Teorema inversiunii lui Fourier

În matematică , teorema inversiunii Fourier definește condițiile de existență pentru inversa transformatei Fourier , numită și antitransforma Fourier , care ne permite să urmărim o funcție $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ cunoscându-i transformarea $X(f)$ ${\ displaystyle X (f)}$ $X (f)$ prin formula inversiunii Fourier . O versiune alternativă a teoremei este teorema inversiunii lui Mellin , care poate fi aplicată și transformatei Fourier datorită relației simple care le leagă.

Teorema

Teorema inversiunii lui Fourier afirmă că dacă $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ iar transformarea sa aparține $L^{1}$ ${\ displaystyle L ^ {1}}$ $L ^ {1}$ atunci formula inversiunii este valabilă: ^[1]

f(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{\mathbb {R} }{\hat {f}}(t)e^{ixt}\,dt

{\ displaystyle f (x) = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} \ int _ {\ mathbb {R}} {\ hat {f}} (t) e ^ {ixt} \ , dt}

f (x) = {\ frac {1} {{\ sqrt {2 \ pi}}}} \ int _ {{\ mathbb {R}}} {\ hat {f}} (t) e ^ {{ixt }} \, dt

În mod informal se poate afirma că, pe măsură ce lățimea intervalului pe care se calculează seria Fourier a unei funcții, suma seriei aproximează valoarea transformării inverse.

În acest fel, este posibilă urmărirea unei funcții pornind de la transformarea sa. Se exprimă spunând că matematic o funcție $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ poate fi descompus ca suma infinită pe toate frecvențele sinusoidelor cu greutate egală cu transformarea sau spectrul $X(f)$ ${\ displaystyle X (f)}$ $X (f)$ din $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ . În mod echivalent în termeni fizici, se spune în schimb că dimensiunea $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ este dat de suprapunerea undelor infinite la diferite frecvențe cu greutate egală cu transformarea sau spectrul lui $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ . Spre deosebire de cazul seriei Fourier în care funcția este un pătrat sumabil, totuși, teorema inversiunii presupune că $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ fi integrabil conform lui Lebesgue , adică: ^[2]

\int _{-\infty }^{\infty }\left|f(x)\right|\,dx<\infty

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ left | f (x) \ right | \, dx <\ infty}

\ int _ {{- \ infty}} ^ {\ infty} \ left | f (x) \ right | \, dx <\ infty

De exemplu, funcția dreptunghiular:

f(x)={\begin{cases}1&-a<x<a\\0&x\leq -a,x\geq a\end{cases}}

{\ displaystyle f (x) = {\ begin {cases} 1 & -a <x <a \\ 0 & x \ leq -a, x \ geq a \ end {cases}}}

f (x) = {\ begin {cases} 1 & -a <x <a \\ 0 & x \ leq -a, x \ geq a \ end {cases}}

are ca transformată Fourier:

({\mathcal {F}}f)(t)=2\sin(at)/t

{\ displaystyle ({\ mathcal {F}} f) (t) = 2 \ sin (at) / t}

({\ mathcal {F}} f) (t) = 2 \ sin (at) / t

În acest caz, teoremele inversiunii investighează convergența integralei

\lim _{b\rightarrow \infty }{\frac {1}{2\pi }}\int _{-b}^{b}({\mathcal {F}}f)(t)e^{itx}\,dt

{\ displaystyle \ lim _ {b \ rightarrow \ infty} {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- b} ^ {b} ({\ mathcal {F}} f) (t) și ^ {itx} \, dt}

\ lim _ {{b \ rightarrow \ infty}} {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {{- b}} ^ {b} ({\ mathcal {F}} f) (t) și ^ {{itx}} \, dt

În schimb, dacă avem o distribuție temperată, atunci transformata Fourier este ea însăși o distribuție temperată, iar formula de inversare este dovedită mai simplu.

Demonstrație

Luați în considerare transformata Fourier a unei funcții în spațiul Schwartz . Acest spațiu conține funcții netede $f:\mathbb {R} ^{N}\to \mathbb {C}$ ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {N} \ to \ mathbb {C}}$ $f: {\ mathbb {R}} ^ {N} \ to {\ mathbb {C}}$ astfel încât, pentru fiecare index multiplu $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ Și $\beta$ ${\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$ avem:

\sup _{x\in \mathbb {R} ^{N}}|x^{\alpha }\partial ^{\beta }f(x)|<\infty

{\ displaystyle \ sup _ {x \ in \ mathbb {R} ^ {N}} | x ^ {\ alpha} \ partial ^ {\ beta} f (x) | <\ infty}

\ sup _ {{x \ in {\ mathbb {R}} ^ {N}}} | x ^ {{\ alpha}} \ partial ^ {{\ beta}} f (x) | <\ infty

Astfel de funcții sunt integrabile, iar transformarea unei funcții Schwartz este o funcție Schwartz. Folosiți convenția care

{\widehat {f}}(\xi )=\int e^{-2\pi ix\cdot \xi }f(x)\,dx

{\ displaystyle {\ widehat {f}} (\ xi) = \ int e ^ {- 2 \ pi ix \ cdot \ xi} f (x) \, dx}

\ widehat {f} (\ xi) = \ int e ^ {{- 2 \ pi ix \ cdot \ xi}} f (x) \, dx

și amintiți-vă că pentru o funcție Schwartz avem:

f(x)=\int _{\mathbb {R} ^{N}}e^{2\pi ix\cdot \xi }{\widehat {f}}(\xi )\,d\xi

{\ displaystyle f (x) = \ int _ {\ mathbb {R} ^ {N}} e ^ {2 \ pi ix \ cdot \ xi} {\ widehat {f}} (\ xi) \, d \ xi }

f (x) = \ int _ {{{\ mathbb {R}} ^ {N}}} e ^ {{2 \ pi ix \ cdot \ xi}} \ widehat {f} (\ xi) \, d \ xi

Pentru a demonstra teorema este necesar să se utilizeze următoarele fapte:

De sine $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ Și $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ sunt funcții Schwartz, teorema lui Fubini implică faptul că:

\int f{\widehat {g}}=\int {\widehat {f}}g

{\ displaystyle \ int f {\ widehat {g}} = \ int {\ widehat {f}} g}

\ int f \ widehat {g} = \ int \ widehat {f} g

De sine $\eta \in \mathbb {R} ^{N}$ ${\ displaystyle \ eta \ in \ mathbb {R} ^ {N}}$ $\ age \ in {\ mathbb {R}} ^ {N}$ Și $g(x)=e^{2\pi ix\cdot \eta }f(x)$ ${\ displaystyle g (x) = e ^ {2 \ pi ix \ cdot \ eta} f (x)}$ $g (x) = e ^ {{2 \ pi ix \ cdot \ eta}} f (x)$ , asa de:

{\widehat {g}}(\xi )={\widehat {f}}(\xi -\eta )

{\ displaystyle {\ widehat {g}} (\ xi) = {\ widehat {f}} (\ xi - \ eta)}

\ widehat {g} (\ xi) = \ widehat {f} (\ xi - \ eta)

De sine $a\in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle a \ in \ mathbb {R}}$ $a \ in {\ mathbb {R}}$ Și $g(x)=f(ax)$ ${\ displaystyle g (x) = f (ax)}$ $g (x) = f (topor)$ , asa de:

{\widehat {g}}(\xi )={\widehat {f}}(\xi /a)/a^{N}

{\ displaystyle {\ widehat {g}} (\ xi) = {\ widehat {f}} (\ xi / a) / a ^ {N}}

\ widehat {g} (\ xi) = \ widehat {f} (\ xi / a) / a ^ {N}

Definiți-vă $\phi (x)=e^{-\pi |x|^{2}}$ ${\ displaystyle \ phi (x) = e ^ {- \ pi | x | ^ {2}}}$ $\ phi (x) = e ^ {{- \ pi | x | ^ {2}}}$ . Atunci:

{\widehat {\phi }}=\phi

{\ displaystyle {\ widehat {\ phi}} = \ phi}

\ widehat {\ phi} = \ phi

Să fie acum:

\phi _{\varepsilon }(x)={\frac {1}{\varepsilon ^{N}}}\phi \left({\frac {x}{\varepsilon }}\right)

{\ displaystyle \ phi _ {\ varepsilon} (x) = {\ frac {1} {\ varepsilon ^ {N}}} \ phi \ left ({\ frac {x} {\ varepsilon}} \ right)}

\ phi _ {{\ varepsilon}} (x) = {\ frac {1} {\ varepsilon ^ {N}}} \ phi \ left ({\ frac {x} {\ varepsilon}} \ right)

Denotând cu $*$ ${\ displaystyle *}$ $*$ convoluție , $\phi _{\varepsilon }$ ${\ displaystyle \ phi _ {\ varepsilon}}$ $\ phi _ {{\ varepsilon}}$ este o aproximare la identitate:

\lim _{\varepsilon \to 0}\phi _{\varepsilon }*f\to f

{\ displaystyle \ lim _ {\ varepsilon \ to 0} \ phi _ {\ varepsilon} * f \ to f}

\ lim _ {{\ varepsilon \ to 0}} \ phi _ {{\ varepsilon}} * f \ to f

unde convergența este uniformă pentru funcții uniform continue și mărginite.

Formula inversiunii poate fi dovedită observând că pentru teorema convergenței dominate avem:

\int e^{2\pi ix\cdot \xi }{\widehat {f}}(\xi )\,d\xi =\lim _{\varepsilon \to 0}\int e^{-\pi \varepsilon ^{2}|\xi |^{2}+2\pi ix\cdot \xi }{\widehat {f}}(\xi )\,d\xi

{\ displaystyle \ int e ^ {2 \ pi ix \ cdot \ xi} {\ widehat {f}} (\ xi) \, d \ xi = \ lim _ {\ varepsilon \ to 0} \ int e ^ {- \ pi \ varepsilon ^ {2} | \ xi | ^ {2} +2 \ pi ix \ cdot \ xi} {\ widehat {f}} (\ xi) \, d \ xi}

\ int e ^ {{2 \ pi ix \ cdot \ xi}} \ widehat {f} (\ xi) \, d \ xi = \ lim _ {{\ varepsilon \ to 0}} \ int e ^ {{- \ pi \ varepsilon ^ {2} | \ xi | ^ {2} +2 \ pi ix \ cdot \ xi}} \ widehat {f} (\ xi) \, d \ xi

și definind:

g(\xi )=e^{-\pi \varepsilon ^{2}|\xi |^{2}+2\pi ix\cdot \xi }

{\ displaystyle g (\ xi) = e ^ {- \ pi \ varepsilon ^ {2} | \ xi | ^ {2} +2 \ pi ix \ cdot \ xi}}

g (\ xi) = e ^ {{- \ pi \ varepsilon ^ {2} | \ xi | ^ {2} +2 \ pi ix \ cdot \ xi}}

Apoi, aplicând al doilea și al treilea punct definit mai sus:

{\widehat {g}}(y)={\frac {1}{\varepsilon ^{N}}}e^{-{\frac {\pi }{\varepsilon ^{2}}}|x-y|^{2}}

{\ displaystyle {\ widehat {g}} (y) = {\ frac {1} {\ varepsilon ^ {N}}} e ^ {- {\ frac {\ pi} {\ varepsilon ^ {2}}} | xy | ^ {2}}}

\ widehat {g} (y) = {\ frac {1} {\ varepsilon ^ {N}}} e ^ {{- {\ frac {\ pi} {\ varepsilon ^ {2}}} | xy | ^ { 2}}}

Prin urmare, putem face transformarea $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ în ultima obținere integrală:

\int e^{-\pi \varepsilon ^{2}|\xi |^{2}+2\pi ix\cdot \xi }{\widehat {f}}(\xi )\,d\xi =\int {\widehat {g}}(y)f(y)\,dy=\int {\frac {1}{\varepsilon ^{N}}}e^{-{\frac {\pi }{\varepsilon ^{2}}}|x-y|^{2}}f(y)\,dy=(\phi _{\varepsilon }*f)(x)

{\ displaystyle \ int e ^ {- \ pi \ varepsilon ^ {2} | \ xi | ^ {2} +2 \ pi ix \ cdot \ xi} {\ widehat {f}} (\ xi) \, d \ xi = \ int {\ widehat {g}} (y) f (y) \, dy = \ int {\ frac {1} {\ varepsilon ^ {N}}} e ^ {- {\ frac {\ pi} {\ varepsilon ^ {2}}} | xy | ^ {2}} f (y) \, dy = (\ phi _ {\ varepsilon} * f) (x)}

\ int e ^ {{- \ pi \ varepsilon ^ {2} | \ xi | ^ {2} +2 \ pi ix \ cdot \ xi}} \ widehat {f} (\ xi) \, d \ xi = \ int \ widehat {g} (y) f (y) \, dy = \ int {\ frac {1} {\ varepsilon ^ {N}}} e ^ {{- {\ frac {\ pi} {\ varepsilon ^ {2}}} | xy | ^ {2}}} f (y) \, dy = (\ phi _ {{\ varepsilon}} * f) (x)

aceasta este convoluția lui ƒ cu aproximarea la identitate. Prin urmare:

\lim _{\varepsilon \to 0}\int e^{-2\pi ix\cdot \xi }{\widehat {f}}(\xi )e^{-\pi \varepsilon ^{2}|\xi |^{2}}d\xi =\lim _{\varepsilon \to 0}\int {\frac {1}{\varepsilon ^{N}}}e^{-{\frac {\pi }{\varepsilon ^{2}}}|y-x|^{2}}f(y)\,dy=\lim _{\varepsilon \to 0}\phi _{\varepsilon }*f(x)=f(x)

{\ displaystyle \ lim _ {\ varepsilon \ to 0} \ int e ^ {- 2 \ pi ix \ cdot \ xi} {\ widehat {f}} (\ xi) e ^ {- \ pi \ varepsilon ^ {2 } | \ xi | ^ {2}} d \ xi = \ lim _ {\ varepsilon \ to 0} \ int {\ frac {1} {\ varepsilon ^ {N}}} e ^ {- {\ frac {\ pi} {\ varepsilon ^ {2}}} | yx | ^ {2}} f (y) \, dy = \ lim _ {\ varepsilon \ to 0} \ phi _ {\ varepsilon} * f (x) = f (x)}

\ lim _ {{\ varepsilon \ to 0}} \ int e ^ {{- 2 \ pi ix \ cdot \ xi}} \ widehat {f} (\ xi) e ^ {{- \ pi \ varepsilon ^ {2 } | \ xi | ^ {2}}} d \ xi = \ lim _ {{\ varepsilon \ to 0}} \ int {\ frac {1} {\ varepsilon ^ {N}}} e ^ {{- { \ frac {\ pi} {\ varepsilon ^ {2}}} | yx | ^ {2}}} f (y) \, dy = \ lim _ {{\ varepsilon \ to 0}} \ phi _ {{\ varepsilon}} * f (x) = f (x)

Aceasta stabilește că transformata Fourier este inversabilă pe spațiul Schwartz. În special este limitat în $L^{2}$ ${\ displaystyle L ^ {2}}$ $L ^ {2}$ iar funcțiile Schwartz sunt dense în $L^{2}$ ${\ displaystyle L ^ {2}}$ $L ^ {2}$ . Transformarea și inversul acesteia se extind apoi la operatori liniari mărginite ${\mathcal {F}},{\mathcal {F}}^{-1}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}, {\ mathcal {F}} ^ {- 1}}$ ${\ mathcal {F}}, {\ mathcal {F}} ^ {{- 1}}$ în ansamblu $L^{2}$ ${\ displaystyle L ^ {2}}$ $L ^ {2}$ pentru care ${\mathcal {F}}{\mathcal {F}}^{-1}={\mathcal {F}}^{-1}{\mathcal {F}}=I$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} {\ mathcal {F}} ^ {- 1} = {\ mathcal {F}} ^ {- 1} {\ mathcal {F}} = I}$ ${\ mathcal {F}} {\ mathcal {F}} ^ {{- 1}} = {\ mathcal {F}} ^ {{- 1}} {\ mathcal {F}} = I$ , cu $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ identitate.

Notă

^ W. Rudin , pagina 186 .
^ W. Rudin , pagina 183 .

Bibliografie

( EN ) Walter Rudin, Analiză reală și complexă , Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0-07-054234-1 .
GB Folland, Introducere în ecuațiile diferențiale parțiale , ediția a doua, Princeton University Press, 1995.
Lennart Carleson , Despre convergența și creșterea sumelor parțiale din seria Fourier , Acta Math. , 1966, p. 116, 135-157.

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă cu matematica

[1] W. Rudin , pagina 186 .

[2] W. Rudin , pagina 183 .

[1]

[2]