Soluție fundamentală

În matematică , o soluție fundamentală pentru un operator diferențial parțial liniar $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ este o formulare în limbajul mai recent al distribuțiilor ideii anterioare a funcției Green .

Aceasta este soluția $F(x,y)$ ${\ displaystyle F (x, y)}$ $F (x, y)$ a unei ecuații diferențiale liniare $Lf(x)=0$ ${\ displaystyle Lf (x) = 0}$ ${\ displaystyle Lf (x) = 0}$ (având funcții netede ca coeficienți) care satisface:

LF(x,y)=\delta (x-y)\qquad y\neq x

{\ displaystyle LF (x, y) = \ delta (xy) \ qquad y \ neq x}

{\ displaystyle LF (x, y) = \ delta (x-y) \ qquad y \ neq x}

unde este $\delta (x)$ ${\ displaystyle \ delta (x)}$ $\ delta (x)$ este delta Dirac , $y\in \mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle y \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle y \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$ este fix și $x\in \mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle x \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$ $x \ in \ mathbb {R} ^ {n}$ .

Fiecare ecuație cu coeficienți constanți admite o soluție fundamentală și, prin urmare, fiecare ecuație eliptică .

În teoria semnalului , analogul soluției fundamentale a unei ecuații diferențiale este răspunsul la impuls al unui filtru.

Exemplu

Considera $Lf=\sin(x)$ ${\ displaystyle Lf = \ sin (x)}$ ${\ displaystyle Lf = \ sin (x)}$ cu:

L={\frac {d^{2}}{dx^{2}}}

{\ displaystyle L = {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}}}

{\ displaystyle L = {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}}}

Soluția fundamentală poate fi obținută prin rezolvare $LF=\delta (x)$ ${\ displaystyle LF = \ delta (x)}$ ${\ displaystyle LF = \ delta (x)}$ , adică:

{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}F(x)=\delta (x)

{\ displaystyle {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} F (x) = \ delta (x)}

{\ displaystyle {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} F (x) = \ delta (x)}

De cand:

{\frac {d}{dx}}H(x)=\delta (x)

{\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} H (x) = \ delta (x)}

{\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} H (x) = \ delta (x)}

unde este $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ este funcția pas a Heaviside , avem o soluție:

{\frac {d}{dx}}F(x)=H(x)+C

{\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} F (x) = H (x) + C}

{\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} F (x) = H (x) + C}

cu $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ o constantă arbitrară. Pentru comoditate, apare $C=-1/2$ ${\ displaystyle C = -1 / 2}$ ${\ displaystyle C = -1 / 2}$ .

După integrare $dF/dx$ ${\ displaystyle dF / dx}$ ${\ displaystyle dF / dx}$ , setând noul cost de integrare la zero avem:

F(x)=xH(x)-{\frac {1}{2}}x={\frac {1}{2}}|x|

{\ displaystyle F (x) = xH (x) - {\ frac {1} {2}} x = {\ frac {1} {2}} | x |}

{\ displaystyle F (x) = xH (x) - {\ frac {1} {2}} x = {\ frac {1} {2}} | x |}

Putem apoi găsi soluția ecuației de pornire făcând convoluția lui $\sin(x)$ ${\ displaystyle \ sin (x)}$ ${\ displaystyle \ sin (x)}$ cu soluția fundamentală $F(x)=|x|/2$ ${\ displaystyle F (x) = | x | / 2}$ ${\ displaystyle F (x) = | x | / 2}$ :

f(x)=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{2}}|x-y|\sin(y)dy

{\ displaystyle f (x) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {1} {2}} | xy | \ sin (y) dy}

{\ displaystyle f (x) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {1} {2}} | x-y | \ sin (y) dy}

Bibliografie

( EN ) A. Friedman, Ecuații diferențiale parțiale de tip parabolic , Prentice-Hall (1964)
( EN ) OA Ladyzhenskaya, NN Ural'tseva, "Ecuații eliptice liniare și cvasiliniare", Acad. Presă (1968)
( EN ) OA Ladyzhenskaya, VA Solonnikov, NN Ural'tseva, "Ecuații parabolice liniare și cvasiliniare", Amer. Matematica. Soc . (1968)

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) AP Soldatov, Soluție fundamentală , în Enciclopedia Matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică