Bra-ket notație

În mecanica cuantică , sutien-ket notație, de asemenea , cunoscut sub numele de Dirac notație sau Dirac formalismul, este o notație introdusă de fizicianul britanic și matematician Paul Dirac pentru a descrie o stare cuantică ^[1] . Este folosit în general în matematică pentru a desemna abstracte vectori într - un liniar spațiu funcțional , spațiul Hilbert .

În derivă numele din faptul că produsul scalar a două state $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ Și $\psi$ ${\ displaystyle \ psi}$ $\ psi$ este notat cu un suport $\langle \phi |\psi \rangle$ ${\ Displaystyle \ Langle \ phi | \ psi \ rangle}$ $\ Langle \ phi | \ psi \ rangle$ format din două părți: stânga $\langle \phi |$ ${\ Displaystyle \ Langle \ phi |}$ $\ Langle \ phi |$ numit sutien, iar pe partea dreapta $|\psi \rangle$ ${\ displaystyle | \ psi \ rangle}$ $| \ psi \ rangle$ , Numit ket. Un stat TGE descrie complet o stare cuantică.

Spațiul Hilbert

Același subiect în detaliu: spațiu Hilbert .

În mecanica cuantică și în reprezentarea Dirac, fiecare stare este asociată cu un vector de stat notat prin $|\cdot \rangle$ ${\ Displaystyle | \ cdot \ rangle}$ $| \ Cdot \ rangle$ în spațiul abstract Hilbert ${\mathcal {H}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$ ${\ mathcal H}$ . Acest spațiu este în primul rând un spațiu vectorial , adică, în cazul în care $|\alpha \rangle ,|\beta \rangle \in {\mathcal {H}}$ ${\ Displaystyle | \ alpha \ rangle, | \ beta \ rangle \ în {\ mathcal {H}}}$ $| \ Alpha \ rangle, | \ beta \ rangle \ în {\ mathcal {H}}$ :

a|\alpha \rangle +b|\beta \rangle \in {\mathcal {H}}

{\ Displaystyle a | \ alpha \ rangle + b | \ beta \ rangle \ în {\ mathcal {H}}}

a | \ alpha \ rangle + b | \ beta \ rangle \ în {\ H} mathcal

unde este $a,b\in \mathbb {C}$ ${\ displaystyle a, b \ in \ mathbb {C}}$ $a, b \ in {\ mathbb {C}}$ , Această proprietate trebuie să fie valabil pentru principiul superpoziției . Proprietățile care decurg în mod direct din faptul că ${\mathcal {H}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$ ${\ mathcal H}$ este un spațiu vectorial complex sunt:

$|\alpha \rangle +|\beta \rangle =|\beta \rangle +|\alpha \rangle$ ${\ Displaystyle | \ alpha \ rangle + | \ beta \ rangle = | \ beta \ rangle + | \ alpha \ rangle}$ $| \ Alpha \ rangle + | \ beta \ rangle = | \ beta \ rangle + | \ alpha \ rangle$
$(|\alpha \rangle +|\beta \rangle )+|\gamma \rangle =|\beta \rangle +|\alpha \rangle +|\gamma \rangle$ ${\ Displaystyle (| \ alpha \ rangle + | \ beta \ rangle) + | \ gamma \ rangle = | \ beta \ rangle + | \ alpha \ rangle + | \ gamma \ rangle}$ $(| \ Alpha \ rangle + | \ beta \ rangle) + | \ gamma \ rangle = | \ beta \ rangle + | \ alpha \ rangle + | \ gamma \ rangle$
$\exists !\;|0\rangle \,,\;|\alpha \rangle +|0\rangle =|\alpha \rangle$ ${\ Displaystyle \ există \; |! 0 \ rangle \ ,, \; | \ alpha \ rangle + | 0 \ rangle = | \ alpha \ rangle}$ $\ Există \; |! 0 \ rangle \ ,, \; | \ alfa \ rangle + | 0 \ rangle = | \ alpha \ rangle$
$\exists !\;|\!-\!\!\alpha \rangle \,,\;|\alpha \rangle +|\!-\!\!\alpha \rangle =|0\rangle$ ${\ Displaystyle \ există \; |! \ - \ \ \ alpha \ rangle \ ,, \; |!!!!! \ Alpha \ rangle + | \ - \ \ \ alpha \ rangle = | 0 \ rangle}$ ${\ Displaystyle \ există \; |! \ - \ \ \ alpha \ rangle \ ,, \; |!!!!! \ Alpha \ rangle + | \ - \ \ \ alpha \ rangle = | 0 \ rangle}$
$a(|\alpha \rangle +|\beta \rangle )=a|\alpha \rangle +a|\beta \rangle$ ${\ Displaystyle a (| \ alpha \ rangle + | \ beta \ rangle) = a | \ alpha \ rangle + a | \ beta \ rangle}$ $o (| \ alpha \ rangle + | \ beta \ rangle) = a | \ alpha \ rangle + a | \ beta \ rangle$
$(a+b)|\alpha \rangle =a|\alpha \rangle +b|\alpha \rangle$ ${\ Displaystyle (a + b) | \ alpha \ rangle = a | \ alpha \ rangle + b | \ alpha \ rangle}$ $(A + b) | \ alpha \ rangle = a | \ alpha \ rangle + b | \ alpha \ rangle$
$a(b|\alpha \rangle )=ab|\alpha \rangle$ ${\ Displaystyle a (b | \ alpha \ rangle) = ab | \ alpha \ rangle}$ $a (b | \ alpha \ rangle) = ab | \ alpha \ rangle$
$0|\alpha \rangle =|0\rangle \,;\;1|\alpha \rangle =|\alpha \rangle \,;\;-1|\alpha \rangle =|\!-\!\!\alpha \rangle$ ${\ Displaystyle 0 | \ alpha \ rangle = | 0 \ rangle \ ,; \; 1 | \ alpha \ rangle = | \ alpha \ rangle \ ,; \; - 1 | \ alpha \ rangle = | \ - \! \! \ alpha \ rangle}$ $0 | \ alpha \ rangle = | 0 \ rangle \ ,; \; 1 | \ alfa \ rangle = | \ alpha \ rangle \ ,; \; -!!! 1 | \ alpha \ rangle = | \ - \ \ \ alfa \ rangle$

În special, în cazul în care acestea există $|\alpha _{1}\rangle ,|\alpha _{2}\rangle ,...,|\alpha _{n}\rangle$ ${\ Displaystyle | \ alpha _ {1} \ rangle, | \ alpha _ {2} \ rangle, ..., | \ alpha _ {n} \ rangle}$ $| \ Alpha _ {1} \ rangle, | \ alpha _ {2} \ rangle, ..., | \ alpha _ {n} \ rangle$ vectori, ei sunt liniar independente dacă și numai dacă:

c_{1}|\alpha _{1}\rangle +c_{2}|\alpha _{2}\rangle +\cdots +c_{n}|\alpha _{n}\rangle =|0\rangle \Rightarrow c_{1}=c_{2}=\cdots =c_{n}=0

{\ Displaystyle C_ {1} | \ alpha _ {1} \ rangle + C_ {2} | \ alpha _ {2} \ rangle + \ cdots + C_ {n} | \ alpha _ {n} \ rangle = | 0 \ rangle \ rightarrow C_ {1} = C_ {2} = \ cdots = C_ {n} = 0}

{\ Displaystyle C_ {1} | \ alpha _ {1} \ rangle + C_ {2} | \ alpha _ {2} \ rangle + \ cdots + C_ {n} | \ alpha _ {n} \ rangle = | 0 \ rangle \ rightarrow C_ {1} = C_ {2} = \ cdots = C_ {n} = 0}

dacă, pe de altă parte, există coeficienți care nu sunt toți zero și dau un nul liniar combinație, atunci vectorii sunt dependente. Importanța de minciuni independență liniare în faptul că un set de vectori care generează spațiul vectorial, care este în fiecare $|\alpha \rangle \in {\mathcal {H}}$ ${\ Displaystyle | \ alpha \ rangle \ în {\ mathcal {H}}}$ $| \ Alpha \ rangle \ în {\ H} mathcal$ este inscriptibil ca:

|\alpha \rangle =a_{1}|e_{1}\rangle +a_{2}|e_{2}\rangle +\cdots +a_{n}|e_{n}\rangle

{\ Displaystyle | \ alpha \ rangle = a_ {1} | e_ {1} \ rangle + a_ {2} | e_ {2} \ rangle + \ cdots + a_ {n} | e_ {n} \ rangle}

{\ Displaystyle | \ alpha \ rangle = a_ {1} | e_ {1} \ rangle + a_ {2} | e_ {2} \ rangle + \ cdots + a_ {n} | e_ {n} \ rangle}

unde este $|e_{1}\rangle ,\dots ,|e_{n}\rangle$ ${\ Displaystyle | e_ {1} \ rangle, \ dots, | e_ {n} \ rangle}$ $| E_ {1} \ rangle, \ dots, | e_ {n} \ rangle$ sunt vectori care generează spațiul ${\mathcal {H}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$ ${\ mathcal H}$ . Dacă acești vectori sunt , de asemenea , liniar independente , atunci ele formează o bază în spațiu ${\mathcal {H}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$ ${\ mathcal H}$ . Alegerea unei baze există o corespondență între:

|\alpha \rangle \rightarrow (a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})

{\ Displaystyle | \ alpha \ rangle \ rightarrow (a_ {1}, a_ {2}, \ dots, a_ {n})}

| \ Alpha \ rangle \ rightarrow (a_ {1}, a_ {2}, \ dots, a_ {n})

între vectorul și coeficienții săi în acea bază.

Spatiul Hilbert este , de asemenea , un spațiu euclidian pentru care în Dirac notația proprietățile tipice ale calei produsului interior:

$\langle \beta |c_{1}\alpha _{1}+c_{2}\alpha _{2}\rangle =c_{1}\langle \beta |\alpha _{1}\rangle +c_{2}\langle \beta |\alpha _{2}\rangle$ ${\ Displaystyle \ Langle \ beta | C_ {1} \ alpha _ {1} + C_ {2} \ alpha _ {2} \ rangle = C_ {1} \ Langle \ beta | \ alpha _ {1} \ rangle + C_ {2} \ Langle \ beta | \ alpha _ {2} \ rangle}$ $\ Langle \ beta | C_ {1} \ alpha _ {1} + C_ {2} \ alpha _ {2} \ rangle = C_ {1} \ Langle \ beta | \ alpha _ {1} \ rangle + C_ {2 } \ Langle \ beta | \ alpha _ {2} \ rangle$
$\langle \beta |\alpha \rangle ^{*}=\langle \alpha |\beta \rangle$ ${\ Displaystyle \ Langle \ beta | \ alpha \ rangle ^ {*} = \ Langle \ alpha | \ beta \ rangle}$ $\ Langle \ beta | \ alpha \ rangle ^ {*} = \ Langle \ alpha | \ beta \ rangle$
$\langle \alpha |\alpha \rangle \geq 0$ ${\ Displaystyle \ Langle \ alpha | \ alpha \ rangle \ geq 0}$ $\ Langle \ alpha | \ alpha \ rangle \ geq 0$ Și $\langle \alpha |\alpha \rangle =0\Leftrightarrow |\alpha \rangle =|0\rangle$ ${\ Displaystyle \ Langle \ alpha | \ alpha \ rangle = 0 \ Leftrightarrow | \ alpha \ rangle = | 0 \ rangle}$ ${\ Displaystyle \ Langle \ alpha | \ alpha \ rangle = 0 \ Leftrightarrow | \ alpha \ rangle = | 0 \ rangle}$

în cazul în care ultima proprietate este definiția normei . Norma unui vector este real și este indicată:

\|\alpha \|={\sqrt {\langle \alpha |\alpha \rangle }}

{\ Displaystyle \ | \ alpha \ | = {\ sqrt {\ Langle \ alpha | \ alpha \ rangle}}}

\ | \ Alpha \ | = {\ sqrt {\ Langle \ alpha | \ alpha \ rangle}}

Aceste proprietăți indică un spațiu complex care:

\langle c\beta |\alpha \rangle =c^{*}\langle \beta |\alpha \rangle

{\ Displaystyle \ Langle c \ beta | \ alpha \ rangle = c ^ {*} \ Langle \ beta | \ alpha \ rangle}

\ Langle c \ beta | \ alpha \ rangle = c ^ {*} \ Langle \ beta | \ alpha \ rangle

unde este $*$ ${\ displaystyle *}$ $*$ este operațiunea complexă de conjugare.

In plus, spatiul Hilbert este complet și separabil spațiu : aceste două proprietăți indică faptul că , în practică , există un set complet de vectori care formează o bază topologic numărabilă.

În mod similar cu cazul euclidian, putem alege o bază în complex spațiul Hilbert , spune o bază discretă:

\{|e_{i}\rangle \}=\left(|e_{1}\rangle ,|e_{2}\rangle ,\cdots \right)

{\ Displaystyle \ {| e_ {i} \ rangle \} = \ stânga (| e_ {1} \ rangle, | e_ {2} \ rangle, \ cdots \ dreapta)}

\ {| E_ {i} \ rangle \} = \ stânga (| e_ {1} \ rangle, | e_ {2} \ rangle, \ cdots \ dreapta)

cu:

\langle e_{i}|e_{j}\rangle =\delta _{ij}

{\ Displaystyle \ Langle e_ {i} | e_ {j} \ rangle = \ delta _ {ij}}

\ Langle e_ {i} | e_ {j} \ rangle = \ delta _ {{ij}}

starea ortonormalitate ( $\delta _{ij}$ ${\ displaystyle \ delta _ {ij}}$ $\ delta_ {ij}$ este delta Kronecker ). Putem reprezenta întotdeauna orice vector de stat ca o combinație liniară de astfel de vectori ortonormate de bază, cu coeficienți complecși adecvați:

|\alpha \rangle =\sum _{i}|e_{i}\rangle \langle e_{i}|\alpha \rangle =\sum _{i}c_{i}|e_{i}\rangle

{\ Displaystyle | \ alpha \ rangle = \ sum _ {i} | e_ {i} \ rangle \ Langle e_ {i} | \ alpha \ rangle = \ sum _ {i} C_ {i} | e_ {i} \ rangle}

| \ Alpha \ rangle = \ sum _ {{i}} | e_ {i} \ rangle \ Langle e_ {i} | \ alpha \ rangle = \ sum _ {i} C_ {i} | e_ {i} \ rangle

în mod similar, pentru orice sutien:

\langle \alpha |=\sum _{i}\langle \alpha |e_{i}\rangle \langle e_{i}|=\sum _{i}c_{i}^{*}\langle e_{i}|

{\ Displaystyle \ Langle \ alpha | = \ sum _ {i} \ Langle \ alpha | e_ {i} \ rangle \ Langle e_ {i} | = \ sum _ {i} C_ {i} ^ {*} \ Langle e_ {i} |}

\ Langle \ alpha | = \ sum _ {{i}} \ Langle \ alpha | e_ {i} \ rangle \ Langle e_ {i} | = \ sum _ {i} c _ {{i}} ^ {{* }} \ Langle e_ {i} |

în cazul în care (*) reprezintă conjugarea complexă și coeficienții pot fi obținuți din $c_{i}=\langle e_{i}|\alpha \rangle$ ${\ Displaystyle C_ {i} = \ Langle e_ {i} | \ alpha \ rangle}$ $C_ {i} = \ Langle e_ {i} | \ alpha \ rangle$ . Norma unui vector:

\langle \alpha |\alpha \rangle =|c_{1}|^{2}+|c_{2}|^{2}+\dots +|c_{n}|^{2}

{\ Displaystyle \ Langle \ alpha | \ alpha \ rangle = | C_ {1} | ^ {2} + | C_ {2} | ^ {2} + \ dots + | C_ {n} | ^ {2}}

\ Langle \ alpha | \ alpha \ rangle = | C_ {1} | ^ {2} + | C_ {2} | ^ {2} + \ dots + | C_ {n} | ^ {2}

Menționăm că orice set de bază poate fi plasat într-o formă de ortonormal˘a cu procedura Gram-Schmidt.

Formal, ket și sutien pot fi reprezentate prin matrici unicolonnar de tipul:

|\psi \rangle ={\begin{pmatrix}\langle e_{1}|\psi \rangle \\\langle e_{2}|\psi \rangle \\\vdots \end{pmatrix}}

{\ Displaystyle | \ psi \ rangle = {\ begin {pmatrix} \ Langle e_ {1} | \ psi \ rangle \\\ Langle e_ {2} | \ psi \ rangle \\\ vdots \ end {pmatrix}}}

| \ Psi \ rangle = {\ begin {pmatrix} \ Langle e_ {1} | \ psi \ rangle \\\ Langle e_ {2} | \ psi \ rangle \\\ vdots \ end {pmatrix}}

\langle \psi |={\begin{pmatrix}\langle e_{1}|\psi \rangle ^{*}&\langle e_{2}|\psi \rangle ^{*}&\cdots \end{pmatrix}}

{\ Displaystyle \ Langle \ psi | = {\ begin {pmatrix} \ Langle e_ {1} | \ psi \ rangle ^ {*} & \ Langle e_ {2} | \ psi \ rangle ^ {*} & \ cdots \ end {pmatrix}}}

\ Langle \ psi | = {\ begin {pmatrix} \ Langle e_ {1} | \ psi \ rangle ^ {*} & \ Langle e_ {2} | \ psi \ rangle ^ {*} & \ cdots \ end {pmatrix }}

Vedem că există o corespondență între două sutien și TGE:

c_{\alpha }|\alpha \rangle +c_{\beta }|\beta \rangle \,\,\leftrightarrow \,\,c_{\alpha }^{*}\langle \alpha |+c_{\beta }^{*}\langle \beta |

{\ Displaystyle c _ {\ alpha} | \ alpha \ rangle + c _ {\ beta} | \ beta \ rangle \, \, \ leftrightarrow \, \, c _ {\ alpha} ^ {*} \ Langle \ alpha | + C_ {\ beta} ^ {*} \ Langle \ beta |}

c _ {{\ alpha}} | \ alpha \ rangle + c _ {{\ beta}} | \ beta \ rangle \, \, \ leftrightarrow \, \, c _ {{\ alpha}} ^ {{*} } \ Langle \ alpha | + c _ {{\ beta}} ^ {{*}} \ Langle \ beta |

Aceste relații exprimă principiul superpoziției de stări cuantice: acest concept este pur cuantică și teoretice și dificil de interpretat: coeficienții $c_{i}=\langle e_{i}|\alpha \rangle$ ${\ Displaystyle C_ {i} = \ Langle e_ {i} | \ alpha \ rangle}$ $C_ {i} = \ Langle e_ {i} | \ alpha \ rangle$ reprezintă amplitudinea probabilității , astfel încât modulul său pătrat reprezintă probabilitatea statului $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ . În ceea ce privește dimensiunea probabilitate factorul $\langle e_{i}|\alpha \rangle$ ${\ Displaystyle \ Langle e_ {i} | \ alpha \ rangle}$ $\ Langle e_ {i} | \ alpha \ rangle$ are un anumit sens, dar în acest caz, baza aleasă trebuie să fie ortonormală, deoarece axioma de probabilitate trebuie să susțină că acesta trebuie să fie normalizat la unitate. În mod similar cu cazul geometrice putem defini produsul scalar al unui sutien $\langle \psi |$ ${\ Displaystyle \ Langle \ psi |}$ $\ Langle \ psi |$ și un TGE $|\varphi \rangle$ ${\ displaystyle | \ varphi \ rangle}$ $| \ varphi \ rangle$ definite în ceea ce privește o bază ortonormală atribuit:

\left\langle \psi |\varphi \right\rangle =\sum _{i}\left\langle \psi |e_{i}\right\rangle \left\langle e_{i}|\varphi \right\rangle

{\ Displaystyle \ stângă \ Langle \ psi | \ varphi \ dreapta \ rangle = \ sum _ {i} \ stângă \ Langle \ psi | e_ {i} \ dreapta \ rangle \ left \ Langle e_ {i} | \ varphi \ dreapta \ rangle}

\ Stângă \ Langle \ psi | \ varphi \ dreapta \ rangle = \ sum _ {i} \ stângă \ Langle \ psi | e_ {i} \ dreapta \ rangle \ left \ Langle e_ {i} | \ varphi \ dreapta \ rangle

Formal poate fi exprimată și ca produs al vectorului rând și vectorul coloană:

\langle \psi |\varphi \rangle ={\begin{pmatrix}\langle e_{1}|\psi \rangle ^{*}&\langle e_{2}|\psi \rangle ^{*}&\cdots \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\langle e_{1}|\varphi \rangle \\\langle e_{2}|\varphi \rangle \\\vdots \end{pmatrix}}

{\ Displaystyle \ Langle \ psi | \ varphi \ rangle = {\ begin {pmatrix} \ Langle e_ {1} | \ psi \ rangle ^ {*} & \ Langle e_ {2} | \ psi \ rangle ^ {*} & \ cdots \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} \ Langle e_ {1} | \ varphi \ rangle \\\ Langle e_ {2} | \ varphi \ rangle \\\ vdots \ end {pmatrix}}}

\ Langle \ psi | \ varphi \ rangle = {\ begin {pmatrix} \ Langle e_ {1} | \ psi \ rangle ^ {*} & \ Langle e_ {2} | \ psi \ rangle ^ {*} & \ cdots \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} \ Langle e_ {1} | \ varphi \ rangle \\\ Langle e_ {2} | \ varphi \ rangle \\\ vdots \ end {pmatrix}}

sau în mod alternativ, cu ajutorul coeficienților:

\left\langle \psi |\varphi \right\rangle =\sum _{i}\psi _{i}^{*}\varphi _{i}

{\ Displaystyle \ left \ Langle \ psi | \ varphi \ dreapta \ rangle = \ sum _ {i} \ psi _ {i} ^ {*} \ varphi _ {i}}

\ Left \ Langle \ psi | \ varphi \ dreapta \ rangle = \ sum _ {i} \ psi _ {i} ^ {*} \ varphi _ {i}

Dirac a propus să împartă termenul din partea stângă a expresiei în două părți, prima $\left\langle \psi \right|$ ${\ Displaystyle \ left \ Langle \ psi \ dreapta |}$ $\ Left \ Langle \ psi \ dreapta |$ numit sutien și al doilea $\left|\varphi \right\rangle$ ${\ Displaystyle \$ din $stânga | \ varphi \ dreapta \ rangle}$ $\ Left | \ varphi \ dreapta \ rangle$ numit ket. Prin urmare, produsul scalar reprezintă într-un fel amplitudinea de probabilitate în cazul în care baza este reprezentativă ortonormală: în caz contrar modulul pătrat al amplitudinii de probabilitate nu are o semnificație imediată de probabilitate, dar este, în orice caz, proporțional cu probabilitatea.

Operatori

Același subiect în detaliu: observabil .

Definim operatorul A o aplicație liniară , care reprezintă matematic orice obiect fizic care interacționează cu stările pe care le au în vedere, inclusiv echipamente experimentale, prin modificarea stării $|\psi \rangle$ ${\ displaystyle | \ psi \ rangle}$ $| \ psi \ rangle$ și transformarea în stat $A|\psi \rangle$ ${\ Displaystyle A | \ psi \ rangle}$ $A | \ psi \ rangle$ . Operatorul este complet definită dacă elementele sale sunt date cu privire la orice bază alegem $\{|e_{i}\rangle \}$ ${\ Displaystyle \ {| e_ {i} \ rangle \}}$ $\ {| E_ {i} \ rangle \}$ :

{\begin{aligned}A|e_{1}\rangle =A_{11}|e_{1}\rangle +A_{21}|e_{2}\rangle +\cdots \\A|e_{2}\rangle =A_{12}|e_{1}\rangle +A_{22}|e_{2}\rangle +\cdots \end{aligned}}

{\ Displaystyle {\ begin {aliniat} A | e_ {1} \ rangle = A_ {11} | e_ {1} \ rangle + A_ {21} | e_ {2} \ rangle + \ cdots \\ A | e_ { 2} \ rangle = A_ {12} | e_ {1} \ rangle + A_ {22} | + \ cdots \ end e_ {2} \ rangle {aliniat}}}

{\ Displaystyle {\ begin {aliniat} A | e_ {1} \ rangle = A_ {11} | e_ {1} \ rangle + A_ {21} | e_ {2} \ rangle + \ cdots \\ A | e_ { 2} \ rangle = A_ {12} | e_ {1} \ rangle + A_ {22} | + \ cdots \ end e_ {2} \ rangle {aliniat}}}

și așa mai departe, în cazul în care $A_{11}=\langle e_{1}|A|e_{1}\rangle$ ${\ A_ displaystyle {11} = \ Langle e_ {1} | A | e_ {1} \ rangle}$ $A _ {{11}} = \ Langle e_ {1} | A | e_ {1} \ rangle$ . De fapt, operatorul este atribuit atunci când sunt cunoscute numerele:

\langle e_{i}|A|e_{j}\rangle =A_{ij}

{\ Displaystyle \ Langle e_ {i} | A | e_ {j} \ rangle = A_ {ij}}

{\ Displaystyle \ Langle e_ {i} | A | e_ {j} \ rangle = A_ {ij}}

de fapt, un operator care acționează asupra statului $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ și îl transformă într-un alt stat $\psi$ ${\ displaystyle \ psi}$ $\ psi$ poate fi descrisă de:

\langle \psi |A|\varphi \rangle =\sum _{i,j}\langle \psi |e_{i}\rangle \langle e_{i}|A|e_{j}\rangle \langle e_{j}|\varphi \rangle

{\ Displaystyle \ Langle \ psi | A | \ varphi \ rangle = \ sum _ {i, j} \ Langle \ psi | e_ {i} \ rangle \ Langle e_ {i} | A | e_ {j} \ rangle \ E- Langle {j} | \ varphi \ rangle}

\ Langle \ psi | A | \ varphi \ rangle = \ sum _ {{i, j}} \ Langle \ psi | e_ {i} \ rangle \ Langle e_ {i} | A | e_ {j} \ rangle \ Langle e_ {j} | \ varphi \ rangle

Să verificați mai întâi modul în care un operator acționează asupra unei KET de stat, de asemenea, reprezentate în aceeași bază:

A|\varphi \rangle =\sum _{i,j}|e_{i}\rangle \langle e_{i}|A|e_{j}\rangle \langle e_{j}|\varphi \rangle

{\ Displaystyle A | \ varphi \ rangle = \ sum _ {i, j} | e_ {i} \ rangle \ Langle e_ {i} | A | e_ {j} \ rangle \ Langle e_ {j} | \ varphi \ rangle}

A | \ varphi \ rangle = \ sum _ {{i, j}} | e_ {i} \ rangle \ Langle e_ {i} | A | e_ {j} \ rangle \ Langle e_ {j} | \ varphi \ rangle

în același mod în care operatorul acționează pe un sutien:

\langle \psi |A=\sum _{i,j}\langle \psi |e_{i}\rangle \langle e_{i}|A|e_{j}\rangle \langle e_{j}|

{\ Displaystyle \ Langle \ psi | A = \ sum _ {i, j} \ Langle \ psi | e_ {i} \ rangle \ Langle e_ {i} | A | e_ {j} \ rangle \ Langle e_ {j} |}

\ Langle \ psi | A = \ sum _ {{i, j}} \ Langle \ psi | e_ {i} \ rangle \ Langle e_ {i} | A | e_ {j} \ rangle \ Langle e_ {j} |

Deci , în mod oficial un operator este bine reprezentat de o matrice $n\times n$ ${\ displaystyle n \ times n}$ $n \ ori n$ :

A={\begin{pmatrix}\langle e_{1}|A|e_{1}\rangle &\langle e_{1}|A|e_{2}\rangle &\cdots \\\langle e_{2}|A|e_{1}\rangle &\langle e_{2}|A|e_{2}\rangle &\cdots \\\vdots &\vdots &\ddots \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots \\A_{21}&A_{22}&\cdots \\\vdots &\vdots &\ddots \end{pmatrix}}=(A_{ij})

{\ Displaystyle A = {\ begin {pmatrix} \ Langle e_ {1} | A | e_ {1} \ rangle & \ Langle e_ {1} | A | e_ {2} \ rangle & \ cdots \\\ Langle e_ {2} | A | e_ {1} \ rangle & \ Langle e_ {2} | A | e_ {2} \ rangle & \ cdots \\\ vdots & \ vdots & \ ddots \ end {pmatrix}} = {\ începe {pmatrix} A_ {11} & A_ {12} & \ cdots \\ A_ {21} & A_ {22} & \ cdots \\\ vdots & \ vdots & \ ddots \ end {pmatrix}} = (A_ { ij})}

A = {\ begin {pmatrix} \ Langle e_ {1} | A | e_ {1} \ rangle & \ Langle e_ {1} | A | e_ {2} \ rangle & \ cdots \\\ Langle e_ {2} | A | e_ {1} \ rangle & \ Langle e_ {2} | A | e_ {2} \ {pmatrix}} = {\ begin rangle & \ cdots \\\ vdots & \ vdots & \ ddots \ end {pmatrix } A _ {{11}} & A _ {{12}} & \ cdots \\ A _ {{21}} & A _ {{22}} & \ cdots \\\ vdots & \ vdots & \ ddots \ end {pmatrix}} = (A _ {{ij}})

Putem calcula apoi amplitudinea probabilității de trecere de la stat $A|\psi \rangle$ ${\ Displaystyle A | \ psi \ rangle}$ $A | \ psi \ rangle$ La stat $|\varphi \rangle$ ${\ displaystyle | \ varphi \ rangle}$ $| \ varphi \ rangle$ vom scrie $\left\langle \psi |A|\varphi \right\rangle$ ${\ Displaystyle \ left \ Langle \ psi | A | \ varphi \ dreapta \ rangle}$ $\ Left \ Langle \ psi | A | \ varphi \ dreapta \ rangle$ , De asemenea , numit matrice element A între ψ și φ. Prin descompunerea ψ și φ în stări de bază, putem calcula elementele de matrice $\left\langle e_{i}|A|e_{j}\right\rangle$ ${\ Displaystyle \ left \ Langle e_ {i} | A | e_ {j} \ dreapta \ rangle}$ $\ Left \ Langle e_ {i} | A | e_ {j} \ dreapta \ rangle$ putem calcula amplitudinile rezultate pe $e_{i}$ ${\ displaystyle e_ {i}}$ $e_ {i}$ din pasajul în A oricărui stat exprimat în $e_{j}$ ${\ Displaystyle e_ {j}}$ $and_j$ .

Un caz particular al operatorului este operatorul de identitate , a cărei acțiune este de a părăsi vectorul de stat neschimbat:

\langle \psi |I|\varphi \rangle =\langle \psi |\varphi \rangle

{\ Displaystyle \ Langle \ psi | I | \ varphi \ rangle = \ Langle \ psi | \ varphi \ rangle}

\ Langle \ psi | I | \ varphi \ rangle = \ Langle \ psi | \ varphi \ rangle

folosind operatorul de identitate vedem că putem exprima vectorii de bază:

\sum _{i}|e_{i}\rangle \langle e_{i}|=I

{\ Displaystyle \ sum _ {i} | e_ {i} \ rangle \ Langle e_ {i} | = I}

\ Sum _ {i} | e_ {i} \ rangle \ Langle e_ {i} | = I.

a declarat relația completitudine: exprimă faptul că baza de vector trebuie să fie completă, adică, fiecare vector trebuie sa fie reprezentabile prin intermediul unui număr finit sau infinit de vectori de bază.

operatorii de produse

Operatorii care ne interesează sunt cele liniare, adică cei pentru care sunt valabile:

A(|\alpha \rangle +|\beta \rangle )=A|\alpha \rangle +A|\beta \rangle

{\ Displaystyle A (| \ alpha \ rangle + | \ beta \ rangle) = A | \ alpha \ rangle + A | \ beta \ rangle}

{\ Displaystyle A (| \ alpha \ rangle + | \ beta \ rangle) = A | \ alpha \ rangle + A | \ beta \ rangle}

A(a|\alpha \rangle )=aA|\alpha \rangle

{\ A displaystyle (a | \ alpha \ rangle) = aA | \ alpha \ rangle}

A (a | \ alpha \ rangle) = aA | \ alpha \ rangle

Acum, să presupunem că vom aplica, ulterior, doi operatori pe o stare inițială $|\varphi \rangle$ ${\ displaystyle | \ varphi \ rangle}$ $| \ varphi \ rangle$ și final $\langle \psi |$ ${\ Displaystyle \ Langle \ psi |}$ $\ Langle \ psi |$ de obicei, definit într-o bază comună ortonormală:

C=B\cdot A

{\ Displaystyle C = B \ cdot A}

C = B \ cdot A

apoi aplicarea ulterioară a celor doi operatori:

\langle \psi |C|\varphi \rangle =\sum _{i}\langle \psi |B|e_{i}\rangle \langle e_{i}|A|\varphi \rangle

{\ Displaystyle \ Langle \ psi | C | \ varphi \ rangle = \ sum _ {i} \ Langle \ psi | B | e_ {i} \ rangle \ Langle e_ {i} | A | \ varphi \ rangle}

\ Langle \ psi | C | \ varphi \ rangle = \ sum _ {i} \ Langle \ psi | B | e_ {i} \ rangle \ Langle e_ {i} | A | \ varphi \ rangle

sau:

\langle e_{j}|C|e_{k}\rangle =\sum _{i}\langle e_{j}|B|e_{i}\rangle \langle e_{i}|A|e_{k}\rangle =C_{jk}

{\ Displaystyle \ Langle e_ {j} | Suma e_ {k} \ rangle = \ _ {i} \ Langle e_ {j} | | C B | e_ {i} \ rangle \ Langle e_ {i} | A | e_ {k} \ rangle = C_ {jk}}

{\ Displaystyle \ Langle e_ {j} | Suma e_ {k} \ rangle = \ _ {i} \ Langle e_ {j} | | C B | e_ {i} \ rangle \ Langle e_ {i} | A | e_ {k} \ rangle = C_ {jk}}

Elementele C pot fi scrise compact:

C_{jk}=\sum _{i=1}^{n}A_{ij}\cdot B_{ki}

{\ C_ displaystyle {jk} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} A_ {ij} \ cdot B_ {ki}}

{\ C_ displaystyle {jk} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} A_ {ij} \ cdot B_ {ki}}

Rețineți că , în general , produsul a doi operatori nu este comutativă :

A\cdot B\neq B\cdot A

{\ Displaystyle A \ cdot B \ neq B \ cdot A}

A \ cdot B \ neq B \ cdot A

iar acest fapt impune o serie de consecințe notabile în mecanica cuantică.

Operatorii și matrici

Un operator liniar poate fi reprezentat cu o matrice. Să luăm cazul unei matrice pătrate $n\times n$ ${\ displaystyle n \ times n}$ $n \ ori n$ asa de:

A={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&\dots &A_{1n}\\A_{21}&A_{22}&\dots &A_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{n1}&A_{n2}&\dots &A_{nn}\end{pmatrix}}

{\ Displaystyle A = {\ begin {pmatrix} A_ {11} & A_ {12} & \ dots & A_ {1n} \\ A_ {21} & A_ {22} & \ dots & A_ {2n} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ A_ {n1} & A_ {n2} & \ dots & A_ {nn} \ end {pmatrix}}}

A = {\ begin {pmatrix} A _ {{11}} & A _ {{12}} & \ dots & A _ {{1n}} \\ A _ {{21}} & A _ {{22} } & \ dots & A _ {{2n}} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ A _ {{n1}} & A _ {{n2}} & \ dots & A _ {{ nn}} \ end {pmatrix}}

În acest caz, este întotdeauna posibil să se facă produsul a două matrici, deoarece numărul de rânduri de unul este întotdeauna egal cu numărul de coloane celuilalt, după cum sa văzut deja. Suntem capabili de a defini unele proprietăți indispensabile în mecanica cuantică pornind de la această matrice. Matricea obținută de la A prin schimbul de rânduri cu coloane se numește un operator transpus sau transpus matrice:

A^{T}={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{21}&\dots &A_{n1}\\A_{12}&A_{22}&\dots &A_{n2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{1n}&A_{2n}&\dots &A_{nn}\end{pmatrix}}

{\ Displaystyle A ^ {T} = {\ begin {pmatrix} A_ {11} & A_ {21} & \ dots & A_ {n1} \\ A_ {12} & A_ {22} & \ dots & A_ {n2 } \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ A_ {1n} & A_ {2n} & \ dots & A_ {nn} \ end {pmatrix}}}

A ^ {T} = {\ begin {pmatrix} A _ {{11}} & A _ {{21}} & \ dots & A _ {{n1}} \\ A _ {{12}} & A _ {{22}} & \ dots & A _ {{n2}} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ A _ {{1n}} & A _ {{2n}} & \ dots & A _ {{nn}} \ end {pmatrix}}

În cazul în care o matrice este egal cu transpusa ei se spune să fie simetrice :

A=A^{T}

{\ Displaystyle A = A ^ {T}}

A = A ^ {T}

,

dacă în schimb este egal cu matricea sa schimbat în semn că se spune că este antisimetric :

A=-A^{T}

{\ Displaystyle A = -A ^ {T}}

A = -A ^ {T}

.

Se aplică la produsul:

(A\cdot B)^{T}=B^{T}\cdot A^{T}

{\ Displaystyle (A \ cdot B) ^ {T} = B ^ {T} \ cdot A ^ {T}}

(A \ cdot B) ^ {T} = B ^ {T} \ cdot A ^ {T}

.

O matrice complexă conjugată este definită ca matricea obținută de la A cu elemente complexe conjugate:

A^{*}={\begin{pmatrix}A_{11}^{*}&A_{12}^{*}&\dots &A_{1n}^{*}\\A_{21}^{*}&A_{22}^{*}&\dots &A_{2n}^{*}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{n1}^{*}&A_{n2}^{*}&\dots &A_{nn}^{*}\end{pmatrix}}

{\ Displaystyle A ^ {*} = {\ begin {pmatrix} A_ {11} ^ {*} & A_ {12} ^ {*} & \ dots & A_ {1n} ^ {*} \\ A_ {21} ^ {*} & A_ {22} ^ {*} & \ dots & A_ {2n} ^ {*} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ A_ {n1} ^ {*} & A_ {n2} ^ {*} & \ dots & A_ {nn} ^ {*} \ end {pmatrix}}}

A ^ {*} = {\ begin {pmatrix} A _ {{11}} ^ {{*}} & A _ {{12}} ^ {{*}} & \ dots & A _ {{1n}} ^ {{*}} \\ A _ {{21}} ^ {{*}} & A _ {{22}} ^ {{*}} & \ dots & A _ {{2n}} ^ {{* }} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ A _ {{n1}} ^ {{*}} & A _ {{n2}} ^ {{*}} & \ dots & A _ {{nn}} ^ {{*}} \ end {pmatrix}}

Putem spune că o matrice este real în cazul în care este egal cu conjugat său complex:

A=A^{*}

{\ displaystyle A = A ^ {*}}

A = A ^ {*}

,

noi spunem că este imaginar dacă are toate elementele imaginare, adică în cazul în care:

A=-A^{*}

{\ Displaystyle A = -A ^ {*}}

A = -A ^ {*}

.

Un conjugat transpus sau o matrice conjugată hermitian este definită ca matricea obținută din A prin luarea elementelor transpuse A și luând complexele sale conjugate:

A^{\dagger }=(A^{T})^{*}=(A^{*})^{T}={\begin{pmatrix}A_{11}^{*}&A_{21}^{*}&\dots &A_{n1}^{*}\\A_{12}^{*}&A_{22}^{*}&\dots &A_{n2}^{*}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{1n}^{*}&A_{2n}^{*}&\dots &A_{nn}^{*}\end{pmatrix}}

{\ Displaystyle A ^ {\ dagger} = (A ^ {T}) ^ {*} = (A ^ {*}) ^ {T} = {\ begin {pmatrix} A_ {11} ^ {*} & A_ {21} ^ {*} & \ dots & A_ {n1} ^ {*} \\ A_ {12} ^ {*} & A_ {22} ^ {*} & \ dots & A_ {n2} ^ {*} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ A_ {1n} ^ {*} & A_ {2n} ^ {*} & \ dots & A_ {nn} ^ {*} \ end {pmatrix}} }

A ^ {{\ dagger}} = (A ^ {T}) ^ {*} = (A ^ {*}) ^ {T} = {\ begin {pmatrix} A _ {{11}} ^ {{* }} & A _ {{21}} ^ {{*}} & \ dots & A _ {{n1}} ^ {{*}} \\ A _ {{12}} ^ {{*}} & A _ {{22}} ^ {{*}} & \ dots & A _ {{n2}} ^ {{*}} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ A _ {{1n} } ^ {{*}} & A _ {{2n}} ^ {{*}} & \ dots & A _ {{nn}} ^ {{*}} \ end {pmatrix}}

Hermitian (sau auto - adăugată matrice) este definită ca matricea care are:

A=A^{\dagger }

{\ displaystyle A = A ^ {\ dagger}}

A = A ^ {{\ dagger}}

și anti-Hermitian care , pentru care:

A=-A^{\dagger }

{\ Displaystyle A = -A ^ {\ dagger}}

A = -A ^ {{\ dagger}}

Pentru produsul a doua matrici:

(A\cdot B)^{\dagger }=B^{\dagger }\cdot A^{\dagger }

{\ Displaystyle (A \ cdot B) ^ {\ dagger} = B ^ {\ dagger} \ cdot A ^ {\ dagger}}

(A \ cdot B) ^ {{\ dagger}} = B ^ {{\ dagger}} \ cdot A ^ {{\ dagger}}

.

Definim matricea inversă a A, matricea $A^{-1}$ ${\ displaystyle A ^ {- 1}}$ $A ^ {- 1}$ astfel încât:

A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=I

{\ Displaystyle A \ cdot A ^ {- 1} = A ^ {- 1} \ cdot A = I}

A \ cdot A ^ {{- 1}} = A ^ {{- 1}} \ cdot A = I

Matricea inversă există numai dacă A este inversabilă : o condiție necesară și suficientă pentru A să fie inversabilă este ca determinant al matricei este diferit de zero. Apoi, matricea inversă este:

A^{-1}={\frac {|C|}{\det A}}

{\ Displaystyle A ^ {- 1} = {\ frac {| C |} {\ det A}}}

{\ Displaystyle A ^ {- 1} = {\ frac {| C |} {\ det A}}}

unde este $|C|$ ${\ Displaystyle | C |}$ $| C |$ este matricea cofactori, obținută prin schimb fiecare element $A_{ij}$ ${\ Displaystyle A_ {ij}}$ $A _ {{ij}}$ cu determinantul submatricea obținut prin eliminarea i-lea rând și j-lea coloană. Se aplică la produsul:

(A\cdot B)^{-1}=B^{-1}\cdot A^{-1}

{\ Displaystyle (A \ cdot B) ^ {- 1} = B ^ {- 1} \ cdot A ^ {- 1}}

(A \ cdot B) ^ {{- 1}} = B ^ {{- 1}} \ cdot A ^ {{- 1}}

O matrice unitară este definită ca matricea astfel încât:

A^{-1}=A^{\dagger }

{\ Displaystyle A ^ {- 1} = A ^ {\ dagger}}

A ^ {{- 1}} = A ^ {{\ dagger}}

Schimbarea bazelor ortonormate

Același subiect în detaliu: matrice Schimbare de bază .

Modificările de baze ortonormate sunt cele de interes în mecanica cuantică. Să presupunem că dorim să trecem de la baza ortonormală vechi $\{|e_{i}\rangle \}$ ${\ Displaystyle \ {| e_ {i} \ rangle \}}$ $\ {| E_ {i} \ rangle \}$ la noua bază ortonormală $\{|f_{i}\rangle \}$ ${\ Displaystyle \ {| f_ {i} \ rangle \}}$ $\ {| F_ {i} \ rangle \}$ . Apoi, trebuie să ne exprimăm elementele de bază vechi ca combinații liniare ale noii bază:

{\begin{aligned}|e_{1}\rangle &=S_{11}|f_{1}\rangle +S_{21}|f_{2}\rangle +\dots +S_{n1}|f_{n}\rangle \\|e_{2}\rangle &=S_{12}|f_{1}\rangle +S_{22}|f_{2}\rangle +\dots +S_{n2}|f_{n}\rangle \\\vdots \\|e_{n}\rangle &=S_{1n}|f_{1}\rangle +S_{2n}|f_{2}\rangle +\dots +S_{nn}|f_{n}\rangle \end{aligned}}

{\ Displaystyle {\ begin {aliniat} | e_ {1} \ rangle & = S_ {11} | f_ {1} \ rangle + S_ {21} | f_ {2} \ rangle + \ dots + S_ {n1} | f_ {n} \ rangle \\ | e_ {2} \ rangle & = S_ {12} | f_ {1} \ rangle + S_ {22} | f_ {2} \ rangle + \ dots + S_ {n2} | f_ {n} \ rangle \\\ vdots \\ | e_ {n} \ rangle & = S_ {1n} | f_ {1} \ rangle + S_ {2n} | f_ {2} \ rangle + \ dots + S_ {nn } | f_ {n} \ rangle \ end {aliniat}}}

{\ Displaystyle {\ begin {aliniat} | e_ {1} \ rangle & = S_ {11} | f_ {1} \ rangle + S_ {21} | f_ {2} \ rangle + \ dots + S_ {n1} | f_ {n} \ rangle \\ | e_ {2} \ rangle & = S_ {12} | f_ {1} \ rangle + S_ {22} | f_ {2} \ rangle + \ dots + S_ {n2} | f_ {n} \ rangle \\\ vdots \\ | e_ {n} \ rangle & = S_ {1n} | f_ {1} \ rangle + S_ {2n} | f_ {2} \ rangle + \ dots + S_ {nn } | f_ {n} \ rangle \ end {aliniat}}}

pentru orice set de numere $S_{ji}$ ${\ Displaystyle S_ {ji}}$ $S _ {{ji}}$ . Rețineți că acestea sunt transpuse. Compact:

|e_{j}\rangle =\sum _{i=1}^{n}S_{ij}|f_{i}\rangle

{\ Displaystyle | e_ {j} \ rangle = \ sum _ {i = 1} ^ {n} S_ {ij} | f_ {i} \ rangle}

| E_ {j} \ rangle = \ sum _ {{i = 1}} ^ {{n}} S _ {{ij}} | f_ {i} \ rangle

Produs extern

Vedem că, în general, este posibil, cel reprezentat de un alt tip de produs:

|\alpha \rangle \langle \beta |

{\ Displaystyle | \ alpha \ rangle \ Langle \ beta |}

| \ Alpha \ rangle \ Langle \ beta |

este numit produsul extern pentru a se distinge de produsul scalar, care este numit mai corect produsul intern. Produsul extern este un operator ale cărui elemente de matrice sunt reprezentate de:

|\alpha \rangle \langle \beta |={\begin{pmatrix}\langle e_{1}|\alpha \rangle \langle e_{1}|\beta \rangle ^{*}&\langle e_{1}|\alpha \rangle \langle e_{2}|\beta \rangle ^{*}&\cdots \\\langle e_{2}|\alpha \rangle \langle e_{1}|\beta \rangle ^{*}&\langle e_{2}|\alpha \rangle \langle e_{2}|\beta \rangle ^{*}&\cdots \\\vdots &\vdots &\ddots \end{pmatrix}}

{\ Displaystyle | \ alpha \ rangle \ Langle \ beta | = {\ begin {pmatrix} \ Langle e_ {1} | \ alpha \ rangle \ Langle e_ {1} | \ beta \ rangle ^ {*} & \ Langle e_ {1} | \ alpha \ rangle \ Langle e_ {2} | \ beta \ rangle ^ {*} & \ cdots \\\ Langle e_ {2} | \ alpha \ rangle \ Langle e_ {1} | \ beta \ rangle ^ {*} & \ Langle e_ {2} | \ alpha \ rangle \ Langle e_ {2} | \ beta \ rangle ^ {*} & \ cdots \\\ vdots & \ vdots & \ ddots \ end {pmatrix}} }

| \ Alpha \ rangle \ Langle \ beta | = {\ begin {pmatrix} \ Langle e_ {1} | \ alpha \ rangle \ Langle e_ {1} | \ beta \ rangle ^ {*} & \ Langle e_ {1} | \ alpha \ rangle \ Langle e_ {2} | \ beta \ rangle ^ {*} & \ cdots \\\ Langle e_ {2} | \ alpha \ rangle \ Langle e_ {1} | \ beta \ rangle ^ {* } & \ Langle e_ {2} | \ alpha \ rangle \ Langle e_ {2} | \ beta \ rangle ^ {*} & \ cdots \\\ vdots & \ vdots & \ ddots \ end {pmatrix}}

Exemple

Luați de exemplu , o particulă cu rotire 1/2, electron . Avem doar 2 stări de bază posibile: spin pe ( $|+\rangle$ ${\ Displaystyle | + \ rangle}$ $| + \ Rangle$ ) Și spin în jos ( $|-\rangle$ ${\ Displaystyle | - \ rangle}$ $| - \ rangle$ ). Prin urmare, operatorul A ar fi

\left\langle i|A|j\right\rangle =\left({\begin{matrix}{\langle +|A|+\rangle },{\langle +|A|-\rangle }\\{\langle -|A|+\rangle },{\langle -|A|-\rangle }\\\end{matrix}}\right)

{\ Displaystyle \

din

stânga \ Langle i | A | j \ dreapta \ rangle = \ stânga ({\ begin {matrix} {\ Langle + | A | + \ rangle}, {\ Langle + | A | - \ rangle} \ \ {\ Langle - | A | + \ rangle}, {\ Langle - | A | - \ rangle} \\\ end {matrix}} \ dreapta)}

\ Stângă \ Langle i | A | j \ dreapta \ rangle = \ stânga ({\ begin {matrix} {\ Langle + | A | + \ rangle}, {\ Langle + | A | - \ rangle} \\ {\ Langle - | A | + \ rangle}, {\ Langle - | A | - \ rangle} \\\ end {matrix}} \ dreapta)

Un operator special este acela al temporal evoluției. Dacă luăm în considerare electronul la momentul t ₁ într - o anumită stare (+ sau -), va avea o anumită probabilitate de a fi, la un moment _t2 ulterior primei, într - o anumită stare (+ sau -). Fiecare dintre cele patru posibilități vor fi reprezentate de notație matrice următoarea:

\left\langle i|U(t_{1},t_{2})|j\right\rangle =\left({\begin{matrix}{\langle +|U(t_{1},t_{2})|+\rangle },{\langle +|U(t_{1},t_{2})|-\rangle }\\{\langle -|U(t_{1},t_{2})|+\rangle },{\langle -|U(t_{1},t_{2})|-\rangle }\\\end{matrix}}\right)

{\ Displaystyle \

din

stânga \ Langle i | U (T_ {1}, T_ {2}) | j \ dreapta \ rangle = \ stânga ({\ begin {matrix} {\ Langle + | U (T_ {1}, T_ {2}) | + \ rangle}, {\ Langle + | U (T_ {1}, T_ {2}) | - \ rangle} \\ {\ Langle - | U (T_ {1}, T_ {2} ) | + \ rangle}, {\ Langle - | U (T_ {1}, T_ {2}) | - \ rangle} \\\ end {matrix}} \ dreapta)}

\ Stângă \ Langle i | U (T_ {1}, T_ {2}) | j \ dreapta \ rangle = \ stânga ({\ begin {matrix} {\ Langle + | U (T_ {1}, T_ {2} ) | + \ rangle}, {\ Langle + | U (T_ {1}, T_ {2}) | - \ rangle} \\ {\ Langle - | U (T_ {1}, T_ {2}) | + \ rangle}, {\ Langle - | U (T_ {1}, T_ {2}) | - \ rangle} \\\ end {matrix}} \ dreapta)

Limita pentru ₁ t → -∞ și t ₂ → + ∞ este un caz special: în acest caz, operatorul evoluției în timp se numește matricea S (de împrăștiere ) și introduce teoria propagatori .

Notația în matematică

În fizică, mediul considerat atunci când se utilizează notația sutien-ket este un spațiu Hilbert .

Este ${\mathcal {H}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$ ${\ mathcal H}$ un spațiu Hilbert e $(\cdot ,\cdot )$ ${\ displaystyle (\ cdot, \ cdot)}$ ${\ displaystyle (\ cdot, \ cdot)}$ produsul său intern. Un vector $h\in {\mathcal {H}}$ ${\ Displaystyle h \ în {\ mathcal {H}}}$ ${\ Displaystyle h \ în {\ mathcal {H}}}$ este notat ca ket $|h\rangle \in {\mathcal {H}}$ ${\ Displaystyle | h \ rangle \ în {\ mathcal {H}}}$ ${\ Displaystyle | h \ rangle \ în {\ mathcal {H}}}$ în fizică. Este ${\mathcal {H}}^{*}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {H}} ^ {*}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {H}} ^ {*}}$ spațiul dublu de ${\mathcal {H}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$ ${\ mathcal H}$ . De sine ${\mathcal {H}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$ ${\ mathcal H}$ este spațiu finit-dimensional sau dublă ${\mathcal {H}}^{*}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {H}} ^ {*}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {H}} ^ {*}}$ este de asemenea topologice, pentru reprezentarea teorema lui Riesz există un izomorfism $J:{\mathcal {H}}\rightarrow {\mathcal {H}}^{*}$ ${\ J displaystyle: {\ mathcal {H}} \ rightarrow {\ mathcal {H}} ^ {*}}$ ${\ J displaystyle: {\ mathcal {H}} \ rightarrow {\ mathcal {H}} ^ {*}}$ , Adică, orice funcțională liniară $\phi \in {\mathcal {H}}^{*}$ $\phi \in {\mathcal {H}}^{*}$ $\phi \in {\mathcal {H}}^{*}$ si può scrivere nella forma

\phi (h)=(h,g)\quad \forall h\in {\mathcal {H}}

\phi (h)=(h,g)\quad \forall h\in {\mathcal {H}}

\phi (h)=(h,g)\quad \forall h\in {\mathcal {H}}

mediante un unico $g\in {\mathcal {H}}$ $g\in {\mathcal {H}}$ $g\in {\mathcal {H}}$ , e per tale motivo si può scrivere $\phi =\phi _{g}$ $\phi =\phi _{g}$ $\phi =\phi _{g}$ . L'elemento duale $\phi _{h}\in {\mathcal {H}}^{*}$ $\phi _{h}\in {\mathcal {H}}^{*}$ $\phi _{h}\in {\mathcal {H}}^{*}$ è denotato con bra $\langle h|\in {\mathcal {H}}^{*}$ $\langle h|\in {\mathcal {H}}^{*}$ $\langle h|\in {\mathcal {H}}^{*}$ in fisica. Quindi la scrittura $\langle h|g\rangle$ $\langle h|g\rangle$ $\langle h|g\rangle$ corrisponde alle notazioni matematiche $(\phi _{h},g)=\phi _{h}(g)=(h,g)$ $(\phi _{h},g)=\phi _{h}(g)=(h,g)$ $(\phi _{h},g)=\phi _{h}(g)=(h,g)$ .

Note

^ PAM Dirac, A new notation for quantum mechanics , in Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , vol. 35, 1º gennaio 1939, p. 416, DOI : 10.1017/S0305004100021162 . URL consultato il 26 novembre 2016 .

Voci correlate

Simboli HTML

Nel linguaggio HTML , i simboli per il bra e il ket sono codificati da ⟨ e ⟩, e corrispondono ai codici #9001 e #9002

Altri progetti

Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su Notazione bra-ket

Portale Fisica : accedi alle voci di Wikipedia che trattano di Fisica

[1] PAM Dirac, A new notation for quantum mechanics , in Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , vol. 35, 1º gennaio 1939, p. 416, DOI : 10.1017/S0305004100021162 . URL consultato il 26 novembre 2016 .

[1]

V · D · M Meccanica quantistica
Formalismo matematico	Notazione bra-ket · Spazio di Hilbert ·Postulati della meccanica quantistica · Operatore normale · Interferenza (fisica)
Fondamenti e principi	Principio di indeterminazione di Heisenberg · Principio di complementarità · Funzione d'onda · Collasso della funzione d'onda · Interpretazione di Copenaghen · Spin · Vecchia teoria dei quanti · Interpretazione di Bohm
Operatori	Operatore impulso · Operatore posizione · Operatore hamiltoniano · Operatore momento angolare · Operatore densità
Formulazioni	Meccanica ondulatoria · Meccanica delle matrici · Integrale sui cammini
Equazioni	Equazione di Dirac · Equazione di Klein-Gordon · Equazione di Pauli · Equazione di Schrödinger
Paradossi	Paradosso del gatto di Schrödinger · Paradosso di Einstein-Podolsky-Rosen · Suicidio quantistico