Teoremele lui Fredholm

În matematică , teoremele lui Fredholm sunt un set de rezultate datorate lui Ivar Fredholm în contextul teoriei lui Fredholm a ecuațiilor integrale .

Acestea sunt teoreme strâns legate, care pot fi expuse în contextul ecuațiilor integrale, algebre liniare sau operatorului Fredholm pe spațiile Banach . Printre diferitele teoreme există și alternativa Fredholm .

Algebră liniară

Este $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ o matrice, atunci complementul ortogonal al spațiului generat de vectorii rând este nucleul matricei:

(\operatorname {row} M)^{\bot }=\ker M

{\ displaystyle (\ operatorname {rând} M) ^ {\ bot} = \ ker M}

{\ displaystyle (\ operatorname {rând} M) ^ {\ bot} = \ ker M}

În mod similar, complementul ortogonal al spațiului generat de vectorii coloanei este nucleul matricei adăugate:

(\operatorname {col} M)^{\bot }=\ker M^{*}

{\ displaystyle (\ operatorname {col} M) ^ {\ bot} = \ ker M ^ {*}}

{\ displaystyle (\ operatorname {col} M) ^ {\ bot} = \ ker M ^ {*}}

Ecuații integrale

Același subiect în detaliu: ecuația integrală Fredholm .

Este $K(x,y)$ ${\ displaystyle K (x, y)}$ ${\ displaystyle K (x, y)}$ nucleul unei transformări integrale și ia în considerare ecuațiile:

\int _{a}^{b}K(x,y)\phi (y)\,dy=\lambda \phi (x)\qquad \int _{a}^{b}\psi (x){\overline {K(x,y)}}\,dx={\overline {\lambda }}\psi (y)

{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} K (x, y) \ phi (y) \, dy = \ lambda \ phi (x) \ qquad \ int _ {a} ^ {b} \ psi ( x) {\ overline {K (x, y)}} \, dx = {\ overline {\ lambda}} \ psi (y)}

{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} K (x, y) \ phi (y) \, dy = \ lambda \ phi (x) \ qquad \ int _ {a} ^ {b} \ psi ( x) {\ overline {K (x, y)}} \, dx = {\ overline {\ lambda}} \ psi (y)}

unde este ${\overline {\lambda }}$ ${\ displaystyle {\ overline {\ lambda}}}$ $\ overline {\ lambda}$ denotă conjugatul complex al numărului complex $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ , și în mod similar pentru ${\overline {K(x,y)}}$ ${\ displaystyle {\ overline {K (x, y)}}}$ ${\ displaystyle {\ overline {K (x, y)}}}$ .

Apoi pentru orice valoare fixă de $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ ecuațiile au fie soluția banală $\psi (x)=\phi (x)=0$ ${\ displaystyle \ psi (x) = \ phi (x) = 0}$ ${\ displaystyle \ psi (x) = \ phi (x) = 0}$ sau au același număr de soluții liniar independente $\phi _{1}(x),\cdots ,\phi _{n}(x)$ ${\ displaystyle \ phi _ {1} (x), \ cdots, \ phi _ {n} (x)}$ ${\ displaystyle \ phi _ {1} (x), \ cdots, \ phi _ {n} (x)}$ , $\psi _{1}(y),\cdots ,\psi _{n}(y)$ ${\ displaystyle \ psi _ {1} (y), \ cdots, \ psi _ {n} (y)}$ ${\ displaystyle \ psi _ {1} (y), \ cdots, \ psi _ {n} (y)}$ .

O condiție suficientă pentru a garanta validitatea teoremei este aceea $K(x,y)$ ${\ displaystyle K (x, y)}$ ${\ displaystyle K (x, y)}$ este un pătrat care poate fi adăugat dreptunghiului $[a,b]\times [a,b]$ ${\ displaystyle [a, b] \ times [a, b]}$ ${\ displaystyle [a, b] \ times [a, b]}$ , unde a și b pot avea o valoare nelimitată.

Teorema poate fi extinsă la spații în dimensiuni multiple, cum ar fi suprafețele Riemann.

Existența soluțiilor

Una dintre teoremele lui Fredholm se referă la existența soluțiilor la ecuația Fredholm:

\lambda \phi (x)-\int _{a}^{b}K(x,y)\phi (y)\,dy=f(x)

{\ displaystyle \ lambda \ phi (x) - \ int _ {a} ^ {b} K (x, y) \ phi (y) \, dy = f (x)}

{\ displaystyle \ lambda \ phi (x) - \ int _ {a} ^ {b} K (x, y) \ phi (y) \, dy = f (x)}

Soluțiile există dacă și numai dacă funcția $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ este ortogonală la setul complet de soluții $\{\psi _{n}(x)\}$ ${\ displaystyle \ {\ psi _ {n} (x) \}}$ ${\ displaystyle \ {\ psi _ {n} (x) \}}$ din ecuația corespunzătoare adăugată:

\int _{a}^{b}{\overline {\psi _{n}(x)}}f(x)\,dx=0

{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} {\ overline {\ psi _ {n} (x)}} f (x) \, dx = 0}

{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} {\ overline {\ psi _ {n} (x)}} f (x) \, dx = 0}

unde este ${\overline {\psi _{n}(x)}}$ ${\ displaystyle {\ overline {\ psi _ {n} (x)}}}$ ${\ displaystyle {\ overline {\ psi _ {n} (x)}}}$ este conjugatul complex al lui $\psi _{n}(x)$ ${\ displaystyle \ psi _ {n} (x)}$ ${\ displaystyle \ psi _ {n} (x)}$ , iar relația anterioară este unul dintre seturile de soluții pentru:

\lambda {\overline {\psi (y)}}-\int _{a}^{b}{\overline {\psi (x)}}K(x,y)\,dx=0

{\ displaystyle \ lambda {\ overline {\ psi (y)}} - \ int _ {a} ^ {b} {\ overline {\ psi (x)}} K (x, y) \, dx = 0}

{\ displaystyle \ lambda {\ overline {\ psi (y)}} - \ int _ {a} ^ {b} {\ overline {\ psi (x)}} K (x, y) \, dx = 0}

O condiție suficientă pentru a garanta validitatea teoremei este aceea $K(x,y)$ ${\ displaystyle K (x, y)}$ ${\ displaystyle K (x, y)}$ este un pătrat care poate fi adăugat dreptunghiului $[a,b]\times [a,b]$ ${\ displaystyle [a, b] \ times [a, b]}$ ${\ displaystyle [a, b] \ times [a, b]}$ .

Teorema analitică a lui Fredholm

Este $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ un subset deschis și conectat de $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ , este $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ o funcție analitică definită pe $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ la valori în spațiul operatorilor mărginite pe un spațiu Hilbert și ambele $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ compact pentru fiecare $z\in D$ ${\ displaystyle z \ în D}$ $z \ în D$ . Teorema analitică a lui Fredholm afirmă că sau $(I-f(z))^{-1}$ ${\ displaystyle (If (z)) ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle (I-f (z)) ^ {- 1}}$ nu există pentru nimeni $z\in D$ ${\ displaystyle z \ în D}$ $z \ în D$ , sau $(I-f(z))^{-1}$ ${\ displaystyle (If (z)) ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle (I-f (z)) ^ {- 1}}$ există pentru fiecare $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ în $D\setminus S$ ${\ displaystyle D \ setminus S}$ ${\ displaystyle D \ setminus S}$ , unde este $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ este un subset discret conținut în $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ , sau astfel încât să nu aibă puncte limită în setul respectiv. În acest caz operatorul $(I-f(z))^{-1}$ ${\ displaystyle (If (z)) ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle (I-f (z)) ^ {- 1}}$ este mereomorf al $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ și analitice în D \ S. Mai mult, reziduurile de la poli sunt operatori de rang finit și dacă $z\in S$ ${\ displaystyle z \ in S}$ $z \ în S$ asa de $f(z)\psi =\psi$ ${\ displaystyle f (z) \ psi = \ psi}$ ${\ displaystyle f (z) \ psi = \ psi}$ are o soluție diferită de zero în spațiul Hilbert. ^[1]

Alternativa lui Fredholm

Același subiect în detaliu: alternativa Fredholm .

Alternativa lui Fredholm este un corolar important al teoremei analitice a lui Fredholm care afirmă că dacă $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este un operator compact pe un spațiu Hilbert atunci o $(I-f(z))^{-1}$ ${\ displaystyle (If (z)) ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle (I-f (z)) ^ {- 1}}$ există sau $A\psi =\psi$ ${\ displaystyle A \ psi = \ psi}$ ${\ displaystyle A \ psi = \ psi}$ are o soluție. ^[2]

Notă

^ Reed, Simon , Pagina 202
^ Reed, Simon , Pagina 203

Bibliografie

( EN ) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis , ed. A II-a, San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6 .
( SV ) EI Fredholm, "Sur une classe d'equations fonctionnelles", Acta Math. , 27 (1903) pp. 365–390.

Elemente conexe

linkuri externe

(EN) Eric W. Weisstein, Teorema lui Fredholm , în MathWorld Wolfram Research.
( EN ) BV Khvedelidze, teoremele Fredholm , în Enciclopedia Matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Reed, Simon , Pagina 202

[2] Reed, Simon , Pagina 203

[1]

[2]