Urmăriți clasa

În matematică , un operator din clasa de urmărire sau operator nuclear este un operator compact pentru care se poate defini o urmă . Termenii „operator de clasă de urmărire” și „operator nuclear” sunt în general echivalenți, deși unii autori folosesc primul termen pentru a identifica operatorii nucleari definiți pe un spațiu Hilbert , rezervând al doilea pentru operatorii definiți pe un spațiu Banach mai general.

Definiție

În continuare, ${\bigl (}H,(\cdot ,\cdot ){\bigr )}$ ${\ displaystyle {\ bigl (} H, (\ cdot, \ cdot) {\ bigr)}}$ ${\ displaystyle {\ bigl (} H, (\ cdot, \ cdot) {\ bigr)}}$ este un spațiu Hilbert complex, cu $(\cdot ,\cdot )$ ${\ displaystyle (\ cdot, \ cdot)}$ ${\ displaystyle (\ cdot, \ cdot)}$ antiliniar în prima variabilă și liniar în a doua. Este $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ un operator liniar și pozitiv , adică astfel încât

0\leq (x,Ax)\quad {\text{ per ogni }}\,x\in H

{\ displaystyle 0 \ leq (x, Ax) \ quad {\ text {pentru fiecare}} \, x \ în H}

{\ displaystyle 0 \ leq (x, Ax) \ quad {\ text {pentru fiecare}} \, x \ în H}

Având în vedere o bază ortonormală $\{e_{i}\}_{i\in I}$ ${\ displaystyle \ {e_ {i} \} _ {i \ în I}}$ ${\ displaystyle \ {e_ {i} \} _ {i \ în I}}$ din $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ , definim urma lui $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ numarul

{\rm {Tr}}A=\sum _{i\in I}(e_{i},Ae_{i})

{\ displaystyle {\ rm {Tr}} A = \ sum _ {i \ in I} (e_ {i}, Ae_ {i})}

{\ displaystyle {\ rm {Tr}} A = \ sum _ {i \ in I} (e_ {i}, Ae_ {i})}

În cazul în care $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ nu este separabil, această sumă trebuie înțeleasă ca limita unei rețele . Se arată că această sumă este independentă de alegerea bazei.

Operatorul $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ se spune despre urmărirea clasei dacă urmarea modulului său este terminată, adică dacă: ^[1]

{\rm {Tr}}|A|<\infty \

{\ displaystyle {\ rm {Tr}} | A | <\ infty \}

{{\ rm {Tr}}} | A | <\ infty \

Urmele unui operator pot fi scrise într-un mod echivalent ca:

\|A\|_{1}={\rm {Tr}}|A|=\sum _{i\in I}(e_{i},(A^{*}A)^{1/2}e_{i})

{\ displaystyle \ | A \ | _ {1} = {\ rm {Tr}} | A | = \ sum _ {i \ in I} (e_ {i}, (A ^ {*} A) ^ {1 / 2} e_ {i})}

{\ displaystyle \ | A \ | _ {1} = {\ rm {Tr}} | A | = \ sum _ {i \ in I} (e_ {i}, (A ^ {*} A) ^ {1 / 2} e_ {i})}

De sine $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ are dimensiune finită, fiecare operator este de clasă și suma anterioară este echivalentă cu definiția urmelor unei matrice.

Dacă un operator pozitiv (și, prin urmare , autoadjunct ) $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este de urmă de clasă atunci

\|A\|\leq \|A\|_{1}

{\ displaystyle \ | A \ | \ leq \ | A \ | _ {1}}

{\ displaystyle \ | A \ | \ leq \ | A \ | _ {1}}

În special, un operator de clasă de urmărire este limitat, ca normă a $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ coincide cu cea a $|A|$ ${\ displaystyle | A |}$ ${\ displaystyle | A |}$ .

Mai mult, un operator autoadjunct este de clasă de urmărire dacă și numai dacă partea sa pozitivă este $A^{+}$ ${\ displaystyle A ^ {+}}$ $A ^ {+}$ și negativ $A^{-}$ ${\ displaystyle A ^ {-}}$ $A ^ {-}$ .

Proprietate

Spațiul operatorilor de clasă de urmărire este un * -ideal în spațiul operatorilor mărginite definit pe un spațiu Hilbert . ^[1] Aceasta înseamnă că:
- Spațiul operatorilor de clase de urmărire este un spațiu vector .
- De sine $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este de urme de clasă e $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ este un operator limitat pe $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ , asa de $LA B.$ ${\ displaystyle AB}$ $AB$ Și $B. LA$ ${\ displaystyle BA}$ $BA$ sunt din clasa urmelor.
- De sine $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este din clasa de urme, la fel și adjuvantul său $A^{*}$ ${\ displaystyle A ^ {*}}$ $A ^ {*}$ .
Prin definirea pistei ca:
$\|A\|_{1}={\rm {Tr}}|A|$ ${\ displaystyle \ | A \ | _ {1} = {\ rm {Tr}} | A |}$ ${\ displaystyle \ | A \ | _ {1} = {\ rm {Tr}} | A |}$

spațiul operatorilor de clasă de urmărire este un spațiu Banach cu norma

\|A\|_{1}

{\ displaystyle \ | A \ | _ {1}}

{\ displaystyle \ | A \ | _ {1}}

. ^[2]

Un operator de urmărire este un operator compact . În schimb, un operator compact este de urmărire de clasă dacă și numai dacă ^[2]

\sum _{n=1}^{\infty }|\lambda _{n}|<\infty

{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} | \ lambda _ {n} | <\ infty}

{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} | \ lambda _ {n} | <\ infty}

unde numerele

\{\lambda _{n}\}

{\ displaystyle \ {\ lambda _ {n} \}}

{\ displaystyle \ {\ lambda _ {n} \}}

sunt valorile singulare ale operatorului.

Operatorii cu rang finit sunt densi în spațiul operatorilor de clasă de urmărire în raport cu norma $\|A\|_{1}$ ${\ displaystyle \ | A \ | _ {1}}$ ${\ displaystyle \ | A \ | _ {1}}$ .

Spațiul operatorilor de clase de urmărire se arată a fi generat de operatori de clasă de urmări pozitivi. Aceasta implică faptul că urmărirea se extinde la o funcționalitate liniară pe spațiul operatorilor clasei de urmărire. În special, dacă $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este de urmă de clasă atunci

{\rm {Tr}}A=\sum _{i\in I}(e_{i},Ae_{i})

{\ displaystyle {\ rm {Tr}} A = \ sum _ {i \ in I} (e_ {i}, Ae_ {i})}

{\ displaystyle {\ rm {Tr}} A = \ sum _ {i \ in I} (e_ {i}, Ae_ {i})}

este absolut convergent, deoarece independența față de bază implică convergență necondiționată .

Notă

^ ^a ^b Reed, Simon , Pagina 207 .
^ ^a ^b Reed, Simon , Pagina 209 .

Bibliografie

( EN ) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis , ed. A II-a, San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6 .

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[def-1] Reed, Simon , Pagina 207 .

[prop-2] Reed, Simon , Pagina 209 .

[1]

[2]