Ecuația integrală a lui Volterra

În matematică , ecuația integrală Volterra este o tipologie a ecuației integrale .

Introduse de Vito Volterra , au fost studiate de Traian Lalescu în teza sa din 1908 intitulată Sur les équations de Volterra , scrisă sub supravegherea lui Charles Émile Picard . În 1911 Lalescu a scris ceea ce istoric a fost prima carte care se ocupă de ecuații integrale.

Aplicațiile includ demografia , studiul materialelor viscoelastice și teoria Renewal .

Ecuații de primul și al doilea tip

O ecuație integrală Volterra de primul tip are forma:

f(x,t)=\int _{a}^{t}K(x,y)f(y)\,dy

{\ displaystyle f (x, t) = \ int _ {a} ^ {t} K (x, y) f (y) \, dy}

{\ displaystyle f (x, t) = \ int _ {a} ^ {t} K (x, y) f (y) \, dy}

în timp ce o ecuație integrală Volterra de al doilea tip are forma:

f(x)=g(x)+\int _{a}^{x}K(x,y)f(y)\,dy

{\ displaystyle f (x) = g (x) + \ int _ {a} ^ {x} K (x, y) f (y) \, dy}

{\ displaystyle f (x) = g (x) + \ int _ {a} ^ {x} K (x, y) f (y) \, dy}

unde este $g(x)$ ${\ displaystyle g (x)}$ $g (x)$ este o funcție cunoscută, $K(x,y)$ ${\ displaystyle K (x, y)}$ ${\ displaystyle K (x, y)}$ este nucleul și $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ este funcția necunoscută. Sub ipoteze foarte generale despre $g(x)$ ${\ displaystyle g (x)}$ $g (x)$ Și $K(x,y)$ ${\ displaystyle K (x, y)}$ ${\ displaystyle K (x, y)}$ , ecuația Volterra poate fi rezolvată prin iterație, demonstrând mai întâi că seria converge și apoi că această serie rezolvă ecuația în cauză.

În special, având în vedere o ecuație diferențială obișnuită scrisă în formă normală:

y'(x)=h(x,y(x))

{\ displaystyle y '(x) = h (x, y (x))}

{\ displaystyle y '(x) = h (x, y (x))}

se poate arăta că ecuația Volterra:

y(x)=y_{0}+\int _{x_{0}}^{x}h(t,y(t))dt

{\ displaystyle y (x) = y_ {0} + \ int _ {x_ {0}} ^ {x} h (t, y (t)) dt}

{\ displaystyle y (x) = y_ {0} + \ int _ {x_ {0}} ^ {x} h (t, y (t)) dt}

este echivalent cu problema Cauchy :

\left\{{\begin{matrix}y'=h(x,y)\\y(x_{0})=y_{0}\end{matrix}}\right.

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} y '= h (x, y) \\ y (x_ {0}) = y_ {0} \ end {matrix}} \ right.}

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} y '= h (x, y) \\ y (x_ {0}) = y_ {0} \ end {matrix}} \ right.}

O ecuație liniară integrală Volterra este, de asemenea, o convoluție dacă:

f(x)=g(x)+\int _{x_{0}}^{x}K(x-s)f(s)\,ds

{\ displaystyle f (x) = g (x) + \ int _ {x_ {0}} ^ {x} K (xs) f (s) \, ds}

{\ displaystyle f (x) = g (x) + \ int _ {x_ {0}} ^ {x} K (x-s) f (s) \, ds}

Operator Volterra

Având o funcție $f\in L^{2}(0,1)$ ${\ displaystyle f \ în L ^ {2} (0,1)}$ ${\ displaystyle f \ în L ^ {2} (0,1)}$ , expresia:

V(f)(t)=\int _{0}^{t}K(t,s)f(s)\,ds\qquad t\in (0,1)

{\ displaystyle V (f) (t) = \ int _ {0} ^ {t} K (t, s) f (s) \, ds \ qquad t \ in (0,1)}

{\ displaystyle V (f) (t) = \ int _ {0} ^ {t} K (t, s) f (s) \, ds \ qquad t \ in (0,1)}

definește un operator integral numit operator Volterra . Este un operator Hilbert-Schmidt limitat , în special un operator compact , care acționează între spațiile Hilbert . Norma sa de funcționare este $\|V\|=2/\pi$ ${\ displaystyle \ | V \ | = 2 / \ pi}$ ${\ displaystyle \ | V \ | = 2 / \ pi}$ .

Un operator neliniar Volterra are forma:

V(f)(t)=\int _{0}^{t}K(t,s,f(s))\,ds

{\ displaystyle V (f) (t) = \ int _ {0} ^ {t} K (t, s, f (s)) \, ds}

{\ displaystyle V (f) (t) = \ int _ {0} ^ {t} K (t, s, f (s)) \, ds}

O importanță deosebită a fost dezvoltarea teoriei spectrale a operatorilor Volterra.

Bibliografie

( EN ) Traian Lalescu, Introduction à la théorie des équations intégrales. Avec une préface de É. Picard , Paris: A. Hermann et Fils, 1912. VII + 152 pp.
( EN ) CTH Baker, Tratamentul numeric al ecuațiilor integrale , Clarendon Press (1977) pp. Capitolul. 4
( EN ) TA Burton, Volterra integral și diferențial ecuații , Acad. Presă (1983)
( EN ) RK Miller, ecuații integrale neliniare Volterra , Benjamin (1971)

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) AB Bakushinskii, ecuația Volterra , în Enciclopedia Matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.
( EN ) AB Bakushinskii, operator Volterra , în Enciclopedia Matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.
(EN) Eric W. Weisstein, Volterra Integral Equation of the First Kind in MathWorld Wolfram Research.
(EN) Eric W. Weisstein, Volterra Integral Equation of the Second Kind in MathWorld Wolfram Research.
Ecuații integrale: soluții exacte la EqWorld: Lumea ecuațiilor matematice

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică