Ecuație rigidă

În matematică , o ecuație rigidă (în engleză stiff: rigid, hard, difficult) este o ecuație diferențială pentru care anumite metode de soluție sunt instabile numeric, cu excepția cazului în care etapa de integrare este luată extrem de mică. S-a dovedit dificil să se formuleze o definiție precisă a rigidității, dar ideea principală este că aceste ecuații includ câțiva termeni care pot duce la o variație rapidă a soluției.

Atunci când se integrează numeric o ecuație diferențială, ne-am aștepta ca etapa de integrare necesară să fie relativ mică într-o regiune în care soluția prezintă o variație mare și să fie relativ mare pe măsură ce soluția abordează o curbă cu o pantă apropiată de zero. Pentru unele probleme acest lucru nu este cazul: uneori, etapa de integrare este impusă prea mică în regiunile în care soluția este foarte blândă. Acest fenomen este cunoscut sub numele de rigiditate (rigiditate). În unele cazuri, este posibil să aveți două probleme diferite cu aceeași soluție în care una dintre cele două nu este rigidă, în timp ce cealaltă este rigidă. În mod evident, fenomenul nu poate fi o proprietate a soluției exacte, deoarece aceasta este aceeași pentru ambele probleme și, prin urmare, trebuie să fie o proprietate a sistemului diferențial în sine. Prin urmare, este potrivit să vorbim despre sisteme rigide sau rigide .

Definiție

Să luăm în considerare sistemul de ecuații diferențiale ordinare liniare cu coeficienți constanți da

\mathbf {y} '(t)=\mathrm {A} \mathbf {y} (t)+\mathbf {\varphi } (t),

{\ displaystyle \ mathbf {y} '(t) = \ mathrm {A} \ mathbf {y} (t) + \ mathbf {\ varphi} (t),}

{\ displaystyle \ mathbf {y} '(t) = \ mathrm {A} \ mathbf {y} (t) + \ mathbf {\ varphi} (t),}

și să presupunem că matricea $\mathrm {A} \in \mathbb {R} ^{n\times n}$ ${\ displaystyle \ mathrm {A} \ in \ mathbb {R} ^ {n \ times n}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {A} \ in \ mathbb {R} ^ {n \ times n}}$ avea $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ valori proprii distincte, ${\lambda }_{1},\dots ,{\lambda }_{n}$ ${\ displaystyle {\ lambda} _ {1}, \ dots, {\ lambda} _ {n}}$ ${\ displaystyle {\ lambda} _ {1}, \ dots, {\ lambda} _ {n}}$ , toate cu partea reală negativă: $\mathrm {Re} ({\lambda }_{j})<0,\forall j=1,\dots ,n$ ${\ displaystyle \ mathrm {Re} ({\ lambda} _ {j}) <0, \ forall j = 1, \ dots, n}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Re} ({\ lambda} _ {j}) <0, \ forall j = 1, \ dots, n}$ . Este ușor să verificați dacă soluția unui astfel de sistem este de formă

\mathbf {y} (t)=\sum _{j=1}^{n}c_{j}e^{{\lambda }_{j}t}\mathbf {v} _{j}+\mathbf {\psi } (t)=\mathbf {y} _{0}(t)+\mathbf {\psi } (t),

{\ displaystyle \ mathbf {y} (t) = \ sum _ {j = 1} ^ {n} c_ {j} e ^ {{\ lambda} _ {j} t} \ mathbf {v} _ {j} + \ mathbf {\ psi} (t) = \ mathbf {y} _ {0} (t) + \ mathbf {\ psi} (t),}

{\ displaystyle \ mathbf {y} (t) = \ sum _ {j = 1} ^ {n} c_ {j} e ^ {{\ lambda} _ {j} t} \ mathbf {v} _ {j} + \ mathbf {\ psi} (t) = \ mathbf {y} _ {0} (t) + \ mathbf {\ psi} (t),}

unde i $\mathbf {v} _{j}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {j}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {j}}$ formează o bază a vectorilor proprii ai $\mathrm {A} .$ ${\ displaystyle \ mathrm {A}.}$ ${\ displaystyle \ mathrm {A}.}$ De vreme foarte mare, de atunci $\mathrm {Re} ({\lambda }_{j})<0$ ${\ displaystyle \ mathrm {Re} ({\ lambda} _ {j}) <0}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Re} ({\ lambda} _ {j}) <0}$ , contribuția termenului $\mathbf {y} _{0}(t)$ ${\ displaystyle \ mathbf {y} _ {0} (t)}$ ${\ displaystyle \ mathbf {y} _ {0} (t)}$ soluția va fi infinitesimală. În cazul unor probleme rigide, se observă că metoda este forțată să utilizeze o etapă de discretizare $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ mic pentru a aproxima o componentă a soluției decât în limită $t\to +\infty$ ${\ displaystyle t \ to + \ infty}$ ${\ displaystyle t \ to + \ infty}$ tinde la zero și, prin urmare, aduce o contribuție din ce în ce mai neglijabilă la soluționarea problemei. Mai formal, scriind

\sigma \leq \mathrm {Re} ({\lambda }_{j})\leq \tau <0,\quad \forall j=1,\dots ,n,

{\ displaystyle \ sigma \ leq \ mathrm {Re} ({\ lambda} _ {j}) \ leq \ tau <0, \ quad \ forall j = 1, \ dots, n,}

{\ displaystyle \ sigma \ leq \ mathrm {Re} ({\ lambda} _ {j}) \ leq \ tau <0, \ quad \ forall j = 1, \ dots, n,}

și introducerea coeficientului de rigiditate $r_{s}={\dfrac {\sigma }{\tau }}$ ${\ displaystyle r_ {s} = {\ dfrac {\ sigma} {\ tau}}}$ ${\ displaystyle r_ {s} = {\ dfrac {\ sigma} {\ tau}}}$ vom spune că un sistem de ecuații diferențiale ordinare liniare cu coeficienți constanți, care are o matrice $\mathrm {A}$ ${\ displaystyle \ mathrm {A}}$ ${\ mathrm {A}}$ cu valori proprii toate de parte reală negativă, este rigid dacă $r_{s}\gg 1.$ ${\ displaystyle r_ {s} \ gg 1.}$ ${\ displaystyle r_ {s} \ gg 1.}$

Această definiție formală are mai multe limitări și nu caracterizează întotdeauna cu exactitate ideea intuitivă de rigiditate care este observată în aplicații. Din aceste motive, au fost propuse alte definiții mai euristice ale rigidității. Iată una dintre acestea, datorită lui J. Lambert:

Un sistem de ecuații diferențiale obișnuite se numește rigid dacă, prin apropierea acestuia cu o schemă numerică care prezintă o regiune de stabilitate absolută limitată, acesta, pentru fiecare dat inițial, forțează schema numerică să utilizeze un pas de discretizare mult mai mic decât cel cu adevărat necesar pentru descrie în mod rezonabil cursul soluției exacte.

A-stabilitate

Comportamentul metodelor numerice asupra problemelor rigide poate fi analizat prin aplicarea acestor metode ecuației de testare $y'=ky$ ${\ displaystyle y '= ky}$ ${\ displaystyle y '= ky}$ cu stare inițială $y(0)=1$ ${\ displaystyle y (0) = 1}$ $y (0) = 1$ , unde este $k\in \mathbb {C}$ ${\ displaystyle k \ in \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle k \ in \ mathbb {C}}$ . Soluția acestei ecuații este $y(t)=e^{kt}$ ${\ displaystyle y (t) = e ^ {kt}}$ ${\ displaystyle y (t) = e ^ {kt}}$ . Această soluție tinde la zero pentru $t\to \infty$ ${\ displaystyle t \ to \ infty}$ $t \ to \ infty$ cand ${\mbox{Re}}(k)<0$ ${\ displaystyle {\ mbox {Re}} (k) <0}$ ${\ displaystyle {\ mbox {Re}} (k) <0}$ . Dacă metoda numerică arată și acest comportament (cu un pas de integrare fix), atunci metoda se numește A-stabilă.

Bibliografie

J. Lambert. Metode numerice pentru sisteme diferențiale obișnuite. John Wiley și Sons, Chichester, 1991.
A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri. Matematică numerică. Springer, Milano, 2008. ISBN 978-88-470-0782-6 .

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică