Condiții de graniță Cauchy

În matematică , o condiție de limită Cauchy, al cărei nume se datorează matematicii franceze Augustin-Louis Cauchy , este o condiție de limită utilizată în studiul ecuațiilor diferențiale, ecuație diferențială ordinară sau parțială , în care sunt date valoarea funcției necunoscute pe limitele domeniului de definiție a problemei diferențiale și valoarea derivatei sale direcționale normale la suprafața respectivă. Acest lucru corespunde impunerii atât a unei condiții limită Neumann, cât și a unei condiții limită Dirichlet .

Într-o ecuație diferențială obișnuită de ordinul doi, pentru a avea o soluție specială trebuie specificată valoarea funcției necunoscute și a derivatei acesteia la un punct dat $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ inițială sau limită a domeniului de definiție a ecuației:

y(a)=\alpha \qquad y'(a)=\beta

{\ displaystyle y (a) = \ alpha \ qquad y '(a) = \ beta}

{\ displaystyle y (a) = \ alpha \ qquad y '(a) = \ beta}

Condițiile la limita Cauchy generalizează acest tip de setare. Scrierea derivatelor parțiale ca:

u_{x}={\partial u \over \partial x}\qquad u_{xy}={\partial ^{2}u \over \partial y\,\partial x}

{\ displaystyle u_ {x} = {\ partial u \ over \ partial x} \ qquad u_ {xy} = {\ partial ^ {2} u \ over \ partial y \, \ partial x}}

{\ displaystyle u_ {x} = {\ partial u \ over \ partial x} \ qquad u_ {xy} = {\ partial ^ {2} u \ over \ partial y \, \ partial x}}

și luând în considerare o ecuație diferențială parțială (PDE) de tipul:

\psi _{xx}+\psi _{yy}=\psi (x,y)

{\ displaystyle \ psi _ {xx} + \ psi _ {yy} = \ psi (x, y)}

{\ displaystyle \ psi _ {xx} + \ psi _ {yy} = \ psi (x, y)}

avem un domeniu bidimensional a cărui graniță este o linie parametrizată de:

x=\xi (s)\qquad y=\eta (s)

{\ displaystyle x = \ xi (s) \ qquad y = \ eta (s)}

{\ displaystyle x = \ xi (s) \ qquad y = \ eta (s)}

În mod similar cu cazul ecuației ordinare de ordinul doi, la fiecare punct al limitei domeniului PDE trebuie să se cunoască valoarea funcției $\psi (s)$ ${\ displaystyle \ psi (s)}$ ${\ displaystyle \ psi (s)}$ și derivatul său normal la graniță:

{\frac {d\psi }{dn}}(s)=\mathbf {n} \cdot \nabla \psi

{\ displaystyle {\ frac {d \ psi} {dn}} (s) = \ mathbf {n} \ cdot \ nabla \ psi}

{\ displaystyle {\ frac {d \ psi} {dn}} (s) = \ mathbf {n} \ cdot \ nabla \ psi}

unde este $\nabla \psi (s)\,$ ${\ displaystyle \ nabla \ psi (s) \,}$ ${\ displaystyle \ nabla \ psi (s) \,}$ este gradientul . De obicei parametrul $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ este timpul.

Bibliografie

(EN) Cooper, Jeffery M. Introducere în ecuațiile diferențiale parțiale cu MATLAB. ISBN 0-8176-3967-5
( EN ) Morse, PM și Feshbach, H. Metode de fizică teoretică, Partea I. New York: McGraw-Hill, pp. 678-679, 1953.

Elemente conexe

linkuri externe

(EN) Eric W. Weisstein, Cauchy Boundary Conditions in MathWorld Wolfram Research.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică