Operator diferențial

În matematică, un operator diferențial este un operator definit ca o funcție a operatorului de derivare .

În cele ce urmează ne ocupăm de operatori diferențiali liniari , care sunt cei mai răspândiți, deși există și mai mulți operatori diferențiali neliniari.

Cel mai simplu operator diferențial este derivatul . O notație obișnuită este ${d \over dx}$ ${\ displaystyle {d \ over dx}}$ ${d \ peste dx}$ sau $D_{x}$ ${\ displaystyle D_ {x}}$ $D_ {x}$ , în timp ce variabila de diferențiere nu trebuie să fie explicită, este utilizată numai $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ . Pentru derivatele succesive pe care le folosim respectiv $d^{n} \over dx^{n}$ ${\ displaystyle d ^ {n} \ over dx ^ {n}}$ ${d ^ {n} \ peste dx ^ {n}}$ , $D^{n}$ ${\ displaystyle D ^ {n}}$ $D ^ {n}$ Și $D_{x}^{n}$ ${\ displaystyle D_ {x} ^ {n}}$ $D_ {x} ^ {n}$ . Notatia $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ este creditat lui Oliver Heaviside , care a considerat operatorii diferențiali ai formei $\sum _{k=0}^{n}c_{k}D^{k}$ ${\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {n} c_ {k} D ^ {k}}$ $\ sum _ {{k = 0}} ^ {n} c_ {k} D ^ {k}$ în studiul ecuațiilor diferențiale .

Operatori diferențiali liniari

Un operator diferențial liniar este un operator diferențial particular care acționează ca o transformare liniară , adică păstrează suma și operațiunile produsului. Noțiunile valabile pentru operatorii liniari sunt valabile în special pentru operatorii diferențiali liniari care sunt o parte importantă a operatorilor liniari. Un operator diferențial liniar poate fi scris în forma cea mai generală:

A=\sum _{n=0}^{N}c_{n}(x){\frac {d^{n}}{dx^{n}}},

{\ displaystyle A = \ sum _ {n = 0} ^ {N} c_ {n} (x) {\ frac {d ^ {n}} {dx ^ {n}}},}

{\ displaystyle A = \ sum _ {n = 0} ^ {N} c_ {n} (x) {\ frac {d ^ {n}} {dx ^ {n}}},}

care s-a aplicat unui element al spațiului funcțional $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ :

Af(x)=\sum _{n=0}^{N}c_{n}(x){\frac {d^{n}f(x)}{dx^{n}}}.

{\ displaystyle Af (x) = \ sum _ {n = 0} ^ {N} c_ {n} (x) {\ frac {d ^ {n} f (x)} {dx ^ {n}}}. }

{\ displaystyle Af (x) = \ sum _ {n = 0} ^ {N} c_ {n} (x) {\ frac {d ^ {n} f (x)} {dx ^ {n}}}. }

În general, un operator este reprezentat de o matrice pătrată și de produsul punct $\langle g|Af\rangle$ ${\ displaystyle \ langle g | Af \ rangle}$ $\ langle g | Af \ rangle$ este un element al matricei.

Proprietate

Proprietățile sumei și produsului unui număr sunt identice cu proprietățile vectoriale:

(A+B)f=Af+Bf\qquad (A\cdot B)f=A(Bf)\qquad (AB)C=A(BC)\qquad A(B+C)=AB+AC.

{\ displaystyle (A + B) f = Af + Bf \ qquad (A \ cdot B) f = A (Bf) \ qquad (AB) C = A (BC) \ qquad A (B + C) = AB + AC .}

{\ displaystyle (A + B) f = Af + Bf \ qquad (A \ cdot B) f = A (Bf) \ qquad (AB) C = A (BC) \ qquad A (B + C) = AB + AC .}

Ca și în cazul matricilor în general, produsul operatorilor diferențiali liniari nu este comutativ:

AB\neq BA.

{\ displaystyle AB \ neq BA.}

{\ displaystyle AB \ neq BA.}

Comutator de definire:

AB-BA=[A,B]

{\ displaystyle AB-BA = [A, B]}

AB-BA = [A, B]

putem spune că doi operatori comută dacă și numai dacă: $[A,B]=0$ ${\ displaystyle [A, B] = 0}$ $[A, B] = 0$ .

Polinomiale

Orice polinom din $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ cu coeficienți funcționali este încă un operator diferențial. Operatorii diferențiali pot fi compuși cu regula:

(D_{1}\circ D_{2})(f)=D_{1}[D_{2}(f)].

{\ displaystyle (D_ {1} \ circ D_ {2}) (f) = D_ {1} [D_ {2} (f)]}

{\ displaystyle (D_ {1} \ circ D_ {2}) (f) = D_ {1} [D_ {2} (f)]}

Fiecare coeficient funcțional al operatorului $D_{2}$ ${\ displaystyle D_ {2}}$ $D_ {2}$ trebuie să fie diferențiat de câte ori operatorul $D_{1}$ ${\ displaystyle D_ {1}}$ $D_ {1}$ necesită. Pentru a obține un inel de astfel de operatori este necesar să presupunem că sunt utilizate derivate de fiecare ordine. De asemenea, acest inel nu este comutativ ca operator $g D.$ ${\ displaystyle gD}$ $gD$ nu este în general egal cu $D. g$ ${\ displaystyle Dg}$ $Dg$ . De exemplu, vezi relația din mecanica cuantică :

Dx-xD=1.

{\ displaystyle Dx-xD = 1.}

{\ displaystyle Dx-xD = 1.}

Subinelul operatorilor care sunt polinoame în $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ cu coeficienți constanți este în schimb comutativ. Poate fi caracterizat într-un alt mod: este format din operatorii invarianți de traducere.

Funcția de alimentare și operator

Definim a n-a putere a unui operator, operatorul:

A^{n}=\underbrace {A\cdot A\cdots A} _{n}.

{\ displaystyle A ^ {n} = \ underbrace {A \ cdot A \ cdots A} _ {n}.}

{\ displaystyle A ^ {n} = \ underbrace {A \ cdot A \ cdots A} _ {n}.}

Dacă funcția $F(t)$ ${\ displaystyle F (t)}$ $F (t)$ poate fi dezvoltat în seria de putere a lui Mc Laurin:

F(t)=\sum _{n=0}^{\infty }F_{n}t^{n},

{\ displaystyle F (t) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} F_ {n} t ^ {n},}

{\ displaystyle F (t) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} F_ {n} t ^ {n},}

atunci funcția este definită $F(A)$ ${\ displaystyle F (A)}$ $FACE)$ ca:

F(A)=\sum _{n=0}^{+\infty }F_{n}A^{n}.

{\ displaystyle F (A) = \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} F_ {n} A ^ {n}.}

{\ displaystyle F (A) = \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} F_ {n} A ^ {n}.}

Operator adăugat

Același subiect în detaliu: Operator adăugat .

Având în vedere un operator diferențial liniar:

Tu=\sum _{k=0}^{n}a_{k}(x)D^{k}u

{\ displaystyle Tu = \ sum _ {k = 0} ^ {n} a_ {k} (x) D ^ {k} u}

Tu = \ sum _ {{k = 0}} ^ {n} a_ {k} (x) D ^ {k} u

adăugarea acestui operator este definită ca operator $T^{*}$ ${\ displaystyle T ^ {*}}$ $T ^ {*}$ astfel încât:

\langle u,Tv\rangle =\langle T^{*}u,v\rangle ,

{\ displaystyle \ langle u, Tv \ rangle = \ langle T ^ {*} u, v \ rangle,}

{\ displaystyle \ langle u, Tv \ rangle = \ langle T ^ {*} u, v \ rangle,}

unde notația $\langle ,\rangle$ ${\ displaystyle \ langle, \ rangle}$ $\ langle, \ rangle$ indică produsul scalar sau produsul interior . Definiția unui adjuvant depinde, așadar, de definiția unui produs dot. În spațiul funcțional al funcțiilor pătrate sumabile , produsul scalar este definit de:

\langle f,g\rangle =\int _{a}^{b}{\overline {f(x)}}\,g(x)\,dx.

{\ displaystyle \ langle f, g \ rangle = \ int _ {a} ^ {b} {\ overline {f (x)}} \, g (x) \, dx.}

{\ displaystyle \ langle f, g \ rangle = \ int _ {a} ^ {b} {\ overline {f (x)}} \, g (x) \, dx.}

Dacă adăugăm la aceasta condiția că $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ Și $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ tind spre zero pentru $x\to a$ ${\ displaystyle x \ to a}$ $x \ to a$ Și $x\to b$ ${\ displaystyle x \ to b}$ $x \ to b$ , este apoi posibil să se definească adjunctul ca:

T^{*}u=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}D^{k}[a_{k}(x)u].

{\ displaystyle T ^ {*} u = \ sum _ {k = 0} ^ {n} (- 1) ^ {k} D ^ {k} [a_ {k} (x) u].}

{\ displaystyle T ^ {*} u = \ sum _ {k = 0} ^ {n} (- 1) ^ {k} D ^ {k} [a_ {k} (x) u].}

Această formulă nu depinde în mod explicit de definiția unui produs dot și este uneori utilizată direct ca definiție a unui operator adăugat, caz în care este denumită mai corect ca operator adăugat formal .

Operatorul Sturm-Liouville este un exemplu binecunoscut de operator autoadjunct formal. Operatorul diferențial de ordinul doi $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ poate fi scris sub forma:

Lu=-(pu')'+qu=-(pu''+p'u')+qu=-pu''-p'u'+qu=(-p)D^{2}u+(-p')Du+(q)u.

{\ displaystyle Lu = - (pu ')' + qu = - (pu '' + p'u ') + qu = -pu' '- p'u' + qu = (- p) D ^ {2} u + (-p ') Du + (q) u.}

{\ displaystyle Lu = - (pu ')' + qu = - (pu '' + p'u ') + qu = -pu' '- p'u' + qu = (- p) D ^ {2} u + (-p ') Du + (q) u.}

Faptul că acest operator este de fapt un operator formal autoadjunct poate fi dovedit prin verificarea definiției date mai sus, după cum urmează:

{\begin{aligned}L^{*}u&=(-1)^{2}D^{2}[(-p)u]+(-1)^{1}D[(-p')u]+(-1)^{0}(qu)\\&=-D^{2}(pu)+D(p'u)+qu\\&=-(pu)''+(p'u)'+qu\\&=-p''u-2p'u'-pu''+p''u+p'u'+qu\\&=-p'u'-pu''+qu\\&=-(pu')'+qu\\&=Lu\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} L ^ {*} u & = (- 1) ^ {2} D ^ {2} [(- p) u] + (- 1) ^ {1} D [(- p ') u] + (- 1) ^ {0} (qu) \\ & = - D ^ {2} (pu) + D (p'u) + qu \\ & = - (pu)' '+ (p'u) '+ qu \\ & = - p''u-2p'u'-pu' '+ p''u + p'u' + qu \\ & = - p'u'-pu ' '+ qu \\ & = - (pu') '+ qu \\ & = Lu \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} L ^ {*} u & = (- 1) ^ {2} D ^ {2} [(- p) u] + (- 1) ^ {1} D [(- p ') u] + (- 1) ^ {0} (qu) \\ & = - D ^ {2} (pu) + D (p'u) + qu \\ & = - (pu)' '+ (p'u) '+ qu \\ & = - p''u-2p'u'-pu' '+ p''u + p'u' + qu \\ & = - p'u'-pu ' '+ qu \\ & = - (pu') '+ qu \\ & = Lu \ end {align}}}

Acest operator joacă un rol fundamental în teoria Sturm-Liouville unde sunt examinate funcțiile proprii ale acestui operator (analog cu vectorii proprii )

Exemple

Unul dintre cei mai frecvenți operatori diferențiali este Laplacianul , definit ca:

\Delta =\nabla ^{2}=\sum _{k=1}^{n}{\partial ^{2} \over \partial x_{k}^{2}}.

{\ displaystyle \ Delta = \ nabla ^ {2} = \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ partial ^ {2} \ over \ partial x_ {k} ^ {2}}.}

{\ displaystyle \ Delta = \ nabla ^ {2} = \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ partial ^ {2} \ over \ partial x_ {k} ^ {2}}.}

Un alt operator diferențial este operatorul $\Theta$ ${\ displaystyle \ Theta}$ $\ Theta$ , definit ca:

\Theta =z{d \over dz}.

{\ displaystyle \ Theta = z {d \ over dz}.}

\ Theta = z {d \ over dz}.

Bibliografie

Lawrence C. Evans, Ecuații diferențiale parțiale ( PDF ), Studii postuniversitare în matematică, vol. 19, 2, Providence, RI, American Mathematical Society , 2010 [1998] , MR 2597943 .
AD Polyanin, Manual de ecuații diferențiale parțiale liniare pentru ingineri și oameni de știință , Chapman & Hall / CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9
Rozhdestvenskii, BL, în Hazewinkel, Michiel, Enciclopedia Matematicii , Springer, 2001 ISBN 978-1556080104

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) Operator diferențial , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Controlul autorității	Tezaur BNCF 22854 · LCCN (EN) sh85037921 · GND (DE) 4012251-7 · BNF (FR) cb11977705n (data)

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică