilelor

În matematică , prin separarea variabilelor sau metoda Fourier înțelegem o strategie de soluție pentru ecuații diferențiale obișnuite și ecuații diferențiale parțiale în care este posibil să rescriem ecuația astfel încât să apară două date variabile una pe partea dreaptă și cealaltă pe partea stângă a ecuației.

Ecuații diferențiale ordinare

Să presupunem că o ecuație diferențială obișnuită (ODE) poate fi scrisă sub forma:

{\frac {dy}{dx}}=g(x)h(y)

{\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = g (x) h (y)}

{\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = g (x) h (y)}

cu $y=f(x)$ ${\ displaystyle y = f (x)}$ $y = f (x)$ . De sine $h(y)\neq 0$ ${\ displaystyle h (y) \ neq 0}$ ${\ displaystyle h (y) \ neq 0}$ puteți reordona termenii:

\int {dy \over h(y)}=\int {g(x)dx}

{\ displaystyle \ int {dy \ over h (y)} = \ int {g (x) dx}}

{\ displaystyle \ int {dy \ over h (y)} = \ int {g (x) dx}}

astfel încât variabilele $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ Și $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ sunt separate fiecare în unul din cei doi membri.

Una dintre cele mai semnificative ecuații la care se aplică metoda este $y'=ay$ ${\ displaystyle y '= ay}$ ${\ displaystyle y '= ay}$ , creștere exponențială .

Exemplu

Același subiect în detaliu: Ecuația logistică .

Creșterea populației este adesea modelată de o ecuație diferențială, cum ar fi:

{\frac {dP}{dt}}=kP\left(1-{\frac {P}{K}}\right)

{\ displaystyle {\ frac {dP} {dt}} = kP \ left (1 - {\ frac {P} {K}} \ right)}

{\ displaystyle {\ frac {dP} {dt}} = kP \ left (1 - {\ frac {P} {K}} \ right)}

unde este $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ este populația în funcție de timp $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ , $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ este rata sa de creștere e $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ este capacitatea de transport a mediului . Reordonarea termenilor și integrarea:

\int {\frac {dP}{P\left(1-{\frac {P}{K}}\right)}}=\int k\,dt

{\ displaystyle \ int {\ frac {dP} {P \ left (1 - {\ frac {P} {K}} \ right)}} = \ int k \, dt}

{\ displaystyle \ int {\ frac {dP} {P \ left (1 - {\ frac {P} {K}} \ right)}} = \ int k \, dt}

Pentru a evalua integralul din stânga, fracția este simplificată:

{\frac {1}{P\left(1-{\frac {P}{K}}\right)}}={\frac {K}{P\left(K-P\right)}}

{\ displaystyle {\ frac {1} {P \ left (1 - {\ frac {P} {K}} \ right)}} = {\ frac {K} {P \ left (KP \ right)}}}

{\ displaystyle {\ frac {1} {P \ left (1 - {\ frac {P} {K}} \ right)}} = {\ frac {K} {P \ left (K-P \ right)}}}

și apoi îl descompune în secțiuni simple :

{\frac {K}{P\left(K-P\right)}}={\frac {1}{P}}+{\frac {1}{K-P}}

{\ displaystyle {\ frac {K} {P \ left (KP \ right)}} = {\ frac {1} {P}} + {\ frac {1} {KP}}}

{\ displaystyle {\ frac {K} {P \ left (K-P \ right)}} = {\ frac {1} {P}} + {\ frac {1} {K-P}}}

Prin urmare, avem:

\int \left({\frac {1}{P}}+{\frac {1}{K-P}}\right)\,dP=\int k\,dt

{\ displaystyle \ int \ left ({\ frac {1} {P}} + {\ frac {1} {KP}} \ right) \, dP = \ int k \, dt}

{\ displaystyle \ int \ left ({\ frac {1} {P}} + {\ frac {1} {K-P}} \ right) \, dP = \ int k \, dt}

Prin echivalarea integranzilor:

\ln {\begin{vmatrix}P\end{vmatrix}}-\ln {\begin{vmatrix}K-P\end{vmatrix}}=kt+C

{\ displaystyle \ ln {\ begin {vmatrix} P \ end {vmatrix}} - \ ln {\ begin {vmatrix} KP \ end {vmatrix}} = kt + C}

{\ displaystyle \ ln {\ begin {vmatrix} P \ end {vmatrix}} - \ ln {\ begin {vmatrix} K-P \ end {vmatrix}} = kt + C}

de la care:

\ln {\begin{vmatrix}K-P\end{vmatrix}}-\ln {\begin{vmatrix}P\end{vmatrix}}=-kt-C

{\ displaystyle \ ln {\ begin {vmatrix} KP \ end {vmatrix}} - \ ln {\ begin {vmatrix} P \ end {vmatrix}} = - kt-C}

{\ displaystyle \ ln {\ begin {vmatrix} K-P \ end {vmatrix}} - \ ln {\ begin {vmatrix} P \ end {vmatrix}} = - kt-C}

pentru proprietățile logaritmilor:

\ln {\begin{vmatrix}{\cfrac {K-P}{P}}\end{vmatrix}}=-kt-C

{\ displaystyle \ ln {\ begin {vmatrix} {\ cfrac {KP} {P}} \ end {vmatrix}} = - kt-C}

{\ displaystyle \ ln {\ begin {vmatrix} {\ cfrac {K-P} {P}} \ end {vmatrix}} = - kt-C}

Avem:

{\begin{vmatrix}{\cfrac {K-P}{P}}\end{vmatrix}}=e^{-kt-C}=e^{-C}e^{-kt}

{\ displaystyle {\ begin {vmatrix} {\ cfrac {KP} {P}} \ end {vmatrix}} = e ^ {- kt-C} = e ^ {- C} e ^ {- kt}}

{\ displaystyle {\ begin {vmatrix} {\ cfrac {K-P} {P}} \ end {vmatrix}} = e ^ {- kt-C} = e ^ {- C} e ^ {- kt}}

prin urmare:

{\frac {K-P}{P}}=\pm e^{-C}e^{-kt}

{\ displaystyle {\ frac {KP} {P}} = \ pm e ^ {- C} e ^ {- kt}}

{\ displaystyle {\ frac {K-P} {P}} = \ pm e ^ {- C} e ^ {- kt}}

Este $A=\pm e^{-C}$ ${\ displaystyle A = \ pm e ^ {- C}}$ ${\ displaystyle A = \ pm e ^ {- C}}$ . Atunci:

{\frac {K-P}{P}}=Ae^{-kt}

{\ displaystyle {\ frac {KP} {P}} = Ae ^ {- kt}}

{\ displaystyle {\ frac {K-P} {P}} = Ae ^ {- kt}}

care poate fi rescris:

{\frac {K}{P}}-1=Ae^{-kt}

{\ displaystyle {\ frac {K} {P}} - 1 = Ae ^ {- kt}}

{\ displaystyle {\ frac {K} {P}} - 1 = Ae ^ {- kt}}

din care obținem:

P={\frac {K}{1+Ae^{-kt}}}

{\ displaystyle P = {\ frac {K} {1 + Ae ^ {- kt}}}}

{\ displaystyle P = {\ frac {K} {1 + Ae ^ {- kt}}}}

Deci, soluția la ecuația logistică este:

P\left(t\right)={\frac {K}{1+Ae^{-kt}}}

{\ displaystyle P \ left (t \ right) = {\ frac {K} {1 + Ae ^ {- kt}}}}

{\ displaystyle P \ left (t \ right) = {\ frac {K} {1 + Ae ^ {- kt}}}}

A găsi $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , este $t=0$ ${\ displaystyle t = 0}$ $t = 0$ Și $P\left(0\right)=P_{0}$ ${\ displaystyle P \ left (0 \ right) = P_ {0}}$ ${\ displaystyle P \ left (0 \ right) = P_ {0}}$ . Avem:

P_{0}={\frac {K}{1+Ae^{0}}}

{\ displaystyle P_ {0} = {\ frac {K} {1 + Ae ^ {0}}}}

{\ displaystyle P_ {0} = {\ frac {K} {1 + Ae ^ {0}}}}

Observând că $e^{0}=1$ ${\ displaystyle e ^ {0} = 1}$ ${\ displaystyle e ^ {0} = 1}$ , rezolvarea pentru $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ avem:

A={\frac {K-P_{0}}{P_{0}}}

{\ displaystyle A = {\ frac {K-P_ {0}} {P_ {0}}}}

{\ displaystyle A = {\ frac {K-P_ {0}} {P_ {0}}}}

Ecuații diferențiale parțiale

Metoda este utilizată pentru a aborda un număr mare de ecuații parțiale diferențiale, cum ar fi ecuația undei , ecuația căldurii , ecuația Laplace sau ecuația Helmholtz .

Caz omogen

Având în vedere ecuația de difuzie într-o dimensiune:

{\frac {\partial u}{\partial t}}-\alpha {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}=0

{\ displaystyle {\ frac {\ partial u} {\ partial t}} - \ alpha {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial x ^ {2}}} = 0}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial u} {\ partial t}} - \ alpha {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial x ^ {2}}} = 0}

cu condiție de graniță:

u{\big |}_{x=0}=u{\big |}_{x=L}=0

{\ displaystyle u {\ big |} _ {x = 0} = u {\ big |} _ {x = L} = 0}

{\ displaystyle u {\ big |} _ {x = 0} = u {\ big |} _ {x = L} = 0}

încercăm să găsim o soluție $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ nu identic nimic care să satisfacă condițiile limită și astfel încât să fie un produs de care depinde $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ Și $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ este separat, adică:

u(x,t)=X(x)T(t)

{\ displaystyle u (x, t) = X (x) T (t)}

{\ displaystyle u (x, t) = X (x) T (t)}

Prin înlocuire $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ în ecuație și folosind regula produsului :

{\frac {T'(t)}{\alpha T(t)}}={\frac {X''(x)}{X(x)}}

{\ displaystyle {\ frac {T '(t)} {\ alpha T (t)}} = {\ frac {X' '(x)} {X (x)}}}

{\ displaystyle {\ frac {T '(t)} {\ alpha T (t)}} = {\ frac {X' '(x)} {X (x)}}}

Întrucât membrul din dreapta depinde doar de $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ iar cel din stânga numai din $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ , ambele sunt egale cu unele constante $-\lambda$ ${\ displaystyle - \ lambda}$ ${\ displaystyle - \ lambda}$ :

T'(t)=-\lambda \alpha T(t)\qquad X''(x)=-\lambda X(x)

{\ displaystyle T '(t) = - \ lambda \ alpha T (t) \ qquad X' '(x) = - \ lambda X (x)}

{\ displaystyle T '(t) = - \ lambda \ alpha T (t) \ qquad X' '(x) = - \ lambda X (x)}

unde este $-\lambda$ ${\ displaystyle - \ lambda}$ ${\ displaystyle - \ lambda}$ este valoarea proprie a ambilor operatori diferențiali, cu $T(t)$ ${\ displaystyle T (t)}$ $T (t)$ Și $X(x)$ ${\ displaystyle X (x)}$ $X (x)$ funcțiile lor de sine respective.

Pentru a arăta că nu există soluții pentru $\lambda \leq 0$ ${\ displaystyle \ lambda \ leq 0}$ ${\ displaystyle \ lambda \ leq 0}$ , se observă inițial că pentru $\lambda <0$ ${\ displaystyle \ lambda <0}$ $\ lambda <0$ există două numere reale $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ Și $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ astfel încât:

X(x)=Be^{{\sqrt {-\lambda }}\,x}+Ce^{-{\sqrt {-\lambda }}\,x}

{\ displaystyle X (x) = Be ^ {{\ sqrt {- \ lambda}} \, x} + Ce ^ {- {\ sqrt {- \ lambda}} \, x}}

{\ displaystyle X (x) = Be ^ {{\ sqrt {- \ lambda}} \, x} + Ce ^ {- {\ sqrt {- \ lambda}} \, x}}

Folosind condițiile la graniță avem asta $X(0)=0=X(L)$ ${\ displaystyle X (0) = 0 = X (L)}$ ${\ displaystyle X (0) = 0 = X (L)}$ , din care se are $B=0=C$ ${\ displaystyle B = 0 = C}$ ${\ displaystyle B = 0 = C}$ , ceea ce implică asta $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ Nu-i nimic. Presupunând $\lambda =0$ ${\ displaystyle \ lambda = 0}$ $\ lambda = 0$ , în plus, în acest caz există două numere reale $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ Și $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ astfel încât:

X(x)=Bx+C

{\ displaystyle X (x) = Bx + C}

{\ displaystyle X (x) = Bx + C}

In aceea $X(0)=0=X(L)$ ${\ displaystyle X (0) = 0 = X (L)}$ ${\ displaystyle X (0) = 0 = X (L)}$ se concluzionează în mod similar că $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ Nu-i nimic. Deci, trebuie să fie $\lambda >0$ ${\ displaystyle \ lambda> 0}$ $\ lambda> 0$ și există $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ Și $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ astfel încât:

T(t)=Ae^{-\lambda \alpha t}\qquad X(x)=B\sin({\sqrt {\lambda }}\,x)+C\cos({\sqrt {\lambda }}\,x)

{\ displaystyle T (t) = Ae ^ {- \ lambda \ alpha t} \ qquad X (x) = B \ sin ({\ sqrt {\ lambda}} \, x) + C \ cos ({\ sqrt { \ lambda}} \, x)}

{\ displaystyle T (t) = Ae ^ {- \ lambda \ alpha t} \ qquad X (x) = B \ sin ({\ sqrt {\ lambda}} \, x) + C \ cos ({\ sqrt { \ lambda}} \, x)}

Folosind din nou $X(0)=0=X(L)$ ${\ displaystyle X (0) = 0 = X (L)}$ ${\ displaystyle X (0) = 0 = X (L)}$ , da $C=0$ ${\ displaystyle C = 0}$ ${\ displaystyle C = 0}$ și asta pentru un număr întreg pozitiv $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ apare:

{\sqrt {\lambda }}=n{\frac {\pi }{L}}

{\ displaystyle {\ sqrt {\ lambda}} = n {\ frac {\ pi} {L}}}

{\ displaystyle {\ sqrt {\ lambda}} = n {\ frac {\ pi} {L}}}

Aceasta rezolvă ecuația în cazul în care dependența de $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ are forma $u(x,t)=X(x)T(t)$ ${\ displaystyle u (x, t) = X (x) T (t)}$ ${\ displaystyle u (x, t) = X (x) T (t)}$ . În general, suma soluțiilor la ecuația căldurii care îndeplinesc condițiile limită sunt soluții care îndeplinesc și acest caz particular și, prin urmare, o soluție completă este dată de:

u(x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }D_{n}\sin {\frac {n\pi x}{L}}\exp \left(-{\frac {n^{2}\pi ^{2}\alpha t}{L^{2}}}\right)

{\ displaystyle u (x, t) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} D_ {n} \ sin {\ frac {n \ pi x} {L}} \ exp \ left (- {\ frac {n ^ {2} \ pi ^ {2} \ alpha t} {L ^ {2}}} \ right)}

{\ displaystyle u (x, t) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} D_ {n} \ sin {\ frac {n \ pi x} {L}} \ exp \ left (- {\ frac {n ^ {2} \ pi ^ {2} \ alpha t} {L ^ {2}}} \ right)}

unde este $D_{n}$ ${\ displaystyle D_ {n}}$ $D_n$ sunt coeficienți determinați de condiția inițială.

Dacă condiția inițială este:

u{\big |}_{t=0}=f(x)

{\ displaystyle u {\ big |} _ {t = 0} = f (x)}

{\ displaystyle u {\ big |} _ {t = 0} = f (x)}

primesti:

f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }D_{n}\sin {\frac {n\pi x}{L}}

{\ displaystyle f (x) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} D_ {n} \ sin {\ frac {n \ pi x} {L}}}

{\ displaystyle f (x) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} D_ {n} \ sin {\ frac {n \ pi x} {L}}}

care este expansiunea în serie a sânilor de $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ . Înmulțirea ambilor membri cu $\sin(n\pi x/L)$ ${\ displaystyle \ sin (n \ pi x / L)}$ ${\ displaystyle \ sin (n \ pi x / L)}$ și integrarea în interval $[0,L]$ ${\ displaystyle [0, L]}$ $[0, L]$ avem:

D_{n}={\frac {2}{L}}\int _{0}^{L}f(x)\sin {\frac {n\pi x}{L}}\,dx

{\ displaystyle D_ {n} = {\ frac {2} {L}} \ int _ {0} ^ {L} f (x) \ sin {\ frac {n \ pi x} {L}} \, dx }

{\ displaystyle D_ {n} = {\ frac {2} {L}} \ int _ {0} ^ {L} f (x) \ sin {\ frac {n \ pi x} {L}} \, dx }

Această metodă necesită ca funcțiile proprii ale $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ , care în acest caz sunt:

\left\{\sin {\frac {n\pi x}{L}}\right\}_{n=1}^{\infty }

{\ displaystyle \ left \ {\ sin {\ frac {n \ pi x} {L}} \ right \} _ {n = 1} ^ {\ infty}}

{\ displaystyle \ left \ {\ sin {\ frac {n \ pi x} {L}} \ right \} _ {n = 1} ^ {\ infty}}

sunt ortogonale și reprezintă o bază completă . Acest lucru este în general garantat de teoria Sturm-Liouville .

Caz neomogen

Luați în considerare ecuația neomogenă:

{\frac {\partial u}{\partial t}}-\alpha {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}=h(x,t)

{\ displaystyle {\ frac {\ partial u} {\ partial t}} - \ alpha {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial x ^ {2}}} = h (x, t)}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial u} {\ partial t}} - \ alpha {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial x ^ {2}}} = h (x, t)}

cu aceleași condiții inițiale ca și cea omogenă. Funcții $h(x,t)$ ${\ displaystyle h (x, t)}$ ${\ displaystyle h (x, t)}$ , $u(x,t)$ ${\ displaystyle u (x, t)}$ $u (x, t)$ Și $f(x,t)$ ${\ displaystyle f (x, t)}$ $f (x, t)$ poate fi extins în serie de sâni:

h(x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }h_{n}(t)\sin {\frac {n\pi x}{L}}

{\ displaystyle h (x, t) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} h_ {n} (t) \ sin {\ frac {n \ pi x} {L}}}

{\ displaystyle h (x, t) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} h_ {n} (t) \ sin {\ frac {n \ pi x} {L}}}

u(x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}(t)\sin {\frac {n\pi x}{L}}

{\ displaystyle u (x, t) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} u_ {n} (t) \ sin {\ frac {n \ pi x} {L}}}

{\ displaystyle u (x, t) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} u_ {n} (t) \ sin {\ frac {n \ pi x} {L}}}

f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}\sin {\frac {n\pi x}{L}}

{\ displaystyle f (x) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} b_ {n} \ sin {\ frac {n \ pi x} {L}}}

{\ displaystyle f (x) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} b_ {n} \ sin {\ frac {n \ pi x} {L}}}

unde este $h_{n}(t)$ ${\ displaystyle h_ {n} (t)}$ ${\ displaystyle h_ {n} (t)}$ Și $b_{n}$ ${\ displaystyle b_ {n}}$ $b_ {n}$ poate fi calculat prin integrare, în timp ce $u_{n}(t)$ ${\ displaystyle u_ {n} (t)}$ ${\ displaystyle u_ {n} (t)}$ trebuie determinat. Prin înlocuirea expansiunilor de $h_{n}(t)$ ${\ displaystyle h_ {n} (t)}$ ${\ displaystyle h_ {n} (t)}$ Și $u_{n}(t)$ ${\ displaystyle u_ {n} (t)}$ ${\ displaystyle u_ {n} (t)}$ în ecuația neomogenă și având în vedere ortogonalitatea funcțiilor sinusoidale, obținem:

u'_{n}(t)+\alpha {\frac {n^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}u_{n}(t)=h_{n}(t)

{\ displaystyle u '_ {n} (t) + \ alpha {\ frac {n ^ {2} \ pi ^ {2}} {L ^ {2}}} u_ {n} (t) = h_ {n } (t)}

{\ displaystyle u '_ {n} (t) + \ alpha {\ frac {n ^ {2} \ pi ^ {2}} {L ^ {2}}} u_ {n} (t) = h_ {n } (t)}

care este o succesiune de ecuații diferențiale liniare care pot fi ușor rezolvate cu unele metode precum factorul de integrare sau transformata Laplace . În cele din urmă obținem:

u_{n}(t)=e^{-\alpha {\frac {n^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}t}\left(b_{n}+\int _{0}^{t}h_{n}(s)e^{\alpha {\frac {n^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}s}\,ds\right)

{\ displaystyle u_ {n} (t) = e ^ {- \ alpha {\ frac {n ^ {2} \ pi ^ {2}} {L ^ {2}}} t} \ left (b_ {n} + \ int _ {0} ^ {t} h_ {n} (s) e ^ {\ alpha {\ frac {n ^ {2} \ pi ^ {2}} {L ^ {2}}} s} \ , ds \ dreapta)}

{\ displaystyle u_ {n} (t) = e ^ {- \ alpha {\ frac {n ^ {2} \ pi ^ {2}} {L ^ {2}}} t} \ left (b_ {n} + \ int _ {0} ^ {t} h_ {n} (s) e ^ {\ alpha {\ frac {n ^ {2} \ pi ^ {2}} {L ^ {2}}} s} \ , ds \ dreapta)}

Metoda poate fi utilizată și pentru coordonatele curvilinei ortogonale, deși cu unele diferențe în ceea ce privește coordonatele carteziene .

Software

Xcas : ^[1] split ((x + 1) * (y-2), [x, y]) = [x + 1, y-2]

Notă

^ Algebră simbolică și matematică cu Xcas ( PDF ), la www-fourier.ujf-grenoble.fr .

Bibliografie

( EN ) Andrei D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists , Boca Raton, Chapman & Hall / CRC Press, 2002, ISBN 1-58488-299-9 .
( EN ) Tyn Myint-U, Lokenath Debnath, ecuații diferențiale parțiale liniare pentru oamenii de știință și ingineri ^{[ link rupt ]} , Boston, MA, 2007, ISBN 978-0-8176-4393-5 . Adus pe 29 martie 2011 .
( EN ) Gerald Teschl , Ecuații diferențiale ordinare și sisteme dinamice , Studii postuniversitare în matematică, vol. 140, Providence, RI, American Mathematical Society , 2012, ISBN 978-0-8218-8328-0 .

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) AP Soldatov, metoda Fourier , în Enciclopedia Matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.
( EN ) Eric W. Weisstein, Separation of variables , în MathWorld , Wolfram Research.
( EN ) Metode de separare generalizată și funcțională a variabilelor la EqWorld: Lumea ecuațiilor matematice
( EN ) Exemple de separare a variabilelor pentru rezolvarea PDE-urilor
( RO ) „O scurtă justificare a separării variabilelor” ( PDF ), pe math-cs.gordon.edu .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Algebră simbolică și matematică cu Xcas ( PDF ), la www-fourier.ujf-grenoble.fr .

[1]