Extrapolarea Richardson

Extrapolarea lui Richardson este o metodă care permite construirea unor aproximări numerice de ordin superior pornind de la formule de ordin inferior. Este numit după Lewis Fry Richardson , care a introdus metoda la începutul secolului al XX-lea , ^[1] ^[2] și este o tehnică importantă în analiza numerică , definită de unii autori ca o metodă de „transformare a plumbului în aur” ^[3] și „a cărui importanță cu greu poate fi supraevaluată”. ^[4]

Aplicațiile extrapolării lui Richardson includ metoda lui Romberg , care aplică extrapolarea lui Richardson la regula trapezoidală și algoritmul Bulirsch-Stoer pentru rezolvarea ecuațiilor diferențiale obișnuite .

Formulare

O funcție este dată $A^{*}$ ${\ displaystyle A ^ {*}}$ $A ^ {*}$ și o aproximare numerică a acestuia $A(h)$ ${\ displaystyle A (h)}$ ${\ displaystyle A (h)}$ cu pas $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ și comanda eroare de trunchiere $O(h^{k_{0}})$ ${\ displaystyle O (h ^ {k_ {0}})}$ ${\ displaystyle O (h ^ {k_ {0}})}$

A^{*}=A(h)+e

{\ displaystyle A ^ {*} = A (h) + e}

{\ displaystyle A ^ {*} = A (h) + e}

al cărui reziduu $e=O(h^{k_{0}})$ ${\ displaystyle e = O (h ^ {k_ {0}})}$ ${\ displaystyle e = O (h ^ {k_ {0}})}$ are formă

e=C_{0}h^{k_{0}}+C_{1}h^{k_{1}}+C_{2}h^{k_{2}}+\cdots

{\ displaystyle e = C_ {0} h ^ {k_ {0}} + C_ {1} h ^ {k_ {1}} + C_ {2} h ^ {k_ {2}} + \ cdots}

{\ displaystyle e = C_ {0} h ^ {k_ {0}} + C_ {1} h ^ {k_ {1}} + C_ {2} h ^ {k_ {2}} + \ cdots}

unde este $C_{i}$ ${\ displaystyle C_ {i}}$ $Acolo}$ sunt constante necunoscute și $k_{i}$ ${\ displaystyle k_ {i}}$ $k_ {i}$ sunt constante cunoscute și astfel încât $k_{i+1}>k_{i}\;\forall i$ ${\ displaystyle k_ {i + 1}> k_ {i} \; \ forall i}$ ${\ displaystyle k_ {i + 1}> k_ {i} \; \ forall i}$ .

Aplicarea aproximării $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ cu pas ${\frac {h}{t}}$ ${\ displaystyle {\ frac {h} {t}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {h} {t}}}$ , unde este $t>0$ ${\ displaystyle t> 0}$ $t> 0$ este o constantă arbitrară, obținem

A^{*}=A\left({\frac {h}{t}}\right)+C_{0}\left({\frac {h}{t}}\right)^{k_{0}}+O\left(h^{k_{1}}\right).

{\ displaystyle A ^ {*} = A \ left ({\ frac {h} {t}} \ right) + C_ {0} \ left ({\ frac {h} {t}} \ right) ^ {k_ {0}} + O \ left (h ^ {k_ {1}} \ right).}

{\ displaystyle A ^ {*} = A \ left ({\ frac {h} {t}} \ right) + C_ {0} \ left ({\ frac {h} {t}} \ right) ^ {k_ {0}} + O \ left (h ^ {k_ {1}} \ right).}

Înmulțind ambele părți cu $t^{k_{0}}$ ${\ displaystyle t ^ {k_ {0}}}$ ${\ displaystyle t ^ {k_ {0}}}$ și scăderea formulei originale

A^{*}=A(h)+C_{0}h^{k_{0}}+O(h^{k_{1}})

{\ displaystyle A ^ {*} = A (h) + C_ {0} h ^ {k_ {0}} + O (h ^ {k_ {1}})}

{\ displaystyle A ^ {*} = A (h) + C_ {0} h ^ {k_ {0}} + O (h ^ {k_ {1}})}

eroarea termenului de comandă $k_{0}$ ${\ displaystyle k_ {0}}$ ${\ displaystyle k_ {0}}$ se curăță

t^{k_{0}}A^{*}-A^{*}=t^{k_{0}}A\left({\frac {h}{t}}\right)-A(h)+{\cancel {t^{k_{0}}C_{0}\left({\frac {h}{t}}\right)^{k_{0}}}}-{\cancel {C_{0}h^{k_{0}}}}+O(h^{k_{1}})

{\ displaystyle t ^ {k_ {0}} A ^ {*} - A ^ {*} = t ^ {k_ {0}} A \ left ({\ frac {h} {t}} \ right) -A (h) + {\ cancel {t ^ {k_ {0}} C_ {0} \ left ({\ frac {h} {t}} \ right) ^ {k_ {0}}}} - {\ cancel { C_ {0} h ^ {k_ {0}}}} + O (h ^ {k_ {1}})}

{\ displaystyle t ^ {k_ {0}} A ^ {*} - A ^ {*} = t ^ {k_ {0}} A \ left ({\ frac {h} {t}} \ right) -A (h) + {\ cancel {t ^ {k_ {0}} C_ {0} \ left ({\ frac {h} {t}} \ right) ^ {k_ {0}}}} - {\ cancel { C_ {0} h ^ {k_ {0}}}} + O (h ^ {k_ {1}})}

obținerea unei noi formule de comandă $k_{1}>k_{0}$ ${\ displaystyle k_ {1}> k_ {0}}$ ${\ displaystyle k_ {1}> k_ {0}}$

A^{*}={\frac {t^{k_{0}}A\left({\frac {h}{t}}\right)-A(h)}{t^{k_{0}}-1}}+O(h^{k_{1}})

{\ displaystyle A ^ {*} = {\ frac {t ^ {k_ {0}} A \ left ({\ frac {h} {t}} \ right) -A (h)} {t ^ {k_ { 0}} - 1}} + O (h ^ {k_ {1}})}

{\ displaystyle A ^ {*} = {\ frac {t ^ {k_ {0}} A \ left ({\ frac {h} {t}} \ right) -A (h)} {t ^ {k_ { 0}} - 1}} + O (h ^ {k_ {1}})}

Metoda poate fi aplicată recursiv, construind o succesiune de formule

A_{i+1}(h)={\frac {t^{k_{0}}A_{i}\left({\frac {h}{t}}\right)-A_{i}(h)}{t^{k_{0}}-1}}

{\ displaystyle A_ {i + 1} (h) = {\ frac {t ^ {k_ {0}} A_ {i} \ left ({\ frac {h} {t}} \ right) -A_ {i} (h)} {t ^ {k_ {0}} - 1}}}

{\ displaystyle A_ {i + 1} (h) = {\ frac {t ^ {k_ {0}} A_ {i} \ left ({\ frac {h} {t}} \ right) -A_ {i} (h)} {t ^ {k_ {0}} - 1}}}

cu $A_{0}(h)=A(h)$ ${\ displaystyle A_ {0} (h) = A (h)}$ ${\ displaystyle A_ {0} (h) = A (h)}$ , astfel încât $A^{*}=A_{i}(h)+O(h^{k_{i}})$ ${\ displaystyle A ^ {*} = A_ {i} (h) + O (h ^ {k_ {i}})}$ ${\ displaystyle A ^ {*} = A_ {i} (h) + O (h ^ {k_ {i}})}$ .

Notă

^ LF Richardson , Soluția aritmetică aproximativă prin diferențe finite de probleme fizice, inclusiv ecuații diferențiale, cu o aplicație la solicitările într-un baraj de zidărie , în Philosophical Transactions of the Royal Society A , vol. 210, nr. 459-470, 1911, pp. 307–357, DOI : 10.1098 / rsta.1911.0009 .
^ LF Richardson și JA Gaunt, Abordarea amânată a limitei , în Philosophical Transactions of the Royal Society A , vol. 226, nr. 636-646, 1927, pp. 299–349, DOI : 10.1098 / rsta.1927.0008 .
^ WH Press, BP Flannery, SA Teukolsky și WT Vetterling, Richardson Extrapolation and the Bulirsch-Stoer Method , în Numerical Recipes în FORTRAN: The Art of Scientific Computing , 2nd, Cambridge, Cambridge University Press, 1992, pp. 718 -725.
^ Garrett Birkhoff și Gian-Carlo Rota , Ecuații diferențiale ordinare , 3, John Wiley și fii, 1978, p. 126, ISBN 0-471-07411-X ,OCLC 4379402 .

Bibliografie

Metode de extrapolare. Teorie și practică de C. Brezinski și M. Redivo Zaglia, Olanda de Nord, 1991.
Ivan Dimov, Zahari Zlatev, Istvan Farago, Agnes Havasi: Richardson Extrapolation: Practical Aspects and Applications , Walter de Gruyter GmbH & Co KG, ISBN 9783110533002 (2017).

linkuri externe

(EN) (EN) Eric W. Weisstein, Richardson Extrapolation , în MathWorld Wolfram Research.
( EN ) Metode fundamentale de extrapolare numerică cu aplicații , mit.edu
(EN) Richardson-Extrapolation
(EN) Extrapolarea Richardson pe un site web al lui Robert Israel (Universitatea British Columbia)

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[note1-1] LF Richardson , Soluția aritmetică aproximativă prin diferențe finite de probleme fizice, inclusiv ecuații diferențiale, cu o aplicație la solicitările într-un baraj de zidărie , în Philosophical Transactions of the Royal Society A , vol. 210, nr. 459-470, 1911, pp. 307–357, DOI : 10.1098 / rsta.1911.0009 .

[note2-2] LF Richardson și JA Gaunt, Abordarea amânată a limitei , în Philosophical Transactions of the Royal Society A , vol. 226, nr. 636-646, 1927, pp. 299–349, DOI : 10.1098 / rsta.1927.0008 .

[note0-3] WH Press, BP Flannery, SA Teukolsky și WT Vetterling, Richardson Extrapolation and the Bulirsch-Stoer Method , în Numerical Recipes în FORTRAN: The Art of Scientific Computing , 2nd, Cambridge, Cambridge University Press, 1992, pp. 718 -725.

[note3-4] Garrett Birkhoff și Gian-Carlo Rota , Ecuații diferențiale ordinare , 3, John Wiley și fii, 1978, p. 126, ISBN 0-471-07411-X ,OCLC 4379402 .

[1]

[2]

[3]

[4]