Transformarea Weierstrass

În matematică , transformata Weierstrass ^[1] este o transformare integrală a unei funcții $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}$ $f: {\ mathbb {R}} \ to {\ mathbb {R}}$ , care își datorează numele matematicianului german Karl Weierstrass . Transformarea este intuitiv o versiune „directă” a $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ , obținut prin media valorii $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ și cântărirea cu o funcție gaussiană centrată în $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ .

Graficul unei funcții

f(x)

{\ displaystyle f (x)}

f (x)

(în negru) și transformarea sa generalizată Weierstrass pentru 5 valori ale parametrului

t

{\ displaystyle t}

t

. Transformarea standard Weierstrass

F(x)

{\ displaystyle F (x)}

F (x)

este dat întâmplător

t=1

{\ displaystyle t = 1}

t = 1

(în verde)

Formularea matematică

Mai exact, este funcția $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ definit de

F(x)={\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(y)\;e^{-{\frac {(x-y)^{2}}{4}}}\;dy={\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(x-y)\;e^{-{\frac {y^{2}}{4}}}\;dy~,

{\ displaystyle F (x) = {\ frac {1} {\ sqrt {4 \ pi}}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (y) \; e ^ {- {\ frac {(xy) ^ {2}} {4}}} \; dy = {\ frac {1} {\ sqrt {4 \ pi}}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (xy ) \; e ^ {- {\ frac {y ^ {2}} {4}}} \; dy ~,}

{\ displaystyle F (x) = {\ frac {1} {\ sqrt {4 \ pi}}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (y) \; e ^ {- {\ frac {(xy) ^ {2}} {4}}} \; dy = {\ frac {1} {\ sqrt {4 \ pi}}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (xy ) \; e ^ {- {\ frac {y ^ {2}} {4}}} \; dy ~,}

care este convoluția $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ cu funcția gaussiană

{\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}e^{-x^{2}/4}~.

{\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {4 \ pi}}} și ^ {- x ^ {2} / 4} ~.}

{\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {4 \ pi}}} și ^ {- x ^ {2} / 4} ~.}

Factorul $1/{\sqrt {4\pi }}$ ${\ displaystyle 1 / {\ sqrt {4 \ pi}}}$ ${\ displaystyle 1 / {\ sqrt {4 \ pi}}}$ este ales astfel încât integralul lui Gauss să fie 1, astfel încât funcțiile constante să nu fie modificate de transformata Weierstrass.

In loc de $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ , adesea indicat cu $W[f](x)$ ${\ displaystyle W [f] (x)}$ ${\ displaystyle W [f] (x)}$ . Trebuie remarcat faptul că, întrucât integrala poate să nu convergă, aceasta nu înseamnă neapărat asta $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ este definit pentru orice număr real $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ .

Transformata Weierstrass este strâns legată de ecuația căldurii (sau, echivalent, de ecuația de difuzie cu coeficient de difuzie constant). Dacă funcția $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ descrie temperatura inițială în fiecare punct al unei bare infinit de lungi cu conductivitate termică constantă egală cu 1, apoi distribuția temperaturii la $t=1$ ${\ displaystyle t = 1}$ $t = 1$ va fi dat de funcție $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ . Folosind valori de $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ diferit de 1, putem defini transformarea Weierstrass generalizată a $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ .

Transformata Weierstrass generalizată oferă un instrument pentru o aproximare arbitrară bună a unei funcții integrabile date $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ cu funcții analitice .

Numele

Weierstrass a folosit transformarea în dovada sa originală ateoremei de aproximare Weierstrass . Este, de asemenea, cunoscut sub numele de transformarea Gauss - Weierstrass , de Carl Friedrich Gauss , și transformarea Hille , de Einar Hille, care a studiat-o pe larg. Generalizarea transformărilor $W_{t}$ ${\ displaystyle W_ {t}}$ $W_ {t}$ este cunoscut în analiza semnalului ca filtru gaussian și în procesarea imaginilor (atunci când este realizat în $\mathbb {R} ^{2}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ $\ mathbb {R} ^ 2$ ) ca o estompare gaussiană („ gaussian blur ” în engleză).

Am transformat câteva funcții importante

După cum sa menționat mai devreme, fiecare funcție constantă este propria transformare. Transformata Weierstrass a oricărui polinom este un polinom de același grad și cu același coeficient director, lăsând astfel neschimbată creșterea asimptotică . În special, dacă $H^{n}$ ${\ displaystyle H ^ {n}}$ ${\ displaystyle H ^ {n}}$ denotă polinomul fizic hermit de grad $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ , apoi transformarea Weirstrass a $H^{n}(x/2)$ ${\ displaystyle H ^ {n} (x / 2)}$ ${\ displaystyle H ^ {n} (x / 2)}$ este pur și simplu $x^{n}$ ${\ displaystyle x ^ {n}}$ $x ^ {n}$ . Acest lucru poate fi demonstrat prin exploatarea faptului că funcția generatoare a polinoamelor hermite este strâns legată de nucleul gaussian utilizat în definiția transformatei Weierstrass.

Transformarea Weierstrass a funcției $e^{ax}$ ${\ displaystyle e ^ {ax}}$ ${\ displaystyle e ^ {ax}}$ , unde este $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ este o constantă arbitrară, este $e^{a^{2}}e^{ax}$ ${\ displaystyle e ^ {a ^ {2}} e ^ {ax}}$ ${\ displaystyle e ^ {a ^ {2}} e ^ {ax}}$ . Functia $e^{ax}$ ${\ displaystyle e ^ {ax}}$ ${\ displaystyle e ^ {ax}}$ este deci o funcție proprie a transformatei Weierstrass (acest lucru, de fapt, este mai general adevărat pentru orice transformare convolutivă).

Prin înlocuire $a=bi$ ${\ displaystyle a = bi}$ ${\ displaystyle a = bi}$ , unde este $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ este unitatea imaginară și aplicând identitatea lui Euler , vedem că transformarea Weierstrass a funcției $\cos(bx)$ ${\ displaystyle \ cos (bx)}$ ${\ displaystyle \ cos (bx)}$ Și $e^{-b^{2}}\cos(bx)$ ${\ displaystyle e ^ {- b ^ {2}} \ cos (bx)}$ ${\ displaystyle e ^ {- b ^ {2}} \ cos (bx)}$ și funcție $\sin(bx)$ ${\ displaystyle \ sin (bx)}$ ${\ displaystyle \ sin (bx)}$ Și $e^{-b^{2}}\sin(bx)$ ${\ displaystyle e ^ {- b ^ {2}} \ sin (bx)}$ ${\ displaystyle e ^ {- b ^ {2}} \ sin (bx)}$ .

Transformarea Weierstrass a funcției $e^{ax^{2}}$ ${\ displaystyle e ^ {ax ^ {2}}}$ ${\ displaystyle e ^ {ax ^ {2}}}$ Și

{\frac {1}{\sqrt {1-4a}}}e^{\frac {ax^{2}}{1-4a}}

{\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {1-4a}}} și ^ {\ frac {ax ^ {2}} {1-4a}}}

{\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {1-4a}}} și ^ {\ frac {ax ^ {2}} {1-4a}}}

de sine

a<1/4

{\ displaystyle a <1/4}

{\ displaystyle a <1/4}

și nu este definit dacă

a\geq 1/4

{\ displaystyle a \ geq 1/4}

{\ displaystyle a \ geq 1/4}

.

În special, alegând $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ negativ, este evident că transformarea Weierstrass a unei funcții gaussiene este încă gaussiană, dar „mai mare”.

Proprietăți generale

Transformarea Weierstrass atribuie fiecărei funcții $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ o caracteristică nouă $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ într-un mod liniar . De asemenea, este invariant sub traducere, adică transformarea funcției $f(x+a)$ ${\ displaystyle f (x + a)}$ ${\ displaystyle f (x + a)}$ Și $F(x+a)$ ${\ displaystyle F (x + a)}$ ${\ displaystyle F (x + a)}$ . Ambele proprietăți sunt, în general, adevărate pentru orice transformare integrală construită prin convoluție.

Dacă cei transformați $F(x)$ ${\ displaystyle F (x)}$ $F (x)$ există pentru numere reale $x=a$ ${\ displaystyle x = a}$ $x = a$ Și $x=b$ ${\ displaystyle x = b}$ ${\ displaystyle x = b}$ , atunci există pentru fiecare valoare dintre ele și formează o funcție analitică . În plus, $F(x)$ ${\ displaystyle F (x)}$ $F (x)$ există pentru toate numerele complexe cu $a\leq \Re (x)\leq b$ ${\ displaystyle a \ leq \ Re (x) \ leq b}$ ${\ displaystyle a \ leq \ Re (x) \ leq b}$ iar pe această bandă este o funcție holomorfă . Aceasta este definiția formală a "netezimii" $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ menționat mai sus.

De sine $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ poate fi integrat pe întreaga axă reală (cu alte cuvinte, $f\in L^{1}(\mathbb {R} )$ ${\ displaystyle f \ în L ^ {1} (\ mathbb {R})}$ ${\ displaystyle f \ în L ^ {1} (\ mathbb {R})}$ ), atunci transformarea lui Weierstrass este și ea $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ . Dacă în plus $f(x)\geq 0$ ${\ displaystyle f (x) \ geq 0}$ ${\ displaystyle f (x) \ geq 0}$ pentru fiecare $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ , asa de $F(x)\geq 0$ ${\ displaystyle F (x) \ geq 0}$ ${\ displaystyle F (x) \ geq 0}$ pretutindeni și integralele $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ Și $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ sunt egali. Acest lucru exprimă faptul că energia termică totală este conservată prin ecuația căldurii sau că cantitatea totală de material difuz este conservată prin ecuația difuziei.

Se poate arăta că pentru ${\displaystyle 0<semantics><mrow class=$ ${\ displaystyle 0 <p \ leq \ infty}$ ${\ displaystyle 0 <p \ leq \ infty}$ Și $f\in L^{p}(\mathbb {R} )$ ${\ displaystyle f \ în L ^ {p} (\ mathbb {R})}$ ${\ displaystyle f \ în L ^ {p} (\ mathbb {R})}$ , da $F\in L^{p}(\mathbb {R} )$ ${\ displaystyle F \ în L ^ {p} (\ mathbb {R})}$ ${\ displaystyle F \ în L ^ {p} (\ mathbb {R})}$ Și $||F||_{p}\leq ||f||_{p}$ ${\ displaystyle || F || _ {p} \ leq || f || _ {p}}$ ${\ displaystyle || F || _ {p} \ leq || f || _ {p}}$ . În consecință, transformata Weierstrass constituie un operator mărginit $W:L^{p}(\mathbb {R} )\to L^{p}(\mathbb {R} )$ ${\ displaystyle W: L ^ {p} (\ mathbb {R}) \ to L ^ {p} (\ mathbb {R})}$ ${\ displaystyle W: L ^ {p} (\ mathbb {R}) \ to L ^ {p} (\ mathbb {R})}$ .

De sine $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este suficient de netedă, apoi transformata Weierstrass a derivatei k-a lui $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este egal cu derivata k-a transformatei Weierstrass a $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ .

Există o formulă care leagă transformata Weierstrass $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ și transforma bilaterală Laplace $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ . Dacă definiți

g(x)=e^{-{\frac {x^{2}}{4}}}f(x)

{\ displaystyle g (x) = e ^ {- {\ frac {x ^ {2}} {4}}} f (x)}

{\ displaystyle g (x) = e ^ {- {\ frac {x ^ {2}} {4}}} f (x)}

asa de

W[f](x)={\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}e^{-x^{2}/4}L[g]\left(-{\frac {x}{2}}\right).

{\ displaystyle W [f] (x) = {\ frac {1} {\ sqrt {4 \ pi}}} e ^ {- x ^ {2} / 4} L [g] \ left (- {\ frac {x} {2}} \ dreapta).}

{\ displaystyle W [f] (x) = {\ frac {1} {\ sqrt {4 \ pi}}} e ^ {- x ^ {2} / 4} L [g] \ left (- {\ frac {x} {2}} \ dreapta).}

Filtru trece jos

Am văzut mai sus că transformarea Weierstrass a $\cos(bx)$ ${\ displaystyle \ cos (bx)}$ ${\ displaystyle \ cos (bx)}$ Și $e^{-b^{2}}\cos(bx)$ ${\ displaystyle e ^ {- b ^ {2}} \ cos (bx)}$ ${\ displaystyle e ^ {- b ^ {2}} \ cos (bx)}$ și în mod similar pentru $\sin(bx)$ ${\ displaystyle \ sin (bx)}$ ${\ displaystyle \ sin (bx)}$ . În ceea ce privește analiza semnalului , acest lucru sugerează că dacă semnalul $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ conține frecvența $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ (adică conține un addendum care este o combinație de $\sin(bx)$ ${\ displaystyle \ sin (bx)}$ ${\ displaystyle \ sin (bx)}$ Și $\cos(bx)$ ${\ displaystyle \ cos (bx)}$ ${\ displaystyle \ cos (bx)}$ ), apoi semnalul transformat $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ conține aceeași frecvență, dar cu o amplitudine redusă cu un factor $e^{-b^{2}}$ ${\ displaystyle e ^ {- b ^ {2}}}$ ${\ displaystyle e ^ {- b ^ {2}}}$ . Aceasta are consecința că frecvențele mai mari sunt reduse mult mai mult decât cele inferioare, iar transformata Weierstrass acționează astfel ca un filtru trece-jos . Același rezultat se obține și prin transformata Fourier . De fapt, transformata Fourier analizează un semnal în ceea ce privește frecvența sa, transformă circumvoluțiile în produse, iar gaussienii în gaussieni. Transformata Weierstrass este convoluția cu funcție gaussiană și, prin urmare, este „multiplicarea” semnalului transformat Fourier cu un Gaussian, urmată de aplicarea transformatei Fourier inversă. Această înmulțire cu un Gaussian în spațiul de frecvență atenuează frecvențele înalte, care este un alt mod de a descrie proprietatea „netezime” a transformatei Weierstrass.

Transformarea inversă

Următoarea formulă, strâns legată de transformata Laplace a funcției gaussiene și interpretabilă ca o versiune reală a transformării Hubbard-Stratonovich, este relativ simplă de demonstrat:

e^{u^{2}}={\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-uy}e^{-y^{2}/4}\;dy.

{\ displaystyle e ^ {u ^ {2}} = {\ frac {1} {\ sqrt {4 \ pi}}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- uy} e ^ {-y ^ {2} / 4} \; dy.}

{\ displaystyle e ^ {u ^ {2}} = {\ frac {1} {\ sqrt {4 \ pi}}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- uy} e ^ {-y ^ {2} / 4} \; dy.}

Acum înlocuiți-l $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ cu operatorul de diferențiere formală $D=d/dx$ ${\ displaystyle D = d / dx}$ ${\ displaystyle D = d / dx}$ și utilizați operatorul de schimbare Lagrange

e^{-yD}f(x)=f(x-y)

{\ displaystyle e ^ {- yD} f (x) = f (xy)}

{\ displaystyle e ^ {- yD} f (x) = f (x-y)}

,

această ultimă consecință a seriei Taylor și a definiției funcției exponențiale , de obținut

{\begin{aligned}e^{D^{2}}f(x)&={\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-yD}f(x)e^{-y^{2}/4}\;dy\\&={\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(x-y)e^{-y^{2}/4}\;dy=W[f](x)\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} e ^ {D ^ {2}} f (x) & = {\ frac {1} {\ sqrt {4 \ pi}}} \ int _ {- \ infty} ^ { \ infty} e ^ {- yD} f (x) e ^ {- y ^ {2} / 4} \; dy \\ & = {\ frac {1} {\ sqrt {4 \ pi}}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (xy) e ^ {- y ^ {2} / 4} \; dy = W [f] (x) \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} e ^ {D ^ {2}} f (x) & = {\ frac {1} {\ sqrt {4 \ pi}}} \ int _ {- \ infty} ^ { \ infty} e ^ {- yD} f (x) e ^ {- y ^ {2} / 4} \; dy \\ & = {\ frac {1} {\ sqrt {4 \ pi}}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (xy) e ^ {- y ^ {2} / 4} \; dy = W [f] (x) \ end {align}}}

și apoi derivă următoarea expresie formală pentru transformata Weierstrass $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ ,

W=e^{D^{2}}~,

{\ displaystyle W = e ^ {D ^ {2}} ~,}

{\ displaystyle W = e ^ {D ^ {2}} ~,}

unde acțiunea operatorului din dreapta asupra unei funcții $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ ar trebui interpretat ca

e^{D^{2}}f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {D^{2k}f(x)}{k!}}~.

{\ displaystyle e ^ {D ^ {2}} f (x) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {D ^ {2k} f (x)} {k!}} ~ .}

{\ displaystyle e ^ {D ^ {2}} f (x) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {D ^ {2k} f (x)} {k!}} ~ .}

Derivarea formală anterioară glosează detaliile convergenței și formula $W=e^{D^{2}}$ ${\ displaystyle W = e ^ {D ^ {2}}}$ ${\ displaystyle W = e ^ {D ^ {2}}}$ nu este universal valabil; există multe funcții $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ care au o transformare Weierstrass bine definită, dar pentru care $e^{D^{2}}f(x)$ ${\ displaystyle e ^ {D ^ {2}} f (x)}$ ${\ displaystyle e ^ {D ^ {2}} f (x)}$ nu exista.

Cu toate acestea, regula este încă utilă și poate fi, de exemplu, utilizată pentru a obține transformatele Weierstrass ale funcțiilor polinomiale, exponențiale și trigonometrice descrise mai sus.

Inversul formal al transformării Weierstrass este, prin urmare, dat de

W^{-1}=e^{-D^{2}}~.

{\ displaystyle W ^ {- 1} = e ^ {- D ^ {2}} ~.}

{\ displaystyle W ^ {- 1} = e ^ {- D ^ {2}} ~.}

Din nou, această formulă nu este în general valabilă, dar poate servi drept ghid. Se poate arăta că este valabil pentru anumite clase de funcții dacă operatorul potrivit este definit corect. ^[2]

Alternativ, putem încerca să inversăm transformata Weierstrass într-un mod ușor diferit: dată fiind o funcție analitică

F(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}~,

{\ displaystyle F (x) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} x ^ {n} ~,}

{\ displaystyle F (x) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} x ^ {n} ~,}

punerea în aplicare $W^{-1}$ ${\ displaystyle W ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle W ^ {- 1}}$ primesti

f(x)=W^{-1}[F(x)]=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}W^{-1}[x^{n}]=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}H_{n}(x/2)

{\ displaystyle f (x) = W ^ {- 1} [F (x)] = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} W ^ {- 1} [x ^ {n} ] = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} H_ {n} (x / 2)}

{\ displaystyle f (x) = W ^ {- 1} [F (x)] = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} W ^ {- 1} [x ^ {n} ] = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} H_ {n} (x / 2)}

folosind proprietatea polinoamelor fizice Hermite $H^{n}$ ${\ displaystyle H ^ {n}}$ ${\ displaystyle H ^ {n}}$ .

Din nou, această formulă pentru $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ este formal în cel mai bun caz, deoarece seria finală nu a fost verificată pentru a converge. Dar dacă, de exemplu, $f\in L^{2}(\mathbb {R} )$ ${\ displaystyle f \ în L ^ {2} (\ mathbb {R})}$ ${\ displaystyle f \ în L ^ {2} (\ mathbb {R})}$ , apoi cunoașterea tuturor derivatelor din $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ în $x=0$ ${\ displaystyle x = 0}$ $x = 0$ este suficient pentru a obține coeficienții $a_{n}$ ${\ displaystyle a_ {n}}$ $a_ {n}$ , și reconstruiți $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ ca o serie de polinoame hermite.

O altă metodă de inversare a transformatei Weierstrass exploatează relația sa cu transformata Laplace descrisă mai sus și formula de inversiune binecunoscută pentru ultima transformare. Rezultatul este prezentat mai jos pentru distribuții.

Generalizări

Se poate folosi convoluția cu nucleul Gaussian ${\frac {1}{\sqrt {4\pi t}}}e^{-{\frac {x^{2}}{4t}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {4 \ pi t}}} e ^ {- {\ frac {x ^ {2}} {4t}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {4 \ pi t}}} e ^ {- {\ frac {x ^ {2}} {4t}}}}$ (cu $t>0$ ${\ displaystyle t> 0}$ ${\ displaystyle t> 0}$ ) pentru a defini transformata Weierstrass generalizată $W_{t}$ ${\ displaystyle W_ {t}}$ $W_ {t}$ .

Pentru valori mici de $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ , $W_{t}[f]$ ${\ displaystyle W_ {t} [f]}$ ${\ displaystyle W_ {t} [f]}$ este foarte aproape de $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ , dar netedă. Cu cât este mai mare $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ , cu cât acest operator este mai mediu și variază funcția $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ . Fizic, $W_{t}$ ${\ displaystyle W_ {t}}$ $W_ {t}$ corespunde urmăririi ecuației căldurii (sau difuziei) pentru $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ unități de timp. Întrucât acest lucru este aditiv atunci

W_{s}\circ W_{t}=W_{s+t},

{\ displaystyle W_ {s} \ circ W_ {t} = W_ {s + t},}

{\ displaystyle W_ {s} \ circ W_ {t} = W_ {s + t},}

care corespunde „răspândirii pentru $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ unitate, și după pentru $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ unitate, este echivalent cu răspândirea pentru $s+t$ ${\ displaystyle s + t}$ ${\ displaystyle s + t}$ Poate fi extins și la $t=0$ ${\ displaystyle t = 0}$ $t = 0$ definire $W_{0}$ ${\ displaystyle W_ {0}}$ ${\ displaystyle W_ {0}}$ ca operator de identitate (adică convoluția cu funcția delta Dirac ), astfel încât să formeze un semigrup de operatori.

Nucleul ${\frac {1}{\sqrt {4\pi t}}}e^{-{\frac {x^{2}}{4t}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {4 \ pi t}}} e ^ {- {\ frac {x ^ {2}} {4t}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {4 \ pi t}}} e ^ {- {\ frac {x ^ {2}} {4t}}}}$ folosit pentru transformarea Weierstrass generalizată este adesea numit nucleul Gauss - Weierstrass și este funcția verde pentru ecuația de difuzie $(\partial _{t}-D^{2})(e^{tD^{2}}f(x))=0$ ${\ displaystyle (\ partial _ {t} -D ^ {2}) (e ^ {tD ^ {2}} f (x)) = 0}$ ${\ displaystyle (\ partial _ {t} -D ^ {2}) (e ^ {tD ^ {2}} f (x)) = 0}$ pe $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ .

Se poate calcula $W_{t}$ ${\ displaystyle W_ {t}}$ $W_ {t}$ din $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ : de fapt, dată o funcție $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ , este definită o nouă funcție $f_{t}(x)=f(x{\sqrt {t}})$ ${\ displaystyle f_ {t} (x) = f (x {\ sqrt {t}})}$ ${\ displaystyle f_ {t} (x) = f (x {\ sqrt {t}})}$ . Atunci $W_{t}[f](x)=W[f_{t}](x/{\sqrt {t}})$ ${\ displaystyle W_ {t} [f] (x) = W [f_ {t}] (x / {\ sqrt {t}})}$ ${\ displaystyle W_ {t} [f] (x) = W [f_ {t}] (x / {\ sqrt {t}})}$ , ca o consecință a integrării prin substituție .

Transformata Weierstrass poate fi definită și pentru anumite clase de distribuții sau „funcții generalizate”. ^[3] De exemplu, transformarea deltei Dirac este funcția Gaussiană ${\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}e^{-x^{2}/4}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {4 \ pi}}} e ^ {- x ^ {2} / 4}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {4 \ pi}}} e ^ {- x ^ {2} / 4}}$ .

În acest context, de exemplu, se pot demonstra formule riguroase de inversare

f(x)=\lim _{r\to \infty }{\frac {1}{i{\sqrt {4\pi }}}}\int _{x_{0}-ir}^{x_{0}+ir}F(z)e^{\frac {(x-z)^{2}}{4}}\;dz

{\ displaystyle f (x) = \ lim _ {r \ to \ infty} {\ frac {1} {i {\ sqrt {4 \ pi}}}} \ int _ {x_ {0} -ir} ^ { x_ {0} + ir} F (z) e ^ {\ frac {(xz) ^ {2}} {4}} \; dz}

{\ displaystyle f (x) = \ lim _ {r \ to \ infty} {\ frac {1} {i {\ sqrt {4 \ pi}}}} \ int _ {x_ {0} -ir} ^ { x_ {0} + ir} F (z) e ^ {\ frac {(xz) ^ {2}} {4}} \; dz}

unde este $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ este orice număr real fix pentru care $F(x_{0})$ ${\ displaystyle F (x_ {0})}$ ${\ displaystyle F (x_ {0})}$ există, integralul se extinde de-a lungul liniei verticale în planul complex cu partea reală $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ , iar limita este luată în sensul distribuțiilor.

Transformarea Weierstrass poate fi definită și pentru funcții (sau distribuții) cu valoare reală (sau complexă) pe $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ . Folosim aceeași formulă de convoluție ca înainte, dar extindem integralul peste tot $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ iar expresia este interpretată $(x-y)^{2}$ ${\ displaystyle (xy) ^ {2}}$ ${\ displaystyle (x-y) ^ {2}}$ ca pătratul lungimii euclidiene a vectorului $x-y$ ${\ displaystyle xy}$ $X y$ . În plus, factorul din fața integralei trebuie ajustat astfel încât Gaussian să aibă integral 1.

În general, transformata Weierstrass poate fi definită pe orice varietate riemanniană : ecuația căldurii este definită folosind operatorul Laplace-Beltrami și transformata Weierstrass $W[f]$ ${\ displaystyle W [f]}$ ${\ displaystyle W [f]}$ se obține urmărind soluția ecuației pentru o unitate de timp, pornind de la distribuția inițială a temperaturii $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ .

Transformă conectat

Dacă luăm în considerare convoluția cu nucleul $1/(\pi (1+x^{2}))$ ${\ displaystyle 1 / (\ pi (1 + x ^ {2}))}$ ${\ displaystyle 1 / (\ pi (1 + x ^ {2}))}$ în loc de cea gaussiană, obținem transformata Poisson , care netezește și calculează în medie o funcție dată într-un mod similar cu transformata Weierstrass.

Notă

^ Ahmed I. Zayed, Manual de funcții și transformări de funcții generalizate , capitolul 18. CRC Press, 1996.
^ GG Bilodeau, „ Transformarea Weierstrass și polinomii hermite ”. Duke Mathematical Journal 29 (1962), p. 293-308
^ Yu A. Brychkov, AP Prudnikov. Transformări integrale ale funcțiilor generalizate , capitolul 5. CRC Press, 1989

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Ahmed I. Zayed, Manual de funcții și transformări de funcții generalizate , capitolul 18. CRC Press, 1996.

[2] GG Bilodeau, „ Transformarea Weierstrass și polinomii hermite ”. Duke Mathematical Journal 29 (1962), p. 293-308

[3] Yu A. Brychkov, AP Prudnikov. Transformări integrale ale funcțiilor generalizate , capitolul 5. CRC Press, 1989

[1]

[2]

[3]