Subspatiu ortogonal

În algebra liniară , subspaiul ortogonal realizează conceptul de ortogonalitate prin subspaiile unui spațiu vectorial cu un produs scalar . Când produsul punct este definit ca pozitiv, subspaiul ortogonal este adesea numit și complement ortogonal .

Definiție

Este $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ un spațiu vector pe un câmp $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ echipat cu un produs scalar sau o formă hermitiană $\phi :V\times V\to K$ ${\ displaystyle \ phi: V \ times V \ to K}$ $\ phi: V \ times V \ to K$ . Este $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ un subspatiu vectorial al $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ . Subspatiul ortogonal $W^{\perp }$ ${\ displaystyle W ^ {\ perp}}$ $W ^ \ perp$ din $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ este mulțimea vectorilor ortogonali cu toți vectorii $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ : ^[1]

W^{\perp }=\{v\in V\ |\ \phi (v,w)=0\ \forall w\in W\}

{\ displaystyle W ^ {\ perp} = \ {v \ in V \ | \ \ phi (v, w) = 0 \ \ forall w \ in W \}}

W ^ \ perp = \ {v \ in V \ | \ \ phi (v, w) = 0 \ \ forall w \ in W \}

Unde doi vectori $v, w$ ${\ displaystyle v, w}$ $v, w$ din $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ se numesc ortogonali dacă și numai dacă $\phi (v,w)=0$ ${\ displaystyle \ phi (v, w) = 0}$ $\ phi (v, w) = 0$ .

Se arată ușor că întregul $W^{\perp }$ ${\ displaystyle W ^ {\ perp}}$ $W ^ {\ perp}$ , cu suma și produsul împrumutat de la $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ , este un subspatiu vectorial al $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ ; se mai arată că, dacă ${\mathcal {L}}(W)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} (W)}$ $\ mathcal {L} (W)$ este subspațiul generat de vectorii $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ , asa de:

W^{\perp }=\left({\mathcal {L}}(W)\right)^{\perp }

{\ displaystyle W ^ {\ perp} = \ left ({\ mathcal {L}} (W) \ right) ^ {\ perp}}

W ^ \ perp = \ left (\ mathcal {L} (W) \ right) ^ \ perp

Dimensiuni și sumă directă

Subspatiul ortogonal este un subspatiu vectorial al $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ . Dimensiunea sa nu este în general fixă, dar inegalitatea are loc:

\dim W+\dim W^{\perp }\geq \dim V

{\ displaystyle \ dim W + \ dim W ^ {\ perp} \ geq \ dim V}

\ dim W + \ dim W ^ {\ perp} \ geq \ dim V

Dacă produsul punct sau forma hermitiană este nedegenerată, egalitatea deține:

\dim W+\dim W^{\perp }=\dim V

{\ displaystyle \ dim W + \ dim W ^ {\ perp} = \ dim V}

\ dim W + \ dim W ^ \ perp = \ dim V

În cele din urmă, dacă $K=\mathbb {R}$ ${\ displaystyle K = \ mathbb {R}}$ $K = \ R$ Și $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ este un produs cu punct pozitiv definit sau dacă $K=\mathbb {C}$ ${\ displaystyle K = \ mathbb {C}}$ $K = \ mathbb C$ Și $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ este o formă pozitivă definită Hermitian , spațiul $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ și ortogonalele sale sunt în sumă directă : ^[2]

W\oplus W^{\perp }=V

{\ displaystyle W \ oplus W ^ {\ perp} = V}

W \ oplus W ^ {\ perp} = V

Acesta este cazul, de exemplu, în orice spațiu euclidian sau spațiu Hilbert . Același rezultat este valabil dacă $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ este denumit negativ. Din acest motiv, dacă $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ pozitiv sau negativ este definit subspaiul ortogonal este numit și complement ortogonal .

Relații cu alte operațiuni

Următoarele relații se aplică fiecărui cuplu $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ Și $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ a subspatiilor de $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ :

U\subset W\Rightarrow W^{\perp }\subset U^{\perp }\qquad (U+W)^{\perp }=U^{\perp }\cap W^{\perp }\qquad (U^{\perp })^{\perp }\supset U

{\ displaystyle U \ subset W \ Rightarrow W ^ {\ perp} \ subset U ^ {\ perp} \ qquad (U + W) ^ {\ perp} = U ^ {\ perp} \ cap W ^ {\ perp} \ qquad (U ^ {\ perp}) ^ {\ perp} \ supset U}

U \ subset W \ Rightarrow W ^ \ perp \ subset U ^ \ perp \ qquad (U + W) ^ \ perp = U ^ \ perp \ cap W ^ \ perp \ qquad (U ^ \ perp) ^ \ perp \ supset U

De sine $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ nu este degenerat, merită:

(U^{\perp })^{\perp }=U

{\ displaystyle (U ^ {\ perp}) ^ {\ perp} = U}

(U ^ \ perp) ^ \ perp = U

Radical

Radicalul din $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ este definit ca subspațiul format din vectori care sunt ortogonali față de orice vector al $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ :

{\rm {Rad}}(\phi )=V^{\perp }

{\ displaystyle {\ rm {Rad}} (\ phi) = V ^ {\ perp}}

{\ rm Rad} (\ phi) = V ^ \ perp

Un produs scalar (sau formă hermitiană) $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ este nedegenerat atunci când radicalul este subspaiul trivial (adică este format doar din elementul zero).

Notă

^ Hoffman, Kunze , p. 285 .
^ Hoffman, Kunze , p. 286 .

Bibliografie

Kenneth Hoffman, Ray Kunze, Algebra liniară , ediția a II-a, Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice - Hall, inc., 1971, ISBN 0-13-536821-9 .

Elemente conexe

linkuri externe

Video instructiv care descrie complementele ortogonale (Academia Khan) , la khanexercises.appspot.com (arhivat din original la 5 martie 2012) .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[inner-1] Hoffman, Kunze , p. 285 .

[2] Hoffman, Kunze , p. 286 .

[1]

[2]

V · D · M Algebră liniară
Spațiu vectorial	Purtător · subspațiu ( Subspatiu generat ) · Aplicație liniară ( nucleu · Imagine ) · Bază · Dimensiune · Teorema dimensiunii · Formula Grassmann · Sistem liniar · Algoritm Gauss · Teorema Rouché-Capelli · Regula lui Cramer · Spațiu dual · Spațiul proiectiv · Spațiul afinat · Dimensiunea teorema pentru spațiile vectoriale
Matrici	Identitate · Nimic · Pătrat · Reversibil · Simetric · înclinat · Transpunere · Diagonală · Triunghi · Ca schimbare de bază · Ortogonală · Normală · Simplectică · Multiplicarea matricilor · Rang · Teorema Kronecker · Minor · Matricea cofactorilor · Determinant · Teorema Binet · Laplace teorema · Rădăcina pătrată a unei matrice
Diagonalizabilitate	Valori proprii și vectori proprii · Spectru · Caracteristică polinomială · Minim polinomial · Teorema Cayley-Hamilton · Bloc matricial · Formă canonică Jordan · Diagonalizabilitatea teoremei
Produs scalar	Forma biliniară · subspațiu ortogonală · spațiu euclidian · ortonormală de bază · Lagrange Algoritmul · Mark · teorema lui Sylvester · Gram-Schmidt · Forma sesquilineare · Hermitian Forma · Spectral teorema