Metode de soluție analitică pentru ecuații diferențiale obișnuite

Metodele soluției analitice pentru ecuații diferențiale ordinare permit rezolvarea într-un mod exact a unor clase de ecuații diferențiale ordinare .

Ecuații de ordinul întâi

Nu există o formulă de soluție unică valabilă pentru toate tipurile de ecuații diferențiale de prim ordin. Printre cele mai frecvente cazuri se numără:

Ecuații diferențiale liniare în formă $y'=a(x)y+b(x)$ ${\ displaystyle y '= a (x) y + b (x)}$ ${\ displaystyle y '= a (x) y + b (x)}$
Ecuații diferențiale cu variabile separabile în formă $y'=a(x)b(y)$ ${\ displaystyle y '= a (x) b (y)}$ ${\ displaystyle y '= a (x) b (y)}$
Ecuații diferențiale exacte
Ecuația diferențială Bernoulli
Ecuația Clairault
Ecuația Lagrange
Ecuația Riccati
Ecuația diferențială a lui Abel

Ecuațiile diferențiale de ordinul întâi sunt deosebit de importante, deoarece este posibilă reducerea unei ecuații de grad n , mai mare decât prima, la un sistem de ecuații de ordinul întâi, dintre care cel puțin n-1 sunt liniare. De exemplu, să se dea ecuația de gradul trei:

{u'''}^{2}+u''=x

{\ displaystyle {u '' '} ^ {2} + u' '= x}

{\ displaystyle {u '' '} ^ {2} + u' '= x}

Este echivalent cu sistemul:

z_{1}=u'\qquad z_{2}=z_{1}'\qquad {z_{2}'}^{2}+z_{2}=x

{\ displaystyle z_ {1} = u '\ qquad z_ {2} = z_ {1}' \ qquad {z_ {2} '} ^ {2} + z_ {2} = x}

{\ displaystyle z_ {1} = u '\ qquad z_ {2} = z_ {1}' \ qquad {z_ {2} '} ^ {2} + z_ {2} = x}

Odată ce ați găsit soluțiile, le obțineți printr-o integrare simplă $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ .

Ecuații diferențiale liniare

Același subiect în detaliu: ecuația diferențială liniară .

Ecuațiile diferențiale liniare de primul ordin au forma canonică:

y'=f(x,y)

{\ displaystyle y '= f (x, y)}

y '= f (x, y)

unde este $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este liniar în $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ . Prin urmare, ecuația ia forma:

y'=a(x)y+b(x)

{\ displaystyle y '= a (x) y + b (x)}

{\ displaystyle y '= a (x) y + b (x)}

Soluții particulare ale acestor ecuații au fost găsite de Isaac Newton , Leibniz și de mulți alți exponenți ai genezei calculului infinitesimal. Cu toate acestea, soluția generică a fost găsită de unul dintre Bernoulli , Jean . Soluția generală este:

y=e^{-\int a(x)dx}\left(\int b(x)e^{\int a(x)dx}dx+costante\right)

{\ displaystyle y = e ^ {- \ int a (x) dx} \ left (\ int b (x) e ^ {\ int a (x) dx} dx + constant \ right)}

{\ displaystyle y = e ^ {- \ int a (x) dx} \ left (\ int b (x) e ^ {\ int a (x) dx} dx + constant \ right)}

Ecuații diferențiale cu variabile separabile

Același subiect în detaliu: Separarea variabilelor .

Acestea sunt toate ecuațiile diferențiale exprimate sub forma:

y'=a(x)b(y)

{\ displaystyle y '= a (x) b (y)}

{\ displaystyle y '= a (x) b (y)}

unde funcțiile $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ sunt definite și continue pe intervale. Imediat apare că dacă $b({\bar {y}})=0$ ${\ displaystyle b ({\ bar {y}}) = 0}$ ${\ displaystyle b ({\ bar {y}}) = 0}$ , apoi funcția constantă $y(x)={\bar {y}}$ ${\ displaystyle y (x) = {\ bar {y}}}$ ${\ displaystyle y (x) = {\ bar {y}}}$ este soluția ecuației.

Dacă funcția $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ este derivabil cu continuitate, rezultă din teorema existenței lui Picard că o soluție $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ , astfel încât $b(\phi ({\bar {x}}))$ ${\ displaystyle b (\ phi ({\ bar {x}}))}}$ ${\ displaystyle b (\ phi ({\ bar {x}}))}}$ este diferit de 0 pentru unii ${\bar {x}}$ ${\ displaystyle {\ bar {x}}}$ ${\ bar {x}}$ , nu se va anula niciodată $b(\phi (x))$ ${\ displaystyle b (\ phi (x))}$ ${\ displaystyle b (\ phi (x))}$ . Atunci este legal să împărțiți $b(\phi (x))$ ${\ displaystyle b (\ phi (x))}$ ${\ displaystyle b (\ phi (x))}$ , obținând:

{\frac {\phi '(x)}{b(\phi (x))}}=a(x)

{\ displaystyle {\ frac {\ phi '(x)} {b (\ phi (x))}} = a (x)}

{\ displaystyle {\ frac {\ phi '(x)} {b (\ phi (x))}} = a (x)}

Prin integrare, avem:

\int {\frac {\phi '(x)}{b(\phi (x))}}{dx}=\int a(x)dx

{\ displaystyle \ int {\ frac {\ phi '(x)} {b (\ phi (x))}} {dx} = \ int a (x) dx}

{\ displaystyle \ int {\ frac {\ phi '(x)} {b (\ phi (x))}} {dx} = \ int a (x) dx}

Putem folosi teorema integrării prin substituire ( $s=\phi (x)$ ${\ displaystyle s = \ phi (x)}$ ${\ displaystyle s = \ phi (x)}$ ), obținând:

\left(\int {\frac {1}{b(s)}}{ds}\right)_{s=\phi (x)}=\int a(x)dx

{\ displaystyle \ left (\ int {\ frac {1} {b (s)}} {ds} \ right) _ {s = \ phi (x)} = \ int a (x) dx}

{\ displaystyle \ left (\ int {\ frac {1} {b (s)}} {ds} \ right) _ {s = \ phi (x)} = \ int a (x) dx}

Soluția $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ prin urmare, satisface, printr-o constantă reală adecvată $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ , conditia:

B(\phi (x))=A(x)+c

{\ displaystyle B (\ phi (x)) = A (x) + c}

{\ displaystyle B (\ phi (x)) = A (x) + c}

unde este $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ este o primitivă a $1/b$ ${\ displaystyle 1 / b}$ ${\ displaystyle 1 / b}$ Și $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ din $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ , primitive care există cu siguranță pentru continuitatea lui $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ . Formula de mai sus descrie o soluție sub formă implicită. Poate fi dificil să găsești o formulă care să descrie funcția inversă a $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ și deci să aibă soluțiile ecuației diferențiale în formă „explicită”.

Ecuații diferențiale exacte

Același subiect în detaliu: ecuație diferențială exactă .

Un al treilea tip de ecuații diferențiale de ordinul întâi care poate fi rezolvat analitic sunt cele atribuite unui diferențial exact . O ecuație de acest tip poate fi scrisă ca:

p(x,y)+q(x,y){\frac {dy}{dx}}=0

{\ displaystyle p (x, y) + q (x, y) {\ frac {dy} {dx}} = 0}

{\ displaystyle p (x, y) + q (x, y) {\ frac {dy} {dx}} = 0}

unde p și q sunt două funcții. Să luăm în considerare derivatele parțiale ale $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ cu privire la $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ și de $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ în comparație cu $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ : dacă acești doi sunt egali, vom avea un diferențial exact. În simboluri:

{\frac {\partial p(x,y)}{\partial y}}={\frac {\partial q(x,y)}{\partial x}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial p (x, y)} {\ partial y}} = {\ frac {\ partial q (x, y)} {\ partial x}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial p (x, y)} {\ partial y}} = {\ frac {\ partial q (x, y)} {\ partial x}}}

Soluția generală este:

P(x,y)=\int {p(x,y)dx}+\int {\left\{q(x,y)-\left[\int {p(x,y)dx}\right]_{y}\right\}dy}+C

{\ displaystyle P (x, y) = \ int {p (x, y) dx} + \ int {\ left \ {q (x, y) - \ left [\ int {p (x, y) dx} \ right] _ {y} \ right \} dy} + C}

{\ displaystyle P (x, y) = \ int {p (x, y) dx} + \ int {\ left \ {q (x, y) - \ left [\ int {p (x, y) dx} \ right] _ {y} \ right \} dy} + C}

sau:

Q(x,y)=\int {q(x,y)dy}+\int {\left\{p(x,y)-\left[\int {q(x,y)dy}\right]_{x}\right\}dx}+C

{\ displaystyle Q (x, y) = \ int {q (x, y) dy} + \ int {\ left \ {p (x, y) - \ left [\ int {q (x, y) dy} \ right] _ {x} \ right \} dx} + C}

{\ displaystyle Q (x, y) = \ int {q (x, y) dy} + \ int {\ left \ {p (x, y) - \ left [\ int {q (x, y) dy} \ right] _ {x} \ right \} dx} + C}

Acestea sunt soluții implicite, deci discursul cu privire la inversibilitatea soluției este valid. Unele cazuri în care derivatele mixte nu sunt egale, pot fi urmărite înapoi printr-un factor de integrare adecvat $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ pentru care avem:

{\frac {\partial [\mu p(x,y)]}{\partial y}}={\frac {\partial [\mu q(x,y)]}{\partial x}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial [\ mu p (x, y)]} {\ partial y}} = {\ frac {\ partial [\ mu q (x, y)]} {\ partial x}} }

{\ displaystyle {\ frac {\ partial [\ mu p (x, y)]} {\ partial y}} = {\ frac {\ partial [\ mu q (x, y)]} {\ partial x}} }

Ecuații diferențiale neliniare

Să luăm în considerare o ecuație diferențială de ordine n pe care o vom nota:

F(x,y,y^{'},\ldots \ldots ,y^{(n)})=0

{\ displaystyle F (x, y, y ^ {'}, \ ldots \ ldots, y ^ {(n)}) = 0}

{\ displaystyle F (x, y, y ^ {'}, \ ldots \ ldots, y ^ {(n)}) = 0}

Dacă ecuația este liniară cu coeficienți și termeni cunoscuți continuu într-un interval dat, atunci este posibil să se găsească o funcție reală dependentă de $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ și n parametri constanți $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ de tipul:

y=y(x,c_{1},c_{2},\ldots \ldots ,c_{n})

{\ displaystyle y = y (x, c_ {1}, c_ {2}, \ ldots \ ldots, c_ {n})}

{\ displaystyle y = y (x, c_ {1}, c_ {2}, \ ldots \ ldots, c_ {n})}

numită și integrala generală a funcției $F(x,y,y^{'},\ldots \ldots ,y^{(n)})=0$ ${\ displaystyle F (x, y, y ^ {'}, \ ldots \ ldots, y ^ {(n)}) = 0}$ ${\ displaystyle F (x, y, y ^ {'}, \ ldots \ ldots, y ^ {(n)}) = 0}$

Cu toate acestea, dacă ecuația este neliniară, nu este sigur că putem găsi o soluție precum:

y=y(x,c_{1},c_{2},\dots ,c_{n})

{\ displaystyle y = y (x, c_ {1}, c_ {2}, \ dots, c_ {n})}

{\ displaystyle y = y (x, c_ {1}, c_ {2}, \ dots, c_ {n})}

care oferă toate integralele funcției:

F(x,y,y^{'},\dots ,y^{(n)})=0

{\ displaystyle F (x, y, y ^ {'}, \ dots, y ^ {(n)}) = 0}

{\ displaystyle F (x, y, y ^ {'}, \ dots, y ^ {(n)}) = 0}

și în acest scop funcția este definită ca o ecuație neliniară:

F(x,y,y^{'},\dots ,y^{(n)})=0

{\ displaystyle F (x, y, y ^ {'}, \ dots, y ^ {(n)}) = 0}

{\ displaystyle F (x, y, y ^ {'}, \ dots, y ^ {(n)}) = 0}

pentru a cărei soluție:

y=y(x,c_{1},c_{2},\dots ,c_{n})

{\ displaystyle y = y (x, c_ {1}, c_ {2}, \ dots, c_ {n})}

{\ displaystyle y = y (x, c_ {1}, c_ {2}, \ dots, c_ {n})}

numită integrală generală sub formă explicită , există doar câteva integrale ale:

F(x,y,y^{'},\dots ,y^{(n)})=0

{\ displaystyle F (x, y, y ^ {'}, \ dots, y ^ {(n)}) = 0}

{\ displaystyle F (x, y, y ^ {'}, \ dots, y ^ {(n)}) = 0}

și nu neapărat toate integralele sale.

Ecuații cu variabile separabile de primul ordin

Având în vedere ecuația:

y^{'}{(x)}=a{(x)}\cdot b{(y{(x)})}

{\ displaystyle y ^ {'} {(x)} = a {(x)} \ cdot b {(y {(x)})}}

{\ displaystyle y ^ {'} {(x)} = a {(x)} \ cdot b {(y {(x)})}}

unde este $a(x)$ ${\ displaystyle a (x)}$ $a (x)$ Și $b(x)$ ${\ displaystyle b (x)}$ $b (x)$ sunt funcții continue, respectiv în propriile intervale de definiție, este neliniar dacă $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ nu este un polinom de gradul I. Revenirea la o problemă Cauchy prin impunerea unei condiții inițiale $y{(x_{0})}=y_{0}$ ${\ displaystyle y {(x_ {0})} = y_ {0}}$ ${\ displaystyle y {(x_ {0})} = y_ {0}}$ este posibil să se rezolve problema cu metoda de separare a variabilelor cu procedura descrisă mai sus.