Funcție omogenă

În matematică se numește o funcție omogenă a gradului $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ o funcție astfel încât atunci când este înmulțită cu un anumit număr $\alpha >0$ ${\ displaystyle \ alpha> 0}$ $\ alpha> 0$ fiecare dintre variabilele sale, valoarea sa se calculează înmulțind cu $\alpha ^{k}$ ${\ displaystyle \ alpha ^ {k}}$ ${\ displaystyle \ alpha ^ {k}}$ funcția calculată în argumentele originale (adică fără $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ ).

De exemplu, dacă o funcție este omogenă de gradul 1, atunci când toți membrii ei sunt înmulțiți cu un anumit număr $\alpha >0$ ${\ displaystyle \ alpha> 0}$ $\ alpha> 0$ , valoarea funcției este înmulțită cu același număr $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ . De sine $k=1$ ${\ displaystyle k = 1}$ $k = 1$ vorbim de funcții liniar omogene .

Funcțiile omogene (în special polinoamele omogene) sunt fundamentale în geometria algebrică , deoarece pentru a defini locusul zerourilor unui polinom într-un spațiu proiectiv , acest set trebuie să fie invariant în raport cu sistemul de coordonate omogen ales. Acest lucru este garantat de polinoame omogene: de fapt, dacă datorită unei anumite alegeri de coordonate polinomul dispare în punct, datorită proprietății de omogenitate va dispărea și în fiecare multiplu al acelui punct, adică în orice altă reprezentare posibilă.

Acest concept are aplicații fructuoase și în economie , deoarece multe funcții de producție sunt omogene de gradul 1 (adică au reveniri constante la scară ) sau zero. Să presupunem că un consumator alege bunurile pe care să le cumpere, în funcție de venituri și prețuri, dintre toate coșurile pe care și le poate permite și în funcție de preferințele sale. Apoi putem vedea cererea ca o funcție a prețurilor și a veniturilor acesteia. Această funcție se arată omogenă de gradul 0: dacă toate prețurile și veniturile consumatorului sunt înmulțite cu $k>0$ ${\ displaystyle k> 0}$ $k> 0$ , cererea de bunuri a aceluiași consumator rămâne aceeași (legea omogenității, în absența iluziei monetare ).

În fizică , funcțiile omogene sunt fundamentale pentru teoria fenomenelor critice , în special pentru teoria scalării și pentru grupul de renormalizare .

În termodinamica chimică sunt funcții omogene de gradul 1, funcțiile entropiei $S(U,V,n_{i}),$ ${\ displaystyle S (U, V, n_ {i}),}$ ${\ displaystyle S (U, V, n_ {i}),}$ energie interna $U(S,V,n_{i}),$ ${\ displaystyle U (S, V, n_ {i}),}$ ${\ displaystyle U (S, V, n_ {i}),}$ entalpia $H(S,P,n_{i}),$ ${\ displaystyle H (S, P, n_ {i}),}$ ${\ displaystyle H (S, P, n_ {i}),}$ Energie gratuită Helmholtz $A(T,V,n_{i})$ ${\ displaystyle A (T, V, n_ {i})}$ ${\ displaystyle A (T, V, n_ {i})}$ și energie liberă a lui Gibbs $G(T,P,n_{i}).$ ${\ displaystyle G (T, P, n_ {i}).}$ ${\ displaystyle G (T, P, n_ {i}).}$

Definiție strictă a funcției omogene

De sine $\alpha ,k\in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ alpha, k \ in \ mathbb {R}}$ $\ alpha, k \ in \ mathbb {R}$ cu $\alpha >0$ ${\ displaystyle \ alpha> 0}$ ${\ displaystyle \ alpha> 0}$ , o funcție $f(x_{1},\ldots ,x_{n})$ ${\ displaystyle f (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})}$ ${\ displaystyle f (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})}$ definit pe un con de $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ se numește o funcție (pozitivă) omogenă a gradului $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ dacă pentru fiecare alegere de variabile $x_{1},\ldots ,x_{n}$ ${\ displaystyle x_ {1}, \ ldots, x_ {n}}$ ${\ displaystyle x_ {1}, \ ldots, x_ {n}}$ da ai

f(\alpha x_{1},\ldots ,\alpha x_{n})={\alpha }^{k}f(x_{1},\ldots ,x_{n}).

{\ displaystyle f (\ alpha x_ {1}, \ ldots, \ alpha x_ {n}) = {\ alpha} ^ {k} f (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}).}

{\ displaystyle f (\ alpha x_ {1}, \ ldots, \ alpha x_ {n}) = {\ alpha} ^ {k} f (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}).}

Se spune că o funcție este omogenă pentru care relația de mai sus este valabilă pentru fiecare $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ .

Dacă toate variabilele sunt nule, avem neapărat

\ f(0,\ldots ,0)={\alpha }^{k}f(0,\ldots ,0)=0.

{\ displaystyle \ f (0, \ ldots, 0) = {\ alpha} ^ {k} f (0, \ ldots, 0) = 0.}

{\ displaystyle \ f (0, \ ldots, 0) = {\ alpha} ^ {k} f (0, \ ldots, 0) = 0.}

Funcția nulă este singura funcție omogenă de grad $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ pentru fiecare $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ real.

Definiția poate fi extinsă, păstrând notațiile identice, cu funcționalități definite în orice spații vectoriale cu valori în câmpul respectiv. Rețineți, totuși, că pentru a avea sens să vorbim despre funcții pozitive omogene, trebuie definită o noțiune de „pozitivitate” a elementelor câmpului, adică trebuie să fie un câmp ordonat .

Derivată a unei funcții omogene

Este $f(x_{1},\ldots ,x_{n})$ ${\ displaystyle f (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})}$ ${\ displaystyle f (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})}$ o funcție omogenă a gradului $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ și parțial diferențiată, atunci urmează următoarea propoziție:

Orice derivat parțial $\ f_{x_{i}}$ ${\ displaystyle \ f_ {x_ {i}}}$ $\ f _ {{x _ {{i}}}}$ cu $\ i=1,\ldots ,n$ ${\ displaystyle \ i = 1, \ ldots, n}$ ${\ displaystyle \ i = 1, \ ldots, n}$ este o funcție omogenă a gradului $k-1$ ${\ displaystyle k-1}$ ${\ displaystyle k-1}$

Demonstrație:

Derivând din $x_{i}$ ${\ displaystyle x_ {i}}$ ${\ displaystyle x_ {i}}$ ambii membri ai următoarei identități

f(\alpha x_{1},\ldots ,\alpha x_{n})={\alpha }^{k}f(x_{1},\ldots ,x_{n}),

{\ displaystyle f (\ alpha x_ {1}, \ ldots, \ alpha x_ {n}) = {\ alpha} ^ {k} f (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}),}

{\ displaystyle f (\ alpha x_ {1}, \ ldots, \ alpha x_ {n}) = {\ alpha} ^ {k} f (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}),}

primesti

\alpha f_{x_{i}}(\alpha x_{1},\ldots ,\alpha x_{n})={\alpha }^{k}f_{x_{i}}(x_{1},\ldots ,x_{n}).

{\ displaystyle \ alpha f_ {x_ {i}} (\ alpha x_ {1}, \ ldots, \ alpha x_ {n}) = {\ alpha} ^ {k} f_ {x_ {i}} (x_ {1 }, \ ldots, x_ {n}).}

{\ displaystyle \ alpha f_ {x_ {i}} (\ alpha x_ {1}, \ ldots, \ alpha x_ {n}) = {\ alpha} ^ {k} f_ {x_ {i}} (x_ {1 }, \ ldots, x_ {n}).}

Prin împărțirea ambilor membri la $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ se obține afirmația

f_{x_{i}}(\alpha x_{1},\ldots ,\alpha x_{n})={\alpha }^{k-1}f_{x_{i}}(x_{1},\ldots ,x_{n}).

{\ displaystyle f_ {x_ {i}} (\ alpha x_ {1}, \ ldots, \ alpha x_ {n}) = {\ alpha} ^ {k-1} f_ {x_ {i}} (x_ {1 }, \ ldots, x_ {n}).}

{\ displaystyle f_ {x_ {i}} (\ alpha x_ {1}, \ ldots, \ alpha x_ {n}) = {\ alpha} ^ {k-1} f_ {x_ {i}} (x_ {1 }, \ ldots, x_ {n}).}

Teorema lui Euler asupra funcțiilor omogene

Este $f\colon A\rightarrow \mathbb {R}$ ${\ displaystyle f \ colon A \ rightarrow \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle f \ colon A \ rightarrow \ mathbb {R}}$ o funcție diferențiată pe un con deschis $A\subset \mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle A \ subset \ mathbb {R} ^ {n}}$ $A \ subset \ mathbb {R} ^ {n}$ . Atunci $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este omogen ca grad $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ pe $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ dacă și numai dacă identitatea numită identitatea lui Euler deține:

\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(x)x_{i}=kf(x),\quad \forall x\in A,

{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial f} {\ partial x_ {i}}} (x) x_ {i} = kf (x), \ quad \ forall x \ în A,}

{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial f} {\ partial x_ {i}}} (x) x_ {i} = kf (x), \ quad \ forall x \ în A,}

primul membru este exact produsul dot $\langle \nabla f(x),x\rangle$ ${\ displaystyle \ langle \ nabla f (x), x \ rangle}$ $\ langle \ nabla f (x), x \ rangle$ .

Demonstrație

Să aplicăm mai întâi înlocuitorul $\ {x'}_{i}=\alpha x_{i}$ ${\ displaystyle \ {x '} _ {i} = \ alpha x_ {i}}$ $\ {x '} _ {{i}} = \ alpha x _ {{i}}$ obtinerea

f({x'}_{1},\ldots ,{x'}_{n})={\alpha }^{k}f(x_{1},\ldots ,x_{n}).

{\ displaystyle f ({x '} _ {1}, \ ldots, {x'} _ {n}) = {\ alpha} ^ {k} f (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) .}

{\ displaystyle f ({x '} _ {1}, \ ldots, {x'} _ {n}) = {\ alpha} ^ {k} f (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) .}

Diferențierea acum în ceea ce privește $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$

\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial {x'}_{i}}}{\frac {\partial {x'}_{i}}{\partial \alpha }}=k{\alpha }^{k-1}f(x_{1},\ldots ,x_{n}).

{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial f} {\ partial {x '} _ {i}}} {\ frac {\ partial {x'} _ {i} } {\ partial \ alpha}} = k {\ alpha} ^ {k-1} f (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}).}

{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial f} {\ partial {x '} _ {i}}} {\ frac {\ partial {x'} _ {i} } {\ partial \ alpha}} = k {\ alpha} ^ {k-1} f (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}).}

Acum folosim derivatele lui ${x'}_{i}$ ${\ displaystyle {x '} _ {i}}$ ${\ displaystyle {x '} _ {i}}$

{\frac {\partial {x'}_{i}}{\partial \alpha }}=x_{i},

{\ displaystyle {\ frac {\ partial {x '} _ {i}} {\ partial \ alpha}} = x_ {i},}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial {x '} _ {i}} {\ partial \ alpha}} = x_ {i},}

obtinerea

\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial {x'}_{i}}}x_{i}=k{\alpha }^{k-1}f(x_{1},\ldots ,x_{n}),

{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial f} {\ partial {x '} _ {i}}} x_ {i} = k {\ alpha} ^ {k- 1} f (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}),}

{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial f} {\ partial {x '} _ {i}}} x_ {i} = k {\ alpha} ^ {k- 1} f (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}),}

adevărat pentru fiecare

\alpha >0.

{\ displaystyle \ alpha> 0.}

{\ displaystyle \ alpha> 0.}

În special prin plasare $\alpha =1$ ${\ displaystyle \ alpha = 1}$ ${\ displaystyle \ alpha = 1}$ primesti

\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}x_{i}=kf(x_{1},\ldots ,x_{n}).

{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial f} {\ partial x_ {i}}} x_ {i} = kf (x_ {1}, \ ldots, x_ {n }).}

{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial f} {\ partial x_ {i}}} x_ {i} = kf (x_ {1}, \ ldots, x_ {n }).}

Dovadă alternativă

Pentru $x\in A$ ${\ displaystyle x \ în A}$ $x \ în A$ să luăm în considerare funcția $F\colon (0,+\infty )\rightarrow \mathbb {R}$ ${\ displaystyle F \ colon (0, + \ infty) \ rightarrow \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle F \ colon (0, + \ infty) \ rightarrow \ mathbb {R}}$ definit de

F(t)={\frac {f(tx)}{t^{k}}}.

{\ displaystyle F (t) = {\ frac {f (tx)} {t ^ {k}}}.}

{\ displaystyle F (t) = {\ frac {f (tx)} {t ^ {k}}}.}

Se vede clar că funcția $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este omogen ca grad $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ dacă și numai dacă funcția $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ este constantă și egală cu $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ în întregul său domeniu. Din teorema lui Lagrange acest lucru se întâmplă dacă și numai dacă derivatul anterior $F(t)$ ${\ displaystyle F (t)}$ $F (t)$ este identic nul în toate domeniile sale $(0,+\infty )$ ${\ displaystyle (0, + \ infty)}$ ${\ displaystyle (0, + \ infty)}$ . Prin ipoteză $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ prin urmare, este diferențiată teorema derivării funcțiilor compuse și aplicând formula obținem:

F'(t)={\frac {1}{t^{2k}}}\left[\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial {x_{i}}}}(tx)x_{i}t^{k}-kt^{k-1}f(tx)\right]={\frac {1}{t^{k+1}}}\left[\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial {x_{i}}}}(tx)x_{i}t-kf(tx)\right].

{\ displaystyle F '(t) = {\ frac {1} {t ^ {2k}}} \ left [\ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial f} {\ partial { x_ {i}}}} (tx) x_ {i} t ^ {k} -kt ^ {k-1} f (tx) \ right] = {\ frac {1} {t ^ {k + 1}} } \ left [\ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial f} {\ partial {x_ {i}}}} (tx) x_ {i} t-kf (tx) \ right ].}

F '(t) = {\ frac 1 {t ^ {{2k}}}} \ left [\ sum _ {{i = 1}} ^ {n} {\ frac {\ partial f} {\ partial {x_ {i}}}} (tx) x_ {i} t ^ {{k}} - kt ^ {{k-1}} f (tx) \ right] = {\ frac 1 {t ^ {{k + 1 }}}} \ left [\ sum _ {{i = 1}} ^ {n} {\ frac {\ partial f} {\ partial {x_ {i}}}} (tx) x_ {i} t-kf (tx) \ dreapta].

Impunând condiția funcției constante obținem:

\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial {x_{i}}}}(tx)x_{i}t=kf(tx),\quad \forall x\in A,\forall t>0.

{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial f} {\ partial {x_ {i}}}} (tx) x_ {i} t = kf (tx), \ quad \ forall x \ în A, \ forall t> 0.}

{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial f} {\ partial {x_ {i}}}} (tx) x_ {i} t = kf (tx), \ quad \ forall x \ în A, \ forall t> 0.}

Profitând de acea proprietate $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este un con în $R^{n}$ ${\ displaystyle R ^ {n}}$ $R ^ {n}$ avem asta $x\in A$ ${\ displaystyle x \ în A}$ $x \ în A$ dacă și numai dacă $tx\in A,\forall t>0$ ${\ displaystyle tx \ în A, \ forall t> 0}$ $tx \ in A, \ forall t> 0$ deci atâta timp cât te schimbi $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ cu $t X$ ${\ displaystyle tx}$ $tx$ putem rescrie condiția anterioară ca: