Operator Hilbert-Schmidt

În matematică , un operator Hilbert-Schmidt , al cărui nume se datorează lui David Hilbert și Erhard Schmidt , este un operator mărginit pe un spațiu Hilbert pentru care o normă dată, numită norma Hilbert - Schmidt , este finită.

Definiție

Este ${\bigl (}H,(\cdot ,\cdot ){\bigr )}$ ${\ displaystyle {\ bigl (} H, (\ cdot, \ cdot) {\ bigr)}}$ ${\ displaystyle {\ bigl (} H, (\ cdot, \ cdot) {\ bigr)}}$ un spațiu Hilbert complex, cu $(\cdot ,\cdot )$ ${\ displaystyle (\ cdot, \ cdot)}$ ${\ displaystyle (\ cdot, \ cdot)}$ antiliniar în prima variabilă și liniar în a doua. Un operator limitat $A\in B(H)$ ${\ displaystyle A \ în B (H)}$ ${\ displaystyle A \ în B (H)}$ este un operator Hilbert-Schmidt dacă urma modulului pătrat este finită, ^[1] adică dacă

{\rm {Tr}}|A|^{2}<\infty \

{\ displaystyle {\ rm {Tr}} | A | ^ {2} <\ infty \}

{\ displaystyle {\ rm {Tr}} | A | ^ {2} <\ infty \}

În mod echivalent, din moment ce $|A|^{2}=A^{*}A$ ${\ displaystyle | A | ^ {2} = A ^ {*} A}$ ${\ displaystyle | A | ^ {2} = A ^ {*} A}$ , norma Hilbert-Schmidt poate fi definită ca rădăcina pătrată a

\|A\|_{2}^{2}={\rm {Tr}}|A|^{2}=\sum _{i\in I}\|Ae_{i}\|^{2}

{\ displaystyle \ | A \ | _ {2} ^ {2} = {\ rm {Tr}} | A | ^ {2} = \ sum _ {i \ in I} \ | Ae_ {i} \ | ^ {2}}

{\ displaystyle \ | A \ | _ {2} ^ {2} = {\ rm {Tr}} | A | ^ {2} = \ sum _ {i \ in I} \ | Ae_ {i} \ | ^ {2}}

și spune asta $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este un operator Hilbert-Schmidt dacă această normă este finită. ^[2] Întregul $\{e_{i}\}_{i\in I}$ ${\ displaystyle \ {e_ {i} \} _ {i \ în I}}$ ${\ displaystyle \ {e_ {i} \} _ {i \ în I}}$ este orice bază ortonormală a $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ , in timp ce $\|\cdot \|$ ${\ displaystyle \ | \ cdot \ |}$ ${\ displaystyle \ | \ cdot \ |}$ este norma de $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ . Mai mult, se întâmplă că

\|A\|_{2}^{2}=\sum _{i,j}|A_{i,j}|^{2}

{\ displaystyle \ | A \ | _ {2} ^ {2} = \ sum _ {i, j} | A_ {i, j} | ^ {2}}

{\ displaystyle \ | A \ | _ {2} ^ {2} = \ sum _ {i, j} | A_ {i, j} | ^ {2}}

unde este

A_{i,j}=(e_{i},Ae_{j})

{\ displaystyle A_ {i, j} = (e_ {i}, Ae_ {j})}

{\ displaystyle A_ {i, j} = (e_ {i}, Ae_ {j})}

Norma Hilbert-Schmidt este un caz special al normei a-a Schatten

\Vert A\Vert _{p}^{p}={\rm {{Tr}|A|^{p}}}

{\ displaystyle \ Vert A \ Vert _ {p} ^ {p} = {\ rm {{Tr} | A | ^ {p}}}}

{\ displaystyle \ Vert A \ Vert _ {p} ^ {p} = {\ rm {{Tr} | A | ^ {p}}}}

Într-un spațiu euclidian de dimensiune finită $\|\ \|_{2}$ ${\ displaystyle \ | \ \ | _ {2}}$ ${\ displaystyle \ | \ \ | _ {2}}$ se mai numește și norma Frobenius .

Produsul interior dintre doi operatori Hilbert-Schmidt $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ este definit după cum urmează

\langle A,B\rangle _{\mathrm {=} }\operatorname {Tr} (A^{*}B)=\sum _{i\in I}(Ae_{i},Be_{i})

{\ displaystyle \ langle A, B \ rangle _ {\ mathrm {=}} \ operatorname {Tr} (A ^ {*} B) = \ sum _ {i \ in I} (Ae_ {i}, Be_ {i })}

{\ displaystyle \ langle A, B \ rangle _ {\ mathrm {=}} \ operatorname {Tr} (A ^ {*} B) = \ sum _ {i \ in I} (Ae_ {i}, Be_ {i })}

Această formă hermitiană induce norma Hilbert-Schmidt descrisă mai sus și face din clasa operatorilor Hilbert-Schmidt un spațiu Hilbert.

Proprietate

Operatorii Hilbert-Schmidt formează un * -ideal în algebra Banach a operatorilor mărginiti pe $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ . Ele constituie, de asemenea, un spațiu Hilbert care se arată a fi izomorf și izometric pentru produsul tensor $H^{*}\otimes H$ ${\ displaystyle H ^ {*} \ otimes H}$ ${\ displaystyle H ^ {*} \ otimes H}$ , unde este $H^{*}$ ${\ displaystyle H ^ {*}}$ ${\ displaystyle H ^ {*}}$ denotă spațiul dual al $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ .

Operatorii claselor de urmărire sunt operatorii Hilbert - Schmidt.

Un operator Hilbert-Schmidt este un operator compact . În schimb, un operator compact este de clasă dacă și numai dacă

\sum _{i\in I}|\lambda _{i}|^{2}<\infty

{\ displaystyle \ sum _ {i \ in I} | \ lambda _ {i} | ^ {2} <\ infty}

{\ displaystyle \ sum _ {i \ in I} | \ lambda _ {i} | ^ {2} <\ infty}

unde numerele

\{\lambda _{i}\}

{\ displaystyle \ {\ lambda _ {i} \}}

{\ displaystyle \ {\ lambda _ {i} \}}

sunt valorile singulare ale operatorului.

Operatorii cu rang finit sunt densi în spațiul operatorilor de clasă de urmărire în raport cu norma $\|A\|_{HS}$ ${\ displaystyle \ | A \ | _ {HS}}$ ${\ displaystyle \ | A \ | _ {HS}}$ .

Doi operatori $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ sunt Hilbert - Schmidt dacă și numai dacă $C=AB$ ${\ displaystyle C = AB}$ ${\ displaystyle C = AB}$ este de clasă urme .

Un operator $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este Hilbert-Schmidt dacă și numai dacă $\{\|Ae_{i}\|\}\in l^{2}$ ${\ displaystyle \ {\ | Ae_ {i} \ | \} \ în l ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ {\ | Ae_ {i} \ | \} \ în l ^ {2}}$ pentru unele baze ortonormale $\{e_{i}\}$ ${\ displaystyle \ {e_ {i} \}}$ ${\ displaystyle \ {e_ {i} \}}$ din $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ .
Este $(X,\mu )$ ${\ displaystyle (X, \ mu)}$ $(X, \ mu)$ un spațiu de măsurare și ambele $H=L^{2}(X,d\mu )$ ${\ displaystyle H = L ^ {2} (X, d \ mu)}$ ${\ displaystyle H = L ^ {2} (X, d \ mu)}$ spațiul funcțiilor pătrate care pot fi rezumate $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ . O condiție suficientă pentru un operator limitat $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ definit pe $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ dacă Hilbert-Schmidt este că există o funcție

K\in L^{2}(X\times X,d\mu \otimes d\mu )

{\ displaystyle K \ in L ^ {2} (X \ times X, d \ mu \ otimes d \ mu)}

{\ displaystyle K \ in L ^ {2} (X \ times X, d \ mu \ otimes d \ mu)}

astfel încât

(Af)(x)=\int _{X}K(x,y)f(y)d\mu (y)

{\ displaystyle (Af) (x) = \ int _ {X} K (x, y) f (y) d \ mu (y)}

{\ displaystyle (Af) (x) = \ int _ {X} K (x, y) f (y) d \ mu (y)}

și ai și tu

\|A\|_{2}^{2}=\int _{X}|K(x,y)|^{2}d\mu (x)d\mu (y)

{\ displaystyle \ | A \ | _ {2} ^ {2} = \ int _ {X} | K (x, y) | ^ {2} d \ mu (x) d \ mu (y)}

{\ displaystyle \ | A \ | _ {2} ^ {2} = \ int _ {X} | K (x, y) | ^ {2} d \ mu (x) d \ mu (y)}

Notă

^ Reed, Simon , Pagina 210 .
^ MS Moslehian, Hilbert - Schmidt Operator (From MathWorld) , la mathworld.wolfram.com .

Bibliografie

( EN ) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis , ed. A II-a, San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6 .

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) MI Voitsekhovskii, operator Hilbert-Schmidt , în Encyclopaedia of Mathematics , Springer and European Mathematical Society, 2002.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Reed, Simon , Pagina 210 .

[2] MS Moslehian, Hilbert - Schmidt Operator (From MathWorld) , la mathworld.wolfram.com .

[1]

[2]