Ecuația integrală Fredholm

În matematică , ecuația integrală Fredholm este o ecuație integrală a cărei soluție stă la baza teoriei Fredholm , care studiază operatorii Fredholm și nucleii Fredholm .

Ecuația de primul fel

O ecuație neomogenă Fredholm de primul fel are forma:

g(t)=\int _{a}^{b}K(t,s)f(s)\,\mathrm {d} s

{\ displaystyle g (t) = \ int _ {a} ^ {b} K (t, s) f (s) \, \ mathrm {d} s}

{\ displaystyle g (t) = \ int _ {a} ^ {b} K (t, s) f (s) \, \ mathrm {d} s}

iar teoria lui Fredholm studiază modul de găsire a funcției $f(s)$ ${\ displaystyle f (s)}$ ${\ displaystyle f (s)}$ plecând de la nucleul integral $K(t,s)$ ${\ displaystyle K (t, s)}$ ${\ displaystyle K (t, s)}$ și funcție $g(t)$ ${\ displaystyle g (t)}$ $g (t)$ . Ecuațiile integrale Fredholm sunt caracterizate prin extreme de integrare constante (spre deosebire de ecuația integrală Volterra , de exemplu).

În cazul în care $K(t,s)=K(t-s)$ ${\ displaystyle K (t, s) = K (ts)}$ ${\ displaystyle K (t, s) = K (t-s)}$ iar extremele integrării sunt $\pm \infty$ ${\ displaystyle \ pm \ infty}$ $\ pm \ infty$ , membrul din dreapta poate fi scris ca convoluția lui $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ Și $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ , astfel încât soluția să fie dată de:

f(t)={\mathcal {F}}_{\omega }^{-1}\left[{{\mathcal {F}}_{t}[g(t)](\omega ) \over {\mathcal {F}}_{t}[K(t)](\omega )}\right]=\int _{-\infty }^{\infty }{{\mathcal {F}}_{t}[g(t)](\omega ) \over {\mathcal {F}}_{t}[K(t)](\omega )}e^{2\pi i\omega t}\mathrm {d} \omega

{\ displaystyle f (t) = {\ mathcal {F}} _ {\ omega} ^ {- 1} \ left [{{\ mathcal {F}} _ {t} [g (t)] (\ omega) \ over {\ mathcal {F}} _ {t} [K (t)] (\ omega)} \ right] = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {{\ mathcal {F}} _ {t} [g (t)] (\ omega) \ over {\ mathcal {F}} _ {t} [K (t)] (\ omega)} e ^ {2 \ pi i \ omega t} \ mathrm {d} \ omega}

{\ displaystyle f (t) = {\ mathcal {F}} _ {\ omega} ^ {- 1} \ left [{{\ mathcal {F}} _ {t} [g (t)] (\ omega) \ over {\ mathcal {F}} _ {t} [K (t)] (\ omega)} \ right] = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {{\ mathcal {F}} _ {t} [g (t)] (\ omega) \ over {\ mathcal {F}} _ {t} [K (t)] (\ omega)} e ^ {2 \ pi i \ omega t} \ mathrm {d} \ omega}

unde este ${\mathcal {F}}_{t}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {t}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {t}}$ Și ${\mathcal {F}}_{\omega }^{-1}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ omega} ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ omega} ^ {- 1}}$ sunt transformata Fourier și , respectiv, antitransforma sa.

Ecuația celui de-al doilea tip

O ecuație neomogenă Fredholm de al doilea tip are forma:

\phi (t)=f(t)+\lambda \int _{a}^{b}K(t,s)\phi (s)\,\mathrm {d} s

{\ displaystyle \ phi (t) = f (t) + \ lambda \ int _ {a} ^ {b} K (t, s) \ phi (s) \, \ mathrm {d} s}

{\ displaystyle \ phi (t) = f (t) + \ lambda \ int _ {a} ^ {b} K (t, s) \ phi (s) \, \ mathrm {d} s}

Având un nucleu $K(t,s)$ ${\ displaystyle K (t, s)}$ ${\ displaystyle K (t, s)}$ și o funcție $f(t)$ ${\ displaystyle f (t)}$ $f (t)$ , de obicei problema este de a găsi $\phi (t)$ ${\ displaystyle \ phi (t)}$ $\ phi (t)$ , Adesea prin utilizarea rezolvării formalismului.

Bibliografie

AD Polyanin și AV Manzhirov, Handbook of Integral Ecuations, CRC Press, Boca Raton, 1998. ISBN 0-8493-2876-4
FJ Simons, MA Wieczorek și FA Dahlen. Concentrația spatiospectrală pe o sferă . SIAM Review, 2006, DOI : 10.1137 / S0036144504445765
D. Slepian, „Unele comentarii despre analiza Fourier, incertitudine și modelare”, SIAM Review , 1983, Vol. 25, Nr. 3, 379-393.
WH Press, SA Teukolsky, WT Vetterling și BP Flannery, secțiunea 19.1. Ecuații Fredholm de tipul al doilea , în rețete numerice: arta calculelor științifice , 3rd, New York, Cambridge University Press, 2007, ISBN 978-0-521-88068-8 .

Elemente conexe

linkuri externe

Ecuații integrate la EqWorld: Lumea ecuațiilor matematice.
( EN ) BV Khvedelidze, ecuația Fredholm , în Enciclopedia Matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică