Metode de soluție numerică pentru ecuații diferențiale obișnuite

Metodele de soluție numerică pentru ecuațiile diferențiale obișnuite permit rezolvarea într-un mod aproximativ a ecuațiilor diferențiale ordinare care altfel nu pot fi tratate.

Metode cu un singur pas

O metodă numerică pentru rezolvarea unei ecuații diferențiale este definită ca un pas dacă pentru fiecare $n>0,y_{n+1}$ ${\ displaystyle n> 0, y_ {n + 1}}$ ${\ displaystyle n> 0, y_ {n + 1}}$ depinde doar de $y_{n}$ ${\ displaystyle y_ {n}}$ ${\ displaystyle y_ {n}}$ . Altfel vorbim despre o metodă în mai mulți pași sau în mai mulți pași.

Metodele lui Euler

Metoda explicită (sau „înainte”) a lui Euler

Același subiect în detaliu: metoda lui Euler .

Aceasta este o metodă explicită de rezolvare a unei ecuații diferențiale. Având în vedere ecuația sub forma:

y'={\frac {dy}{dx}}=f(x,y)

{\ displaystyle y '= {\ frac {dy} {dx}} = f (x, y)}

{\ displaystyle y '= {\ frac {dy} {dx}} = f (x, y)}

cu condiția inițială:

y(x=x_{0})=y_{0}

{\ displaystyle y (x = x_ {0}) = y_ {0}}

{\ displaystyle y (x = x_ {0}) = y_ {0}}

definit în domeniu $x\in [a,b]$ ${\ displaystyle x \ in [a, b]}$ ${\ displaystyle x \ in [a, b]}$ este necesar în primul rând să discretizați domeniul cu un singur pas $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ , obținând punctele discrete $\lbrace x_{0},x_{1},\dots ,x_{N}\rbrace$ ${\ displaystyle \ lbrace x_ {0}, x_ {1}, \ dots, x_ {N} \ rbrace}$ ${\ displaystyle \ lbrace x_ {0}, x_ {1}, \ dots, x_ {N} \ rbrace}$ , unde este $x_{n}=x_{0}+nh$ ${\ displaystyle x_ {n} = x_ {0} + nh}$ ${\ displaystyle x_ {n} = x_ {0} + nh}$ , cu $x_{0}=a$ ${\ displaystyle x_ {0} = a}$ ${\ displaystyle x_ {0} = a}$ Și $x_{N}=b$ ${\ displaystyle x_ {N} = b}$ ${\ displaystyle x_ {N} = b}$ . În acest moment procedura este de a înlocui ecuația tangentei funcției:

y_{1}-y_{0}=f_{x_{0},y_{0}}\cdot (x_{1}-x_{0})

{\ displaystyle y_ {1} -y_ {0} = f_ {x_ {0}, y_ {0}} \ cdot (x_ {1} -x_ {0})}

{\ displaystyle y_ {1} -y_ {0} = f_ {x_ {0}, y_ {0}} \ cdot (x_ {1} -x_ {0})}

y_{2}-y_{1}=f_{x_{1},y_{1}}\cdot (x_{2}-x_{1})

{\ displaystyle y_ {2} -y_ {1} = f_ {x_ {1}, y_ {1}} \ cdot (x_ {2} -x_ {1})}

{\ displaystyle y_ {2} -y_ {1} = f_ {x_ {1}, y_ {1}} \ cdot (x_ {2} -x_ {1})}

\dots

{\ displaystyle \ dots}

\ dots

Y-y_{n-1}=f_{x_{n-1},y_{n-1}}\cdot (x_{n}-x_{n-1})

{\ displaystyle Y-y_ {n-1} = f_ {x_ {n-1}, y_ {n-1}} \ cdot (x_ {n} -x_ {n-1})}

{\ displaystyle Y-y_ {n-1} = f_ {x_ {n-1}, y_ {n-1}} \ cdot (x_ {n} -x_ {n-1})}

În acest fel, soluția devine o sumă de funcții liniare „trunchiate”:

Y=y_{0}+f_{x_{0},y_{0}}\cdot (x-x_{0})^{Tr}+f_{x_{1},y_{1}}\cdot (x-x_{1})^{Tr}+\cdots +f_{x_{n-1},y_{n-1}}\cdot (x-x_{n-1})^{Tr}

{\ displaystyle Y = y_ {0} + f_ {x_ {0}, y_ {0}} \ cdot (x-x_ {0}) ^ {Tr} + f_ {x_ {1}, y_ {1}} \ cdot (x-x_ {1}) ^ {Tr} + \ cdots + f_ {x_ {n-1}, y_ {n-1}} \ cdot (x-x_ {n-1}) ^ {Tr}}

{\ displaystyle Y = y_ {0} + f_ {x_ {0}, y_ {0}} \ cdot (x-x_ {0}) ^ {Tr} + f_ {x_ {1}, y_ {1}} \ cdot (x-x_ {1}) ^ {Tr} + \ cdots + f_ {x_ {n-1}, y_ {n-1}} \ cdot (x-x_ {n-1}) ^ {Tr}}

in care:

(x-x_{i-1})^{Tr}={\begin{cases}0&{\text{ se }}x\leq x_{i-1}\\x-x_{i-1}&{\text{ se }}x_{i-1}\leq x\leq x_{i}\\x_{i}-x_{i-1}&{\text{ se }}x_{i}\leq x\end{cases}}

{\ displaystyle (x-x_ {i-1}) ^ {Tr} = {\ begin {cases} 0 & {\ text {se}} x \ leq x_ {i-1} \\ x-x_ {i- 1} & {\ text {se}} x_ {i-1} \ leq x \ leq x_ {i} \\ x_ {i} -x_ {i-1} & {\ text {se}} x_ {i} \ leq x \ end {cases}}}

{\ displaystyle (x-x_ {i-1}) ^ {Tr} = {\ begin {cases} 0 & {\ text {se}} x \ leq x_ {i-1} \\ x-x_ {i- 1} & {\ text {se}} x_ {i-1} \ leq x \ leq x_ {i} \\ x_ {i} -x_ {i-1} & {\ text {se}} x_ {i} \ leq x \ end {cases}}}

pentru $i=1,\ldots ,n$ ${\ displaystyle i = 1, \ ldots, n}$ ${\ displaystyle i = 1, \ ldots, n}$ .

Metoda Euler implicită (sau înapoi)

Același subiect în detaliu: metoda Euler înapoi .

Este o metodă implicită pentru rezolvarea unei ecuații diferențiale, obținută prin aproximarea derivatei cu diferențe finite înapoi :

{\frac {dy}{dx}}\approx {\frac {y_{n}-y_{n-1}}{h}}

{\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} \ approx {\ frac {y_ {n} -y_ {n-1}} {h}}}

{\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} \ approx {\ frac {y_ {n} -y_ {n-1}} {h}}}

care se aplică ecuației diferențiale devine:

{\frac {y_{n}-y_{n-1}}{h}}=f(x_{n},y_{n})

{\ displaystyle {\ frac {y_ {n} -y_ {n-1}} {h}} = f (x_ {n}, y_ {n})}

{\ displaystyle {\ frac {y_ {n} -y_ {n-1}} {h}} = f (x_ {n}, y_ {n})}

echivalentă cu:

{\frac {y_{n+1}-y_{n}}{h}}=f(x_{n+1},y_{n+1})

{\ displaystyle {\ frac {y_ {n + 1} -y_ {n}} {h}} = f (x_ {n + 1}, y_ {n + 1})}

{\ displaystyle {\ frac {y_ {n + 1} -y_ {n}} {h}} = f (x_ {n + 1}, y_ {n + 1})}

din care obținem formula soluției generice:

y_{n+1}=y_{n}+hf(x_{n+1},y_{n+1})

{\ displaystyle y_ {n + 1} = y_ {n} + hf (x_ {n + 1}, y_ {n + 1})}

{\ displaystyle y_ {n + 1} = y_ {n} + hf (x_ {n + 1}, y_ {n + 1})}

Pentru a rezolva ecuația, revenim, așadar, la o problemă a găsirii zerourilor unei funcții. Deși este, de asemenea, o metodă de prim ordin, este în general mai stabilă decât metoda explicită analogă. Metodele lui Euler sunt utilizate aproape exclusiv în analiza numerică , deoarece vă permit să rezolvați pur și simplu ecuații diferențiale folosind computerul .

Metoda trapezoidală (sau metoda Crank-Nicolson)

Același subiect în detaliu: metoda Crank-Nicolson .

Metodele anterioare nu sunt întotdeauna utilizabile în aproximarea numerică a ecuațiilor diferențiale. De exemplu, în cazul pendulului liniar:

{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+x=0

{\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} x} {dt ^ {2}}} + x = 0}

{\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} x} {dt ^ {2}}} + x = 0}

Cele două metode ale lui Euler vor conduce, în timpul procesului de numerotare, la transformarea centrului într-un foc. Există, prin urmare, alte metode, una dintre acestea este metoda trapezoidală. Cu toate acestea, această metodă derivă din metodele lui Euler: este suficient să adăugați membru cu membru formula metodei Euler explicite și cea a Eulerului implicit pentru a obține noua metodă, după cum urmează:

y_{n+1}=y_{n}+{\frac {h}{2}}(f_{n}+f_{n+1})=y_{n}+{\frac {h}{2}}(y'_{n}+y'_{n+1})

{\ displaystyle y_ {n + 1} = y_ {n} + {\ frac {h} {2}} (f_ {n} + f_ {n + 1}) = y_ {n} + {\ frac {h} {2}} (y ​​'_ {n} + y' _ {n + 1})}

{\ displaystyle y_ {n + 1} = y_ {n} + {\ frac {h} {2}} (f_ {n} + f_ {n + 1}) = y_ {n} + {\ frac {h} {2}} (y ​​'_ {n} + y' _ {n + 1})}

Denumirea metodei derivă din faptul că formula rezultată are aceeași formă folosită pentru a aproxima integralul definit al unei funcții precum aria unui trapez.

Metoda lui Heun

Același subiect în detaliu: metoda lui Heun .

Mai întâi, calculați:

y_{n+1}^{(0)}=y_{n}+hf_{n}

{\ displaystyle y_ {n + 1} ^ {(0)} = y_ {n} + hf_ {n}}

{\ displaystyle y_ {n + 1} ^ {(0)} = y_ {n} + hf_ {n}}

Apoi, calculați:

y_{n+1}=y_{n}+{\frac {h}{2}}(f(x_{n},y_{n})+f(x_{n}+h,y_{n+1}^{(0)}))

{\ displaystyle y_ {n + 1} = y_ {n} + {\ frac {h} {2}} (f (x_ {n}, y_ {n}) + f (x_ {n} + h, y_ { n + 1} ^ {(0)}))}}

{\ displaystyle y_ {n + 1} = y_ {n} + {\ frac {h} {2}} (f (x_ {n}, y_ {n}) + f (x_ {n} + h, y_ { n + 1} ^ {(0)}))}}

Metode în mai mulți pași

Aceste metode folosesc nu numai $f_{n}$ ${\ displaystyle f_ {n}}$ $f_n$ Și $f_{n+1}$ ${\ displaystyle f_ {n + 1}}$ ${\ displaystyle f_ {n + 1}}$ a calcula $y_{n+1}$ ${\ displaystyle y_ {n + 1}}$ $y _ {{n + 1}}$ dar și valorile $f_{n-k}$ ${\ displaystyle f_ {nk}}$ ${\ displaystyle f_ {n-k}}$ . Cu toate aceste metode, este necesar să se utilizeze mai întâi o metodă cu un singur pas (cum ar fi metoda lui Euler) pentru a calcula primele valori ale $f_{n-k}$ ${\ displaystyle f_ {nk}}$ ${\ displaystyle f_ {n-k}}$ .

Metoda Adams-Bashforth

Metoda explicită:

y_{n+1}=y_{n}+{\frac {h}{12}}(23f_{n}-16f_{n-1}+5f_{n-2})

{\ displaystyle y_ {n + 1} = y_ {n} + {\ frac {h} {12}} (23f_ {n} -16f_ {n-1} + 5f_ {n-2})}

{\ displaystyle y_ {n + 1} = y_ {n} + {\ frac {h} {12}} (23f_ {n} -16f_ {n-1} + 5f_ {n-2})}

A fost folosit de John Couch Adams pentru a rezolva ecuațiile diferențiale ale teoriei capilarității (vezi bibliografia).

Metoda Adams-Moulton

Metoda implicită:

y_{n+1}=y_{n}+{\frac {h}{12}}(5f_{n+1}+8f_{n}-f_{n-1})

{\ displaystyle y_ {n + 1} = y_ {n} + {\ frac {h} {12}} (5f_ {n + 1} + 8f_ {n} -f_ {n-1})}

{\ displaystyle y_ {n + 1} = y_ {n} + {\ frac {h} {12}} (5f_ {n + 1} + 8f_ {n} -f_ {n-1})}

Formule de diferențiere înapoi

Același subiect în detaliu: formula de diferențiere înapoi .

Formulele de diferențiere înapoi (BDF) sunt o familie de metode implicite utilizate în special pentru soluția ecuațiilor diferențiale rigide .

Metode predictor-corector

O metodă predictor-corector este formată dintr-o metodă explicită (predictorul) și o metodă implicită (corectorul). În primul rând, metoda explicită este utilizată pentru a calcula o aproximare a $y_{n+1}$ ${\ displaystyle y_ {n + 1}}$ $y _ {{n + 1}}$ , atunci această aproximare a $y_{n+1}$ ${\ displaystyle y_ {n + 1}}$ $y _ {{n + 1}}$ este utilizat în metoda implicită pentru a calcula o aproximare mai bună a $y_{n+1}$ ${\ displaystyle y_ {n + 1}}$ $y _ {{n + 1}}$ . Avantajul acestui tip de metodă este de a evita rezolvarea unei ecuații implicite pentru $y_{n+1}$ ${\ displaystyle y_ {n + 1}}$ $y _ {{n + 1}}$ . Un exemplu de metodă de predicție a corectorului este metoda Adams-Bashforth (predictorul) cu metoda Adams-Moulton (corectorul).

Metoda de aproximare a seriei de putere

Același subiect în detaliu: seria Power și Convergența .

Seriile de putere sunt un algoritm pentru construirea de funcții și, prin urmare, soluții de ecuații diferențiale liniare. Procedura constă în construirea formală a unei serii de putere astfel încât coeficienții săi să satisfacă ecuația diferențială, în special folosind seria derivată, și apoi să verifice dacă alegerea coeficienților dă o serie convergentă, convergând astfel la o funcție.

Exemplu

Considera:

y'=5y

{\ displaystyle y '= 5y}

{\ displaystyle y '= 5y}

Seria este construită formal:

\sum _{k=0}^{+\infty }ka_{k}x^{k-1}=5\cdot \sum _{k=0}^{+\infty }a_{k}x^{k}

{\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {+ \ infty} ka_ {k} x ^ {k-1} = 5 \ cdot \ sum _ {k = 0} ^ {+ \ infty} a_ {k} x ^ {k}}

{\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {+ \ infty} ka_ {k} x ^ {k-1} = 5 \ cdot \ sum _ {k = 0} ^ {+ \ infty} a_ {k} x ^ {k}}

evaluarea primilor termeni:

a_{1}+2a_{2}\cdot x+3a_{3}\cdot x^{2}+...=5a_{0}+5a_{1}\cdot x+5a_{2}\cdot x^{2}+...

{\ displaystyle a_ {1} + 2a_ {2} \ cdot x + 3a_ {3} \ cdot x ^ {2} + ... = 5a_ {0} + 5a_ {1} \ cdot x + 5a_ {2} \ cdot x ^ {2} + ...}

{\ displaystyle a_ {1} + 2a_ {2} \ cdot x + 3a_ {3} \ cdot x ^ {2} + ... = 5a_ {0} + 5a_ {1} \ cdot x + 5a_ {2} \ cdot x ^ {2} + ...}

echivalând cu puterile respective ale $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ :

a_{1}=5a_{0}

{\ displaystyle a_ {1} = 5a_ {0}}

{\ displaystyle a_ {1} = 5a_ {0}}

care corespunde

a_{1}=5a_{0}

{\ displaystyle a_ {1} = 5a_ {0}}

{\ displaystyle a_ {1} = 5a_ {0}}

2a_{2}=5a_{1}

{\ displaystyle 2a_ {2} = 5a_ {1}}

{\ displaystyle 2a_ {2} = 5a_ {1}}

care corespunde

a_{2}={\frac {5^{2}}{2}}a_{0}

{\ displaystyle a_ {2} = {\ frac {5 ^ {2}} {2}} a_ {0}}

{\ displaystyle a_ {2} = {\ frac {5 ^ {2}} {2}} a_ {0}}

3a_{3}=5a_{2}

{\ displaystyle 3a_ {3} = 5a_ {2}}

{\ displaystyle 3a_ {3} = 5a_ {2}}

care corespunde

a_{3}={\frac {5^{3}}{3!}}a_{0}

{\ displaystyle a_ {3} = {\ frac {5 ^ {3}} {3!}} a_ {0}}

{\ displaystyle a_ {3} = {\ frac {5 ^ {3}} {3!}} a_ {0}}

\dots

{\ displaystyle \ dots}

\ dots

ka_{k}=5a_{k-1}

{\ displaystyle ka_ {k} = 5a_ {k-1}}

{\ displaystyle ka_ {k} = 5a_ {k-1}}

care corespunde seriei:

a_{0}\sum _{k=0}^{+\infty }{\frac {5^{k}\cdot x^{k}}{k!}}

{\ displaystyle a_ {0} \ sum _ {k = 0} ^ {+ \ infty} {\ frac {5 ^ {k} \ cdot x ^ {k}} {k!}}}

{\ displaystyle a_ {0} \ sum _ {k = 0} ^ {+ \ infty} {\ frac {5 ^ {k} \ cdot x ^ {k}} {k!}}}

Această serie converge în $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ pentru fiecare alegere de $a_{0}$ ${\ displaystyle a_ {0}}$ $a_ {0}$ (fiind capabil să conducă înapoi la seria exponențială cu înlocuirea $\xi =5x$ ${\ displaystyle \ xi = 5x}$ ${\ displaystyle \ xi = 5x}$ ) și suma acestei serii, care este o funcție de clasă $C^{1}(\mathbb {R} )$ ${\ displaystyle C ^ {1} (\ mathbb {R})}$ ${\ displaystyle C ^ {1} (\ mathbb {R})}$ , oferă o soluție la ecuația diferențială.

Desigur, algoritmul este valabil și pentru ecuațiile diferențiale liniare de ordine superioare.

Bibliografie

( EN ) DM Young și RT Gregory Un sondaj de matematică numerică (Dover, New York, 1988)
( EN ) L. Fox, Soluția numerică a problemelor de graniță în două puncte în ecuații diferențiale obișnuite. (Oxford University Press, 1957).
( EN ) WE Milne, Soluție numerică a ecuațiilor diferențiale. (John Wile & sons, Nueva York, 1953).
( EN ) M. Abramowitz și I. Stegun Handbook of Mathematical Functions (Dover, Nueva York, 1964) (secțiunea 25.5 ).
(EN) ET Whittaker și G. Robinson Calculul observațiilor: un tratat de matematică numerică (Blackie și Sons, Londra, 1924) (metoda lui Adams-Bashforth, capitolul 14)
( EN ) F. Bashforth și JC Adams O încercare de a testa teoriile acțiunii capilare prin compararea formelor teoretice și măsurate ale picăturilor de fluid. Cu o explicație a metodei de integrare folosită în realizarea tabelelor care dau formele teoretice ale unor astfel de picături (Cambridge University Press, 1883) (istoric; metoda originală a lui Adams și Bashforth)

Elemente conexe

linkuri externe

University of Brescia Methods of Adams and Crank-Nicolson; Metode Predictor Corrector
( EN ) Frank Vesely Introducere în fizica calculațională sec. II-4
(EN) Richard Fitzpatrick Fizică calculațională: un curs introductiv (Integrarea ODE)
( EN ) Stuart Daziel Metode numerice Note de curs sec. 6-7
( FR ) J. Rappaz Cours d'analyse numérique pour ingénieurs
( EN ) JC Kirkpatrick (1976) Formulele Adams pentru integrarea numerică a ecuațiilor diferențiale de la ordinul 1 la 20 Raport tehnic NASA NASA-TM-X-58182
( EN ) E. Fehlberg (1968) Formule clasice Runge-Kutta de ordinul cinci, șase, șapte și opt, cu control pe dimensiuni

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică