Spații de rânduri și coloane

Rândurile unui tablou.

Coloanele unei matrice.

În matematică și în special în algebră liniară , spațiul rândurilor unei matrice $A_{m\times n}$ ${\ displaystyle A_ {m \ times n}}$ $A _ {{m \ times n}}$ cu valori reale (sau mai general într-un câmp $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ ) este subspațiul $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ R ^ n$ (sau mai general de $K^{n}$ ${\ displaystyle K ^ {n}}$ $K ^ {n}$ ) generate de vectorii de rând ai matricei. În mod similar, spațiul coloanei este subspaiul $K^{m}$ ${\ displaystyle K ^ {m}}$ $K ^ {m}$ generat de coloane.

Deși conținute în spații vectoriale diferite, spațiul rândurilor și spațiul coloanelor au aceeași dimensiune , egală cu rangul de $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ . Această dimensiune este cel mult cea mai mică dintre numerele întregi $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ Și $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ .

Exemplu

De exemplu, să luăm în considerare o matrice

A:={\begin{bmatrix}2&4&1&3&2\\-1&-2&1&0&5\\1&6&2&2&2\\3&6&2&5&1\\\end{bmatrix}}

{\ displaystyle A: = {\ begin {bmatrix} 2 & 4 & 1 & 3 & 2 \\ - 1 & -2 & 1 & 0 & 5 \\ 1 & 6 & 2 & 2 & 2 \\ 3 & 6 & 2 & 5 & 1 \\\ end {bmatrix}}}

{\ displaystyle A: = {\ begin {bmatrix} 2 & 4 & 1 & 3 & 2 \\ - 1 & -2 & 1 & 0 & 5 \\ 1 & 6 & 2 & 2 & 2 \\ 3 & 6 & 2 & 5 & 1 \\\ end {bmatrix}}}

și denotați liniile sale cu $r_{1}=(2,4,1,3,2),r_{2}=(-1,-2,1,0,5),r_{3}=(1,6,2,2,2),r_{4}=(3,6,2,5,1)$ ${\ displaystyle r_ {1} = (2,4,1,3,2), r_ {2} = (- 1, -2,1,0,5), r_ {3} = (1,6,2 , 2,2), r_ {4} = (3,6,2,5,1)}$ ${\ displaystyle r_ {1} = (2,4,1,3,2), r_ {2} = (- 1, -2,1,0,5), r_ {3} = (1,6,2 , 2,2), r_ {4} = (3,6,2,5,1)}$ .

Spațiul liniilor de $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este subspațiul $\mathbb {R} ^{5}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {5}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {5}}$ generat de

\{r_{1},r_{2},r_{3},r_{4}\}

{\ displaystyle \ {r_ {1}, r_ {2}, r_ {3}, r_ {4} \}}

{\ displaystyle \ {r_ {1}, r_ {2}, r_ {3}, r_ {4} \}}

În schimb, indicând coloanele cu $c_{1}=(2,-1,1,3),c_{2}=(4,-2,6,6),c_{3}=(1,1,2,2),c_{4}=(3,0,2,5),c_{5}=(2,5,2,1)$ ${\ displaystyle c_ {1} = (2, -1,1,3), c_ {2} = (4, -2,6,6), c_ {3} = (1,1,2,2), c_ {4} = (3,0,2,5), c_ {5} = (2,5,2,1)}$ ${\ displaystyle c_ {1} = (2, -1,1,3), c_ {2} = (4, -2,6,6), c_ {3} = (1,1,2,2), c_ {4} = (3,0,2,5), c_ {5} = (2,5,2,1)}$ . Spațiul coloanelor din $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este subspațiul $\mathbb {R} ^{4}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {4}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {4}}$ generat de

\{c_{1},c_{2},c_{3},c_{4},c_{5}\}

{\ displaystyle \ {c_ {1}, c_ {2}, c_ {3}, c_ {4}, c_ {5} \}}

{\ displaystyle \ {c_ {1}, c_ {2}, c_ {3}, c_ {4}, c_ {5} \}}

Proprietate

Spațiul coloanelor este, de asemenea, imaginea aplicației liniare $L_{A}:K^{n}\to K^{m}$ ${\ displaystyle L_ {A}: K ^ {n} \ to K ^ {m}}$ ${\ displaystyle L_ {A}: K ^ {n} \ to K ^ {m}}$ definit ca

x\mapsto Ax.

{\ displaystyle x \ mapsto Ax.}

{\ displaystyle x \ mapsto Ax.}

Elemente conexe

Spațiu nul

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică