Seria Neumann

În matematică, o serie Neumann este o serie de forme:

\sum _{n=0}^{\infty }T^{n}

{\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} T ^ {n}}

{\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} T ^ {n}}

unde este $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este operator . Aceasta este o generalizare a seriei geometrice .

Seria poartă numele matematicianului Carl Gottfried Neumann , care a folosit-o în 1877 în contextul teoriei potențiale . Seria Neumann este utilizată în analiza funcțională . Acesta stă la baza seriei Liouville-Neumann , care este utilizată pentru a rezolva ecuațiile integrale Fredholm . De asemenea, este important pentru studiul spectrului operatorilor delimitați .

Proprietate

Este $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ un operator limitat pe un spațiu reglementat $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ . Dacă seria Neumann converge în norma operatorului , atunci $Id-T$ ${\ displaystyle Id-T}$ ${\ displaystyle Id-T}$ este inversabil, iar inversul său este suma seriei:

(\mathrm {Id} -T)^{-1}=\sum _{n=0}^{\infty }T^{n}

{\ displaystyle (\ mathrm {Id} -T) ^ {- 1} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} T ^ {n}}

{\ displaystyle (\ mathrm {Id} -T) ^ {- 1} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} T ^ {n}}

Un caz în care convergența este garantată este atunci când $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este un spațiu al lui Banach e $||T||<1$ ${\ displaystyle || T || <1}$ ${\ displaystyle || T || <1}$ în norma operativă. Cu toate acestea, există rezultate care dau condiții mai slabe în care converge seria.

Un corolar este acela că setul de operatori inversabili între două spații Banach $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ Și ${B.}^{'}$ ${\ displaystyle B '}$ ${\ displaystyle B '}$ este deschis în topologia indusă de operatorul normei. Așa să fie $S:B\to B'$ ${\ displaystyle S: B \ to B '}$ ${\ displaystyle S: B \ to B '}$ un operator inversabil și ambele $T:B\to B'$ ${\ displaystyle T: B \ to B '}$ ${\ displaystyle T: B \ to B '}$ un alt operator. De sine $|S-T|<|S^{-1}|^{-1}$ ${\ displaystyle | ST | <| S ^ {- 1} | ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle | S-T | <| S ^ {- 1} | ^ {- 1}}$ , apoi și $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este inversabil. Acest lucru rezultă din scris $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ ca:

T=S(\mathrm {Id} -(\mathrm {Id} -S^{-1}T))

{\ displaystyle T = S (\ mathrm {Id} - (\ mathrm {Id} -S ^ {- 1} T))}

{\ displaystyle T = S (\ mathrm {Id} - (\ mathrm {Id} -S ^ {- 1} T))}

și aplicarea rezultatului secțiunii anterioare la al doilea factor. Norma de $T^{-1}$ ${\ displaystyle T ^ {- 1}}$ $T ^ {{- 1}}$ poate fi limitat de:

|T^{-1}|\leq {\tfrac {1}{1-q}}|S^{-1}|\quad {\text{dove}}\quad q=|S-T|\,|S^{-1}|

{\ displaystyle | T ^ {- 1} | \ leq {\ tfrac {1} {1-q}} | S ^ {- 1} | \ quad {\ text {where}} \ quad q = | ST | \ , | S ^ {- 1} |}

{\ displaystyle | T ^ {- 1} | \ leq {\ tfrac {1} {1-q}} | S ^ {- 1} | \ quad {\ text {where}} \ quad q = | ST | \ , | S ^ {- 1} |}

Bibliografie

( EN ) Dirk Werner, Funktionalanalysis , Springer Verlag, 2005, ISBN 3-540-43586-7 .
( EN ) Smithies, Integral equations , Cambridge University Press (1970) pp. Capitolul. II
( EN ) N. Suzuki, Despre convergența seriei Neumann în matematica spațială Banach . Ann. , 220 (1976) pp. 143–146
( EN ) HW Engl, O metodă de aproximare succesivă pentru rezolvarea ecuațiilor de al doilea fel cu rază spectrală arbitrară J. Integral Eq. , 8 (1985) pp. 239–247
( EN ) IC Gohberg, S. Goldberg, Teoria operatorilor de bază , Birkhäuser (1981)
( EN ) AE Taylor, DC Lay, Introducere în analiza funcțională , Wiley (1980) pp. Capitolul. 5

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) BV Khvedelidze, seria Neumann , în Enciclopedia Matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică