Condițiile la limita Dirichlet

În matematică , o condiție de graniță a lui Dirichlet , numită după matematicianul Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805–1859), este o condiție de graniță particulară impusă într-o ecuație diferențială , obișnuită sau parțială , care specifică valorile pe care trebuie să le ia soluția pe o suprafață , de exemplu $y=f(\mathbf {r} ,t)$ ${\ displaystyle y = f (\ mathbf {r}, t)}$ ${\ displaystyle y = f (\ mathbf {r}, t)}$ . ^[1]

Ecuații diferențiale ordinare

În cazul ecuațiilor diferențiale obișnuite din variabilă $y(x)$ ${\ displaystyle y (x)}$ $y (x)$ , dacă domeniul este definit (de tipul $[a,b]$ ${\ displaystyle [a, b]}$ $[a, b]$ ) condițiile la limita Dirichlet iau forma:

y(a)=\alpha _{1}

{\ displaystyle y (a) = \ alpha _ {1}}

{\ displaystyle y (a) = \ alpha _ {1}}

y(b)=\alpha _{2}

{\ displaystyle y (b) = \ alpha _ {2}}

{\ displaystyle y (b) = \ alpha _ {2}}

unde este $\alpha _{1}$ ${\ displaystyle \ alpha _ {1}}$ ${\ displaystyle \ alpha _ {1}}$ Și $\alpha _{2}$ ${\ displaystyle \ alpha _ {2}}$ ${\ displaystyle \ alpha _ {2}}$ sunt valori date de problemă.

Ecuații diferențiale parțiale

Același subiect în detaliu: problema Dirichlet .

În cazul unei ecuații diferențiale într-un domeniu $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ Omega \ subset \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ Omega \ subset \ mathbb {R} ^ {n}}$ , De exemplu:

\nabla ^{2}y+y=0

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} y + y = 0}

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} y + y = 0}

in care $\nabla ^{2}y$ ${\ displaystyle \ nabla ^ {2} y}$ ${\ displaystyle \ nabla ^ {2} y}$ denotă laplacianul din $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ , condiția ia forma:

y(x)=f(x)\quad \forall x\in \partial \Omega

{\ displaystyle y (x) = f (x) \ quad \ forall x \ in \ partial \ Omega}

{\ displaystyle y (x) = f (x) \ quad \ forall x \ in \ partial \ Omega}

unde este $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este o funcție cunoscută definită în $\partial \Omega$ ${\ displaystyle \ partial \ Omega}$ ${\ displaystyle \ partial \ Omega}$ , care este limita domeniului $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ .

Condițiile la limita Dirichlet sunt cele mai simple de înțeles, dar există multe alte combinații posibile, cum ar fi condițiile la limita Neumann , care impun valori pentru derivata soluției sau condițiile la limită mixte ( Robin și Cauchy , care sunt combinații ale celor două ).

Problema electrostaticelor în vid

Același subiect în detaliu: ecuația Laplace și câmpul electric .

Problema electrostaticii în vid este rezolvată de condițiile la limita Dirichlet dacă nu există sarcini izolate și câmpul electrostatic este generat de un set de conductori . În acest caz, ecuația Laplace pentru potențialul electric deține:

\nabla ^{2}V=0

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} V = 0}

\ nabla ^ {{2}} V = 0

presupunând ca o condiție de graniță că potențialul este zero la infinit și are valoarea de $V_{0i}$ ${\ displaystyle V_ {0i}}$ $V _ {{0i}}$ pe suprafața conductoarelor. Pornind de la potențialul din întregul spațiu, obținut prin rezolvarea ecuației Laplace, se obține câmpul electrostatic și este astfel posibil să se determine densitățile de sarcină de suprafață $\sigma _{i}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {i}}$ $\ sigma _ {i}$ pe dirijori folosind teorema lui Coulomb . ^[2] În cele din urmă, sarcina netă totală pe toți conductorii și coeficienții de capacitate pe aceștia pot fi găsiți prin sistem: ^[3]

{\begin{cases}Q_{1}=c_{11}V_{01}+c_{12}V_{02}+\ldots +c_{1n}V_{0n}\\Q_{2}=c_{21}V_{01}+c_{22}V_{02}+\ldots +c_{2n}V_{0n}\\\ldots \\\ldots \\Q_{n}=c_{n1}V_{01}+c_{n2}V_{02}+\ldots +c_{nn}V_{0n}\end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} Q_ {1} = c_ {11} V_ {01} + c_ {12} V_ {02} + \ ldots + c_ {1n} V_ {0n} \\ Q_ {2} = c_ {21} V_ {01} + c_ {22} V_ {02} + \ ldots + c_ {2n} V_ {0n} \\\ ldots \\\ ldots \\ Q_ {n} = c_ {n1} V_ { 01} + c_ {n2} V_ {02} + \ ldots + c_ {nn} V_ {0n} \ end {cases}}}

{\ begin {cases} Q_ {1} = c _ {{11}} V _ {{01}} + c _ {{12}} V _ {{02}} + \ ldots + c _ {{1n} } V _ {{0n}} \\ Q_ {2} = c _ {{21}} V _ {{01}} + c _ {{22}} V _ {{02}} + \ ldots + c _ {{2n}} V _ {{0n}} \\\ ldots \\\ ldots \\ Q_ {n} = c _ {{n1}} V _ {{01}} + c _ {{n2}} V _ {{02}} + \ ldots + c _ {{nn}} V _ {{0n}} \ end {cases}}

Notă

^ (EN) Eric W. Weisstein, Dirichlet Boundary Conditions , în MathWorld , Wolfram Research.
^ Mencuccini, Silvestrini , Pagina 108 .
^ Mencuccini, Silvestrini , pagina 109 .

Bibliografie

Haïm Brezis (1983), Analyze fonctionelle, théorie et applications , Paris, New York, 1983. ISBN 2-225-77198-7 .
Corrado Mencuccini, Vittorio Silvestrini , Physics II , Naples, Liguori Editore, 2010, ISBN 978-88-207-1633-2 .
( EN ) Cheng, A. și DT Cheng (2005). Patrimoniul și istoria timpurie a metodei elementului de graniță, Analiza inginerească cu elemente de graniță , 29 , 268-302.

Elemente conexe

Controlul autorității	Thesaurus BNCF 37802 · GND (DE) 4129762-3

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] (EN) Eric W. Weisstein, Dirichlet Boundary Conditions , în MathWorld , Wolfram Research.

[pot-2] Mencuccini, Silvestrini , Pagina 108 .

[cond-3] Mencuccini, Silvestrini , pagina 109 .

[1]

[2]

[3]