Funcția lui Green

În analiza funcțională , funcția Green asociată cu o funcție liniară a operatorului diferențial este intrarea operatorului care produce răspuns la impulsul elementar (delta Dirac).

În practică, aceasta înseamnă că dacă $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ este un operator diferențial liniar, apoi funcția lui Green $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ este soluția ecuației $LG=\delta$ ${\ displaystyle LG = \ delta}$ ${\ displaystyle LG = \ delta}$ , unde este $\delta$ ${\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ este funcția delta Dirac.

Numele provine de la matematicianul și fizicianul britanic George Green (14 iulie 1793 - 31 mai 1841 ). Domeniile de aplicare a acestei funcții sunt acum printre cele mai variate. Fundamental, de exemplu, este utilizarea sa în teoria cuantică a interacțiunilor, în special în teoria cuantică a câmpurilor care interacționează și în teoria sistemelor cu mai multe corpuri , unde este uneori menționată sub numele de propagator .

Definiție

Să fie dat un operator liniar diferențial arbitrar $L_{x}$ ${\ displaystyle L_ {x}}$ $L_ {x}$ care acționează pe un spațiu caracteristic adecvat, în variabila generică $x=(x_{1},\dots ,x_{n})$ ${\ displaystyle x = (x_ {1}, \ dots, x_ {n})}$ ${\ displaystyle x = (x_ {1}, \ dots, x_ {n})}$ . O „ ecuație diferențială , care este în general derivatele parțiale , este scrisă în felul următor:

L_{x}u(x)=f(x)\

{\ displaystyle L_ {x} u (x) = f (x) \}

{\ displaystyle L_ {x} u (x) = f (x) \}

Funcția verde a operatorului $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ Este definit ca distribuție ( soluție fundamentală ) $G(x,y)$ ${\ displaystyle G (x, y)}$ ${\ displaystyle G (x, y)}$ astfel încât:

L_{x}G(x,y)=\delta (x-y)

{\ displaystyle L_ {x} G (x, y) = \ delta (xy)}

{\ displaystyle L_ {x} G (x, y) = \ delta (x-y)}

Datorită proprietăților deltei Dirac :

f(x)=\int f(y)\delta (x-y)dy=\int f(y)L_{x}G(x,y)dy

{\ displaystyle f (x) = \ int f (y) \ delta (xy) dy = \ int f (y) L_ {x} G (x, y) dy}

{\ displaystyle f (x) = \ int f (y) \ delta (x-y) dy = \ int f (y) L_ {x} G (x, y) dy}

De cand $f(x)=L_{x}u(x)$ ${\ displaystyle f (x) = L_ {x} u (x)}$ ${\ displaystyle f (x) = L_ {x} u (x)}$ , ai (purtând $L_{x}$ ${\ displaystyle L_ {x}}$ $L_ {x}$ acționând numai asupra $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ din integrală):

L_{x}u(x)=L_{x}\int f(y)G(x,y)dy

{\ displaystyle L_ {x} u (x) = L_ {x} \ int f (y) G (x, y) dy}

{\ displaystyle L_ {x} u (x) = L_ {x} \ int f (y) G (x, y) dy}

din care obținem:

u(x)=\int f(y)G(x,y)dy+q(x)

{\ displaystyle u (x) = \ int f (y) G (x, y) dy + q (x)}

{\ displaystyle u (x) = \ int f (y) G (x, y) dy + q (x)}

unde este $q(x)$ ${\ displaystyle q (x)}$ ${\ displaystyle q (x)}$ este o soluție a ecuației omogene asociate $L_{x}q(x)=0$ ${\ displaystyle L_ {x} q (x) = 0}$ ${\ displaystyle L_ {x} q (x) = 0}$ . Funcția arbitrară $q(x)$ ${\ displaystyle q (x)}$ ${\ displaystyle q (x)}$ este fixat în mod unic de condițiile limită ale problemei.

În mod echivalent, folosind notația Dirac pentru spații vectoriale, o ecuație diferențială generică este scrisă după cum urmează:

L|u\rangle =|f\rangle

{\ displaystyle L | u \ rangle = | f \ rangle}

{\ displaystyle L | u \ rangle = | f \ rangle}

De sine $L$ ${\ displaystyle L}$ ${\ displaystyle L}$ admite un invers $L^{-1}\equiv G$ ${\ displaystyle L ^ {- 1} \ equiv G}$ ${\ displaystyle L ^ {- 1} \ equiv G}$ atunci ecuația poate fi rezolvată formal astfel:

|u\rangle =G|f\rangle

{\ displaystyle | u \ rangle = G | f \ rangle}

{\ displaystyle | u \ rangle = G | f \ rangle}

Înmulțirea lăsată cu $\langle x|$ ${\ displaystyle \ langle x |}$ ${\ displaystyle \ langle x |}$ și exploatarea identității spettralizzazione :

I=\int |y\rangle \langle y|dy

{\ displaystyle I = \ int | y \ rangle \ langle y | dy}

{\ displaystyle I = \ int | y \ rangle \ langle y | dy}

primesti:

u(x)=\int dy\langle x|G|y\rangle f(y)

{\ displaystyle u (x) = \ int dy \ langle x | G | y \ rangle f (y)}

{\ displaystyle u (x) = \ int dy \ langle x | G | y \ rangle f (y)}

Funcția verde a unui operator diferențial este, prin urmare, nucleul integral al inversului, dacă există, al operatorului însuși:

G(x,y)\equiv \langle x|G|y\rangle

{\ displaystyle G (x, y) \ equiv \ langle x | G | y \ rangle}

{\ displaystyle G (x, y) \ equiv \ langle x | G | y \ rangle}

Funcția lui Green și transformata Fourier

Același subiect în detaliu: Transformata Fourier .

Una dintre cele mai puternice metode de a găsi funcțiile lui Green în cazuri specifice este utilizarea transformatei Fourier, care are proprietatea fundamentală de a converti operațiile de derivare în produse simple și, prin urmare, ecuațiile diferențiale în ecuații algebrice. Spus $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ dimensiunea spațiului variabil $X, y$ ${\ displaystyle x, y}$ $X y$ , avem că transformarea Fourier în variabilă $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ este dat de:

G(x,y)={\frac {1}{(2\pi )^{m}}}\int e^{ikx}{\tilde {G}}(k,y)d^{m}k

{\ displaystyle G (x, y) = {\ frac {1} {(2 \ pi) ^ {m}}} \ int e ^ {ikx} {\ tilde {G}} (k, y) d ^ { m} k}

{\ displaystyle G (x, y) = {\ frac {1} {(2 \ pi) ^ {m}}} \ int e ^ {ikx} {\ tilde {G}} (k, y) d ^ { m} k}

în timp ce reprezentarea Fourier a $\delta$ ${\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ Și:

\delta (x-y)={\frac {1}{(2\pi )^{m}}}\int e^{ik(x-y)}d^{m}k

{\ displaystyle \ delta (xy) = {\ frac {1} {(2 \ pi) ^ {m}}} \ int e ^ {ik (xy)} d ^ {m} k}

{\ displaystyle \ delta (x-y) = {\ frac {1} {(2 \ pi) ^ {m}}} \ int e ^ {ik (x-y)} d ^ {m} k}

Prin includerea acestei reprezentări în definiție:

L_{x}G(x,y)=\delta (x-y)

{\ displaystyle L_ {x} G (x, y) = \ delta (xy)}

{\ displaystyle L_ {x} G (x, y) = \ delta (x-y)}

poți obține o formă pentru ${\tilde {G}}(k,y)$ ${\ displaystyle {\ tilde {G}} (k, y)}$ ${\ displaystyle {\ tilde {G}} (k, y)}$ .

Laplacianul

Același subiect în detaliu: operator Laplace .

Veți dori să obțineți funcția Green a operatorului Laplacian $\nabla ^{2}$ ${\ displaystyle \ nabla ^ {2}}$ $\ nabla ^ 2$ în trei dimensiuni. Avem:

\nabla _{x}^{2}G(x-y)=\delta (x-y)

{\ displaystyle \ nabla _ {x} ^ {2} G (xy) = \ delta (xy)}

{\ displaystyle \ nabla _ {x} ^ {2} G (x-y) = \ delta (x-y)}

unde este folosit $G(x-y)$ ${\ displaystyle G (xy)}$ ${\ displaystyle G (x-y)}$ deoarece funcția lui Green depinde doar de diferența variabilelor, având în vedere simetria evidentă a ecuației. Folosind transformata Fourier a ambilor membri obținem:

{\tilde {G}}(k)=-{\frac {1}{k^{2}}}

{\ displaystyle {\ tilde {G}} (k) = - {\ frac {1} {k ^ {2}}}}

{\ displaystyle {\ tilde {G}} (k) = - {\ frac {1} {k ^ {2}}}}

Așadar:

G(x-y)=-{\frac {1}{(2\pi )^{3}}}\int {\frac {e^{ik(x-y)}}{k^{2}}}d^{3}k

{\ displaystyle G (xy) = - {\ frac {1} {(2 \ pi) ^ {3}}} \ int {\ frac {e ^ {ik (xy)}} {k ^ {2}}} d ^ {3} k}

{\ displaystyle G (xy) = - {\ frac {1} {(2 \ pi) ^ {3}}} \ int {\ frac {e ^ {ik (xy)}} {k ^ {2}}} d ^ {3} k}

Rezoluția integralei este:

G(x-y)=-{\frac {1}{(2\pi )^{2}}}\int _{-1}^{1}d(\cos \theta )\int _{0}^{+\infty }k^{2}dk{\frac {e^{ikr\cos \theta }}{k^{2}}}=-{\frac {2}{(2\pi )^{2}r}}\int _{0}^{+\infty }dk{\frac {\sin(kr)}{k}}

{\ displaystyle G (xy) = - {\ frac {1} {(2 \ pi) ^ {2}}} \ int _ {- 1} ^ {1} d (\ cos \ theta) \ int _ {0 } ^ {+ \ infty} k ^ {2} dk {\ frac {e ^ {ikr \ cos \ theta}} {k ^ {2}}} = - {\ frac {2} {(2 \ pi) ^ {2} r}} \ int _ {0} ^ {+ \ infty} dk {\ frac {\ sin (kr)} {k}}}

{\ displaystyle G (xy) = - {\ frac {1} {(2 \ pi) ^ {2}}} \ int _ {- 1} ^ {1} d (\ cos \ theta) \ int _ {0 } ^ {+ \ infty} k ^ {2} dk {\ frac {e ^ {ikr \ cos \ theta}} {k ^ {2}}} = - {\ frac {2} {(2 \ pi) ^ {2} r}} \ int _ {0} ^ {+ \ infty} dk {\ frac {\ sin (kr)} {k}}}

unde se vrea $r=|x-y|$ ${\ displaystyle r = | xy |}$ ${\ displaystyle r = | x-y |}$ și s-a presupus că $x-y$ ${\ displaystyle xy}$ $X y$ atât de-a lungul direcției $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ În $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ -spaţiu. Ultima integrală este rezolvată cu o integrare la graniță care face variabila complexă $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ și închiderea conturului în jumătatea superioară a planului:

\int _{0}^{+\infty }dk{\frac {\sin(kr)}{k}}={\frac {1}{2}}\int _{-\infty }^{+\infty }dk{\frac {\sin(kr)}{k}}={\frac {1}{2}}\Im \int _{-\infty }^{+\infty }dk{\frac {e^{ikr}}{k}}={\frac {1}{2}}\Im \left[\pi iRes\left({\frac {e^{izr}}{z}}\vert _{z=0}\right)\right]={\frac {\pi }{2}}

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {+ \ infty} dk {\ frac {\ sin (kr)} {k}} = {\ frac {1} {2}} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} dk {\ frac {\ sin (kr)} {k}} = {\ frac {1} {2}} \ Im \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} dk {\ frac {e ^ {ikr}} {k}} = {\ frac {1} {2}} \ Im \ left [\ pi iRes \ left ({\ frac {e ^ {izr}} {z}} \ vert _ {z = 0} \ right) \ right] = {\ frac {\ pi} {2}}}

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {+ \ infty} dk {\ frac {\ sin (kr)} {k}} = {\ frac {1} {2}} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} dk {\ frac {\ sin (kr)} {k}} = {\ frac {1} {2}} \ Im \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} dk {\ frac {e ^ {ikr}} {k}} = {\ frac {1} {2}} \ Im \ left [\ pi iRes \ left ({\ frac {e ^ {izr}} {z}} \ vert _ {z = 0} \ right) \ right] = {\ frac {\ pi} {2}}}

Pentru calcularea reziduului polului în $k=0$ ${\ displaystyle k = 0}$ $k = 0$ se folosește partea principală . Categoric:

G(x,y)=-{\frac {1}{4\pi |x-y|}}

{\ displaystyle G (x, y) = - {\ frac {1} {4 \ pi | xy |}}}

{\ displaystyle G (x, y) = - {\ frac {1} {4 \ pi | x-y |}}}

Perturbări

Același subiect în detaliu: metodele de perturbare .

Formalismul funcției lui Green este deosebit de potrivit pentru soluționarea (cel puțin formală) a problemelor de natură perturbativă. De exemplu, să presupunem că avem următorul operator diferențial:

L+\lambda V

{\ displaystyle L + \ lambda V}

{\ displaystyle L + \ lambda V}

cu $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ număr real generic și presupunem, de asemenea, că problema referitoare la operator doar este rezolvată sau, în orice caz, cunoscută $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ . Indicați cu $G_{0}$ ${\ displaystyle G_ {0}}$ ${\ displaystyle G_ {0}}$ Operatorul lui Green (cunoscut prin ipoteză) pentru $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ (sau $L^{-1}$ ${\ displaystyle L ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle L ^ {- 1}}$ ). Deci ecuația care definește operatorul verde complet este:

(L+\lambda V)G=I

{\ displaystyle (L + \ lambda V) G = I}

{\ displaystyle (L + \ lambda V) G = I}

Ceea ce implică:

LG=I-\lambda VG\Rightarrow G=L^{-1}-\lambda L^{-1}VG

{\ displaystyle LG = I- \ lambda VG \ Rightarrow G = L ^ {- 1} - \ lambda L ^ {- 1} VG}

{\ displaystyle LG = I- \ lambda VG \ Rightarrow G = L ^ {- 1} - \ lambda L ^ {- 1} VG}

adică amintindu-mi asta $L^{-1}\equiv G_{0}$ ${\ displaystyle L ^ {- 1} \ equiv G_ {0}}$ ${\ displaystyle L ^ {- 1} \ equiv G_ {0}}$ :

G=G_{0}-\lambda G_{0}VG

{\ displaystyle G = G_ {0} - \ lambda G_ {0} VG}

{\ displaystyle G = G_ {0} - \ lambda G_ {0} VG}

Ultima ecuație este crucială în cazul în care parametrul $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ este suficient de mic pentru a gestiona „potențialul” $\lambda V$ ${\ displaystyle \ lambda V}$ ${\ displaystyle \ lambda V}$ ca perturbare a operatorului liber $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ . De fapt, precedentul poate fi rezolvat formal folosind o serie de dezvoltări pentru $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ :

G=G_{0}-\lambda G_{0}VG_{0}+\lambda ^{2}G_{0}VG_{0}VG_{0}-\lambda ^{3}G_{0}VG_{0}VG_{0}VG_{0}+\ldots

{\ displaystyle G = G_ {0} - \ lambda G_ {0} VG_ {0} + \ lambda ^ {2} G_ {0} VG_ {0} VG_ {0} - \ lambda ^ {3} G_ {0} VG_ {0} VG_ {0} VG_ {0} + \ ldots}

{\ displaystyle G = G_ {0} - \ lambda G_ {0} VG_ {0} + \ lambda ^ {2} G_ {0} VG_ {0} VG_ {0} - \ lambda ^ {3} G_ {0} VG_ {0} VG_ {0} VG_ {0} + \ ldots}

De sine $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ este mai mică decât unitatea, puterile sale vor scădea (mai mult $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ este mai mică cu atât scăderea va fi mai rapidă), prin urmare, fiecare supliment suplimentar va contribui la operatorul verde complet cu o greutate tot mai mică. În funcție de necesități, dezvoltarea poate fi trunchiată la o ordine adecvată și poate obține o aproximare excelentă pentru $G.$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle G}$ . Totul poate fi rescris în cel mai comun limbaj integral:

G(x,y)=G_{0}(x,y)-\lambda \int G_{0}(x,x')V(x',x'')G(x'',y)dx'dx''

{\ displaystyle G (x, y) = G_ {0} (x, y) - \ lambda \ int G_ {0} (x, x ') V (x', x '') G (x '', y ) dx'dx ''}

{\ displaystyle G (x, y) = G_ {0} (x, y) - \ lambda \ int G_ {0} (x, x ') V (x', x '') G (x '', y ) dx'dx ''}

care admite o soluție formală ca o serie de Neumann :

G(x,y)=G_{0}(x,y)-\lambda \int G_{0}(x,x_{1})V(x_{1},x_{2})G_{0}(x_{2},y)dx_{1}dx_{2}+

{\ displaystyle G (x, y) = G_ {0} (x, y) - \ lambda \ int G_ {0} (x, x_ {1}) V (x_ {1}, x_ {2}) G_ { 0} (x_ {2}, y) dx_ {1} dx_ {2} +}

{\ displaystyle G (x, y) = G_ {0} (x, y) - \ lambda \ int G_ {0} (x, x_ {1}) V (x_ {1}, x_ {2}) G_ { 0} (x_ {2}, y) dx_ {1} dx_ {2} +}

+\lambda ^{2}\int G_{0}(x,x_{1})V(x_{1},x_{2})G_{0}(x_{2},x_{3})V(x_{3},x_{4})G_{0}(x_{4},y)dx_{1}\ldots dx_{4}+\ldots

{\ displaystyle + \ lambda ^ {2} \ int G_ {0} (x, x_ {1}) V (x_ {1}, x_ {2}) G_ {0} (x_ {2}, x_ {3} ) V (x_ {3}, x_ {4}) G_ {0} (x_ {4}, y) dx_ {1} \ ldots dx_ {4} + \ ldots}

{\ displaystyle + \ lambda ^ {2} \ int G_ {0} (x, x_ {1}) V (x_ {1}, x_ {2}) G_ {0} (x_ {2}, x_ {3} ) V (x_ {3}, x_ {4}) G_ {0} (x_ {4}, y) dx_ {1} \ ldots dx_ {4} + \ ldots}

Evident, odată o serie de dezvoltare a $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ pentru $G(x,y)$ ${\ displaystyle G (x, y)}$ ${\ displaystyle G (x, y)}$ este imediat să-l obțineți și pentru soluție $u(x)$ ${\ displaystyle u (x)}$ $tu (x)$ ecuației diferențiale:

(L+\lambda V)u(x)=f(x)

{\ displaystyle (L + \ lambda V) u (x) = f (x)}

{\ displaystyle (L + \ lambda V) u (x) = f (x)}

unde este $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ este termenul obișnuit neomogen. Având în vedere că avem:

u(x)=\int G(x,y)f(y)dy

{\ displaystyle u (x) = \ int G (x, y) f (y) dy}

{\ displaystyle u (x) = \ int G (x, y) f (y) dy}

Obțineți următoarea ecuație integrală pentru soluție:

u(x)=F(x)-\lambda \int G_{0}(x,x')V(x',x'')G_{0}(x'',y)f(y)dx'dx''dy

{\ displaystyle u (x) = F (x) - \ lambda \ int G_ {0} (x, x ') V (x', x '') G_ {0} (x '', y) f (y ) dx'dx''dy}

{\ displaystyle u (x) = F (x) - \ lambda \ int G_ {0} (x, x ') V (x', x '') G_ {0} (x '', y) f (y ) dx'dx''dy}

cu:

F(x)=\int G_{0}(x,y)f(y)dy

{\ displaystyle F (x) = \ int G_ {0} (x, y) f (y) dy}

{\ displaystyle F (x) = \ int G_ {0} (x, y) f (y) dy}

adică soluția ecuației „libere”. Precedentul admite evident o soluție sub forma unei dezvoltări perturbative în $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ :

u(x)=F(x)-\lambda \int G_{0}(x,x_{1})V(x_{1},x_{2})G_{0}(x_{2},y)f(y)dx_{1}dx_{2}dy

{\ displaystyle u (x) = F (x) - \ lambda \ int G_ {0} (x, x_ {1}) V (x_ {1}, x_ {2}) G_ {0} (x_ {2} , y) f (y) dx_ {1} dx_ {2} dy}

{\ displaystyle u (x) = F (x) - \ lambda \ int G_ {0} (x, x_ {1}) V (x_ {1}, x_ {2}) G_ {0} (x_ {2} , y) f (y) dx_ {1} dx_ {2} dy}

+\lambda ^{2}\int G_{0}(x,x_{1})V(x_{1},x_{2})G_{0}(x_{2},x_{3})V(x_{3},x_{4})G_{0}(x_{4},y)f(y)dx_{1}\ldots dx_{4}dy+\ldots

{\ displaystyle + \ lambda ^ {2} \ int G_ {0} (x, x_ {1}) V (x_ {1}, x_ {2}) G_ {0} (x_ {2}, x_ {3} ) V (x_ {3}, x_ {4}) G_ {0} (x_ {4}, y) f (y) dx_ {1} \ ldots dx_ {4} dy + \ ldots}

{\ displaystyle + \ lambda ^ {2} \ int G_ {0} (x, x_ {1}) V (x_ {1}, x_ {2}) G_ {0} (x_ {2}, x_ {3} ) V (x_ {3}, x_ {4}) G_ {0} (x_ {4}, y) f (y) dx_ {1} \ ldots dx_ {4} dy + \ ldots}

Prin urmare, cu acest formalism este posibil să se obțină soluții aproximative pentru ecuația diferențială. Aproximarea este cu atât mai bună cu cât crește ordinea de dezvoltare la care intenționăm să oprim calculul nostru, acesta este exponentul $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ .

Bibliografie

(EN) SS Bayin (2006), Metode matematice în știință și inginerie, Wiley, capitolele 18 și 19.
(EN) Eyges, Leonard, The Classical Electromagnetic Field, Dover Publications, New York, 1972. ISBN 0-486-63947-9 . (Capitolul 5 conține o explicație foarte ușoară a utilizării funcției Green pentru a rezolva probleme cu valori limită în electrostatice.)
(EN) AD Polyanin și VF Zaitsev, Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations (ediția a II-a), Chapman & Hall / CRC Press, Boca Raton, 2003. ISBN 1-58488-297-2
( EN ) AD Polyanin, Manual of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists , Chapman & Hall / CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9
(EN) GB Folland, Fourier Analysis and its Applications, Wadsworth and Brooks / Cole Mathematics Series.
(EN) KD Cole, JV Beck, A. Haji-Sheikh și B. Litkouhi, Conducerea căldurii folosind funcțiile lui Green, Taylor și Francis, 2011, pp. 101 - 148. ISBN 978-1-4398-1354-6
(EN) Sadri Hassani, „Fizica matematică”, Springer-Verlag New York, 1999.
(EN) Albert Messiah, "Mecanica cuantică", Vol II, Wiley, 1966. Valabil pentru analiza detaliată a teoriei perturbării.

Elemente conexe

linkuri externe

(EN) Eric W. Weisstein, Funcția verde în MathWorld Wolfram Research.
(EN) Tutorial despre funcțiile Green ale laboratoarelor NIST din Boulder (Colorado) .
(RO) Introducere în tehnica Keldysh Nonequilibrium Green Function de AP Jauho
(EN) Metoda elementului limită (pentru unele idei despre cum funcțiile Green pot fi utilizate cu metoda elementului limită pentru rezolvarea numerică a potențialelor probleme) pe ntu.edu.sg.

Controlul autorității	NDL (EN, JA) 00.562.581

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă cu matematica