Teorema lui Coulomb

În fizică , teorema lui Coulomb ^[1] privind electrostatica este o relație care permite determinarea intensității câmpului electric lângă suprafața unui corp conducător cunoscând densitatea sarcinii în acel punct. Prin urmare, permite calcularea câmpului electric în apropierea suprafeței odată ce densitatea cu care sunt distribuite sarcinile este cunoscută. Rezultatul este că câmpul electric este uniform lângă suprafață, perpendicular pe acesta din urmă și cu o intensitate proporțională cu densitatea de încărcare a suprafeței.

Sarcina în exces pe suprafața unui conductor tinde să se îngroașe în punctele de curbură maximă a suprafeței (adică a celei mai mici raze de curbură) și, în special, pe vârfuri. Cu termenul de putere de dispersie a vârfurilor, se înțelege că, acolo unde densitatea sarcinii este foarte intensă, câmpul electric este capabil să accelereze ionii prezenți în aer pentru a genera șocuri care produc noi ioni ( vânt electric ).

Enunțarea teoremei

Având în vedere un corp conductor a cărui suprafață este caracterizată de o densitate a sarcinii de suprafață $\sigma$ ${\ displaystyle \ sigma}$ $\ sigma$ , câmpul electric produs lângă suprafață este:

\mathbf {E} =-{\frac {{\partial }V}{{\partial }n}}={\frac {\sigma }{\varepsilon _{0}}}{\hat {\mathbf {n} }}

{\ displaystyle \ mathbf {E} = - {\ frac {{\ partial} V} {{\ partial} n}} = {\ frac {\ sigma} {\ varepsilon _ {0}}} {\ hat {\ mathbf {n}}}}

{\ displaystyle \ mathbf {E} = - {\ frac {{\ partial} V} {{\ partial} n}} = {\ frac {\ sigma} {\ varepsilon _ {0}}} {\ hat {\ mathbf {n}}}}

unde este $\varepsilon _{0}$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {0}}$ $\ varepsilon_0$ este constanta dielectrică a vidului și ${\hat {\mathbf {n} }}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {n}}}}$ $\ hat \ mathbf n$ este vectorul unitar normal la suprafața conductorului.

Demonstrație

Dovada teoremei lui Coulomb

Luați în considerare o sferă tangentă la suprafața conductorului; apoi luați un punct cu o apropiere de suprafața însăși în funcție de raportul dintre raza de curbură și distanța de la centru.

Direcția câmpului electric este strict radială, deoarece prezența unui câmp electric tangențial ar muta sarcinile, o condiție care ar invalida ipoteza. Această deducție se obține și din relația dintre câmp și potențialul său: la fel ca într-o linie închisă, într-un conductor diferența de potențial și, prin urmare, circulația , între două puncte este întotdeauna zero, componenta tangențială a $\mathbf {E}$ ${\ displaystyle \ mathbf {E}}$ $\ mathbf E$ , la fel de $\mathbf {E} =-\mathbf {\nabla } V$ ${\ displaystyle \ mathbf {E} = - \ mathbf {\ nabla} V}$ $\ mathbf E = - \ mathbf \ nabla V$ (schimbarea potențialului este zero ).

Cunoscând caracteristicile vectoriale, se poate aplica teorema lui Gauss . Luați în considerare un cilindru cu o bază $d s$ ${\ displaystyle ds}$ $ds$ paralel infinitesimal cu conductorul și în grosime $d h$ ${\ displaystyle dh}$ $dh$ și calculați fluxul câmpului electric pe această suprafață. Din natura vectorială a câmpului se poate observa că singura contribuție la flux este aceea prin bază $d s$ ${\ displaystyle ds}$ $ds$ . Prin urmare, luând în considerare $\sigma ds$ ${\ displaystyle \ sigma ds}$ $\ sigma ds$ valoarea încărcăturii distribuite pe porțiunea de suprafață $d s$ ${\ displaystyle ds}$ $ds$ :

\Phi =\mathbf {E} \cdot d\mathbf {s} ={\frac {\sigma ds}{\varepsilon _{0}}}

{\ displaystyle \ Phi = \ mathbf {E} \ cdot d \ mathbf {s} = {\ frac {\ sigma ds} {\ varepsilon _ {0}}}}

{\ displaystyle \ Phi = \ mathbf {E} \ cdot d \ mathbf {s} = {\ frac {\ sigma ds} {\ varepsilon _ {0}}}}

din care obținem:

\mathbf {E} ={\frac {\sigma }{\varepsilon _{0}}}{\hat {\mathbf {n} }}

{\ displaystyle \ mathbf {E} = {\ frac {\ sigma} {\ varepsilon _ {0}}} {\ hat {\ mathbf {n}}}}

\ mathbf E = \ frac {\ sigma} {\ varepsilon_0} \ hat \ mathbf n

Notă

^ Uneori, în domeniul popularizării științifice, precum și în multe manuale, această expresie este utilizată pentru a indica legea circuitelor câmpului electric , atribuind lui Coulomb descoperirea faptului că cel electric era o forță conservatoare .

Bibliografie

S. Focardi, I. Massa, A. Uguzzoni, Fizică generală - Electromagnetism , Editura Ambrosiana, 1910, pp. 85-86.
( EN ) Hubert H. Girault, Electrochimie analitică și fizică , EPFL Press, 2004

Elemente conexe

Portalul electromagnetismului : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de electromagnetism

[1] Uneori, în domeniul popularizării științifice, precum și în multe manuale, această expresie este utilizată pentru a indica legea circuitelor câmpului electric , atribuind lui Coulomb descoperirea faptului că cel electric era o forță conservatoare .

[1]