Ecuația căldurii

În analiza matematică , ecuația căldurii , numită și ecuația difuziei , este o ecuație diferențială parțială care găsește diverse aplicații în științe : de exemplu în fizică modelează tendința de temperatură într-o regiune a spațiului-timp în condiții adecvate, iar în chimie tendința concentrației chimice a unei specii.

Condițiile Dirichlet reprezintă situații în care temperatura la limita domeniului are o tendință a priori cunoscută, de exemplu, deoarece este menținută constantă cu un termostat, condițiile Neumann reprezintă situații în care fluxul de căldură de la limita domeniului este cunoscute a priori, în timp ce condițiile Robin (sau radiații) reprezintă situații în care se presupune că există o legătură între fluxul de căldură la margine și valoarea temperaturii la margine.

Poziția bună a problemelor asociate cu ecuația căldurii rezultă și din analiza poziției bune a unei probleme parabolice , a cărei ecuație este un exemplu clasic.

Definiție

Este $u=u(x,t):{\bar {U}}\times [0,\infty )\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle u = u (x, t): {\ bar {U}} \ times [0, \ infty) \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle u = u (x, t): {\ bar {U}} \ times [0, \ infty) \ to \ mathbb {R}}$ o funcție , în care ${\bar {U}}$ ${\ displaystyle {\ bar {U}}}$ ${\ displaystyle {\ bar {U}}}$ este închiderea întregului $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ din $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ . Ecuația căldurii are forma:

{\frac {\partial u}{\partial t}}-a\nabla ^{2}u=0

{\ displaystyle {\ frac {\ partial u} {\ partial t}} - a \ nabla ^ {2} u = 0}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial u} {\ partial t}} - a \ nabla ^ {2} u = 0}

unde este ${\frac {\partial u}{\partial t}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ partial u} {\ partial t}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ partial u} {\ partial t}}}$ denotă derivata parțială a $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ cu privire la timp, $\nabla ^{2}$ ${\ displaystyle \ nabla ^ {2}}$ $\ nabla ^ 2$ denotă laplacianul în raport cu variabila $x=(x_{1},\dots ,x_{n})\in U$ ${\ displaystyle x = (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) \ în U}$ ${\ displaystyle x = (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) \ în U}$ Și $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ este o constantă pozitivă. Poate fi explicat ca:

{\frac {\partial u}{\partial t}}-a\left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{1}^{2}}}+\dots +{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{n}^{2}}}\right)=0

{\ displaystyle {\ frac {\ partial u} {\ partial t}} - a \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial x_ {1} ^ {2}}} + \ dots + {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial x_ {n} ^ {2}}} \ right) = 0}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial u} {\ partial t}} - a \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial x_ {1} ^ {2}}} + \ dots + {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial x_ {n} ^ {2}}} \ right) = 0}

Ecuația de căldură neomogenă pentru $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ , cunoscut și sub numele de reacție-difuzie , are forma: ^[1]

u_{t}-a\nabla ^{2}u=f(x,t)

{\ displaystyle u_ {t} -a \ nabla ^ {2} u = f (x, t)}

{\ displaystyle u_ {t} -a \ nabla ^ {2} u = f (x, t)}

unde este $f:U\times [0,\infty )\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle f: U \ times [0, \ infty) \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle f: U \ times [0, \ infty) \ to \ mathbb {R}}$ este o funcție dată.

Separarea variabilelor într-o singură dimensiune

Mai jos este o problemă Cauchy-Dirichlet care modelează un caz fizic simplu. Să presupunem că avem o bară cu unitatea de lungime a cărei rază este neglijabilă în raport cu lungimea sa, astfel încât să facem problema unidimensională. Setați termenul de difuzie constant și unitar și eliminați termenii privind transportul și reacțiile interne, astfel încât să reduceți ecuația la forma:

y_{t}-y_{xx}=0

{\ displaystyle y_ {t} -y_ {xx} = 0}

{\ displaystyle y_ {t} -y_ {xx} = 0}

cu $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ cărora li se vor impune condiții adecvate de regularitate. Prin setarea valorilor limită pentru a menține cele două capete ale barei la o temperatură constantă, prin fixarea distribuției inițiale a temperaturii, problema este deci bine definită:

{\begin{cases}y_{t}(x,t)-y_{xx}(x,t)=0\quad (x,t)\in [0,1]\times [0,+\infty ]\\y(x,0)=x\quad x\in [0,1]\\y(0,t)=y(1,t)=0\qquad t>0\end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} y_ {t} (x, t) -y_ {xx} (x, t) = 0 \ quad (x, t) \ în [0,1] \ times [0, + \ infty] \\ y (x, 0) = x \ quad x \ in [0,1] \\ y (0, t) = y (1, t) = 0 \ qquad t> 0 \ end {cases} }}

{\ displaystyle {\ begin {cases} y_ {t} (x, t) -y_ {xx} (x, t) = 0 \ quad (x, t) \ în [0,1] \ times [0, + \ infty] \\ y (x, 0) = x \ quad x \ in [0,1] \\ y (0, t) = y (1, t) = 0 \ qquad t> 0 \ end {cases} }}

Vrem să folosim metoda de separare a variabilelor . Pentru a face acest lucru, trebuie să scrieți $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ ca produs al două funcții, una a spațiului și una a timpului:

y(x,t)=X(x)T(t)\

{\ displaystyle y (x, t) = X (x) T (t) \}

{\ displaystyle y (x, t) = X (x) T (t) \}

și inserat în ecuație oferă:

{\frac {T'}{T}}={\frac {X''}{X}}\

{\ displaystyle {\ frac {T '} {T}} = {\ frac {X' '} {X}} \}

{\ displaystyle {\ frac {T '} {T}} = {\ frac {X' '} {X}} \}

după ce a indicat cu „primul” derivata obișnuită a celor două funcții în raport cu variabila de definiție a acestora. Cei doi termeni ai egalității sunt funcții ale două variabile diferite, prin urmare singura modalitate de a exista egalitatea pentru fiecare $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ și pentru fiecare $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ este că ambii termeni sunt egali cu o constantă, numită $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ .

Două ecuații diferențiale obișnuite pot fi generate separat pentru cele două funcții. Cea din variabila de timp are forma:

T'(t)=\lambda T(t)\

{\ displaystyle T '(t) = \ lambda T (t) \}

{\ displaystyle T '(t) = \ lambda T (t) \}

și integrat oferă imediat:

T(t)=T(0)e^{\lambda t}\

{\ displaystyle T (t) = T (0) și ^ {\ lambda t} \}

{\ displaystyle T (t) = T (0) și ^ {\ lambda t} \}

în timp ce pentru funcția spațială avem problema la limite:

\left\{{\begin{matrix}X''(x)-\lambda X(x)=0\\X(0)=X(1)=0\\\end{matrix}}\right.

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} X '' (x) - \ lambda X (x) = 0 \\ X (0) = X (1) = 0 \\\ end {matrix}} \ dreapta.}

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} X '' (x) - \ lambda X (x) = 0 \\ X (0) = X (1) = 0 \\\ end {matrix}} \ dreapta.}

Pentru a evita soluții banale trebuie să fie $\lambda <0$ ${\ displaystyle \ lambda <0}$ ${\ displaystyle \ lambda <0}$ , și integrând ecuația pe care o avem:

X(x)={\frac {X'(0)}{\sqrt {-\lambda }}}\sin({\sqrt {-\lambda }}x)+X(0)\cos({\sqrt {-\lambda }}x)

{\ displaystyle X (x) = {\ frac {X '(0)} {\ sqrt {- \ lambda}}} \ sin ({\ sqrt {- \ lambda}} x) + X (0) \ cos ( {\ sqrt {- \ lambda}} x)}

{\ displaystyle X (x) = {\ frac {X '(0)} {\ sqrt {- \ lambda}}} \ sin ({\ sqrt {- \ lambda}} x) + X (0) \ cos ( {\ sqrt {- \ lambda}} x)}

Condițiile de la margine asigură $X(0)=0$ ${\ displaystyle X (0) = 0}$ ${\ displaystyle X (0) = 0}$ , $X'(0)$ ${\ displaystyle X '(0)}$ ${\ displaystyle X '(0)}$ arbitrar e $\lambda =-n^{2}\pi ^{2}$ ${\ displaystyle \ lambda = -n ^ {2} \ pi ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ lambda = -n ^ {2} \ pi ^ {2}}$ . Reunind rezultatele obținute, este posibil să spunem că fiecare funcție a formei:

y_{n}(x,t)=c_{n}e^{-n^{2}\pi ^{2}t}\sin(n\pi x)

{\ displaystyle y_ {n} (x, t) = c_ {n} e ^ {- n ^ {2} \ pi ^ {2} t} \ sin (n \ pi x)}

{\ displaystyle y_ {n} (x, t) = c_ {n} e ^ {- n ^ {2} \ pi ^ {2} t} \ sin (n \ pi x)}

este formal soluția ecuației de pornire. Cu toate acestea, niciuna dintre funcțiile acestei clase nu satisface datele inițiale. Prin exploatarea liniarității ecuației, se construiește apoi o nouă soluție, combinație liniară a tuturor $y_{n}$ ${\ displaystyle y_ {n}}$ $y_ {n}$ :

y(x,t)=\sum \limits _{n=1}^{\infty }c_{n}e^{-n^{2}\pi ^{2}t}\sin(n\pi x)

{\ displaystyle y (x, t) = \ sum \ limits _ {n = 1} ^ {\ infty} c_ {n} e ^ {- n ^ {2} \ pi ^ {2} t} \ sin (n \ pi x)}

{\ displaystyle y (x, t) = \ sum \ limits _ {n = 1} ^ {\ infty} c_ {n} e ^ {- n ^ {2} \ pi ^ {2} t} \ sin (n \ pi x)}

Soluția găsită cu metoda de separare a variabilelor satisface baza inițială în sensul $L^{2}$ ${\ displaystyle L ^ {2}}$ $L ^ {2}$ . De fapt, dacă dezvoltăm baza inițială într-o serie Fourier și setăm i $c_{n}$ ${\ displaystyle c_ {n}}$ $c_ {n}$ a soluției egale cu coeficienții expansiunii Fourier a datei inițiale, obținem, grație inegalității Bessel , că $y(x,t)\longrightarrow x$ ${\ displaystyle y (x, t) \ longrightarrow x}$ ${\ displaystyle y (x, t) \ longrightarrow x}$ în ideea de $L^{2}$ ${\ displaystyle L ^ {2}}$ $L ^ {2}$ pentru t care tinde la zero.

În cele din urmă, pentru a demonstra că aceasta este singura soluție, putem continua cu metoda energiei . Înmulțim ecuația cu $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ stânga și dreapta și se integrează în părți din domeniul spațial, obținând:

{\frac {1}{2}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{0}^{1}y^{2}(x,t)\operatorname {d} x=-\int _{0}^{1}\left[{\partial y \over \partial x}(x,t)\right]^{2}\operatorname {d} x\leq 0

{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ int _ {0} ^ {1} y ^ {2} (x, t) \ operatorname {d} x = - \ int _ {0} ^ {1} \ left [{\ partial y \ over \ partial x} (x, t) \ right] ^ {2} \ operatorname {d} x \ leq 0}

{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ int _ {0} ^ {1} y ^ {2} (x, t) \ operatorname {d} x = - \ int _ {0} ^ {1} \ left [{\ partial y \ over \ partial x} (x, t) \ right] ^ {2} \ operatorname {d} x \ leq 0}

De aici cantitatea $\int _{0}^{1}y^{2}(x,t)\operatorname {d} x$ ${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} y ^ {2} (x, t) \ operatorname {d} x}$ ${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} y ^ {2} (x, t) \ operatorname {d} x}$ , care este identificabil cu energia sistemului, este pozitiv și descrescător. Dacă ar exista acum $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ Și $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ ambele soluții ale ecuației, apoi, prin linearitate, de asemenea $w=u-v$ ${\ displaystyle w = uv}$ ${\ displaystyle w = u-v}$ ar fi soluție, cu zero date limită și zero date inițiale. Dar apoi pentru $w$ ${\ displaystyle w}$ $w$ energia inițială este zero și, întrucât trebuie să fie pozitivă și descrescătoare, în fiecare moment de timp avem:

\int _{0}^{1}(u(x,t)-v(x,t))^{2}\operatorname {d} x=0

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} (u (x, t) -v (x, t)) ^ {2} \ operatorname {d} x = 0}

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} (u (x, t) -v (x, t)) ^ {2} \ operatorname {d} x = 0}

de la care $u=v$ ${\ displaystyle u = v}$ ${\ displaystyle u = v}$ pentru fiecare $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ și, prin urmare, soluția este unică.

Lungimea difuziei

În cazul difuziei unidimensionale cu condiția Dirichlet activată $u(0,0)$ ${\ displaystyle u (0,0)}$ ${\ displaystyle u (0,0)}$ soluția devine:

u\left(x,t\right)=u(0,0)\,\mathrm {erfc} \left({\begin{matrix}{\frac {x}{\sqrt {4Dt}}}\end{matrix}}\right)

{\ displaystyle u \ left (x, t \ right) = u (0,0) \, \ mathrm {erfc} \ left ({\ begin {matrix} {\ frac {x} {\ sqrt {4Dt}}} \ end {matrix}} \ right)}

{\ displaystyle u \ left (x, t \ right) = u (0,0) \, \ mathrm {erfc} \ left ({\ begin {matrix} {\ frac {x} {\ sqrt {4Dt}}} \ end {matrix}} \ right)}

.

unde erfc este funcția de eroare complementară . Măreția ${\sqrt {4Dt}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {4Dt}}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {4Dt}}}$ se numește lungime de difuzie ^[2] și oferă o măsură a cât de mult se poate propaga concentrația în direcția x în funcție de timpul t .