Teorema existenței și unicității pentru o problemă Cauchy

În matematică , teorema existenței și unicității pentru o problemă Cauchy , numită și teorema Picard-Lindelöf , teorema existenței lui Picard sau teorema Cauchy-Lipschitz , stabilește condițiile de existență și unicitatea soluției unei ecuații diferențiale obișnuite .

Teorema spune că, dată fiind problema valorilor inițiale :

y'(t)=f(t,y(t)),\qquad y(t_{0})=y_{0},\qquad t\in [t_{0}-\varepsilon ,t_{0}+\varepsilon ],

{\ displaystyle y '(t) = f (t, y (t)), \ qquad y (t_ {0}) = y_ {0}, \ qquad t \ in [t_ {0} - \ varepsilon, t_ { 0} + \ varepsilon],}

{\ displaystyle y '(t) = f (t, y (t)), \ qquad y (t_ {0}) = y_ {0}, \ qquad t \ in [t_ {0} - \ varepsilon, t_ { 0} + \ varepsilon],}

de sine $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este o funcție Lipschitz în $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ și continuă în $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ apoi pentru unii $\varepsilon >0$ ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$ $\ varepsilon> 0$ există o singură soluție $y(t)$ ${\ displaystyle y (t)}$ $YT)$ la problema valorii inițiale pe interval $[t_{0}-\varepsilon ,t_{0}+\varepsilon ].$ ${\ displaystyle [t_ {0} - \ varepsilon, t_ {0} + \ varepsilon].}$ ${\ displaystyle [t_ {0} - \ varepsilon, t_ {0} + \ varepsilon].}$

Teorema

Este $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ o funcție definită într-un cartier al punctului $(x_{0},y_{0})\in \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0}) \ in \ mathbb {R} \ times \ mathbb {R} ^ {n}}$ $(x_ {0}, y_ {0}) \ in \ mathbb {R} \ times \ mathbb {R} ^ {n}$ a formei:

I\times J=\{(x,y)\in \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n}:|x-x_{0}|\leq a,\|y-y_{0}\|\leq b\},

{\ displaystyle I \ times J = \ {(x, y) \ in \ mathbb {R} \ times \ mathbb {R} ^ {n}: | x-x_ {0} | \ leq a, \ | y- y_ {0} \ | \ leq b \},}

{\ displaystyle I \ times J = \ {(x, y) \ in \ mathbb {R} \ times \ mathbb {R} ^ {n}: | x-x_ {0} | \ leq a, \ | y- y_ {0} \ | \ leq b \},}

cu $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ , $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ pozitive reale și întreabă asta $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este cel puțin elegant $C^{0}$ ${\ displaystyle C ^ {0}}$ $C ^ {{0}}$ în astfel de împrejurimi. Să presupunem, de asemenea, că $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este Lipschitz în raport cu variabila $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ și uniform continuu față de variabilă $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ :

\|f(x,y_{1})-f(x,y_{2})\|\leq L\cdot \|y_{1}-y_{2}\|\quad \forall x\in I\quad \forall y_{1},y_{2}\in J,

{\ displaystyle \ | f (x, y_ {1}) - f (x, y_ {2}) \ | \ leq L \ cdot \ | y_ {1} -y_ {2} \ | \ quad \ forall x \ în I \ quad \ forall y_ {1}, y_ {2} \ în J,}

{\ displaystyle \ | f (x, y_ {1}) - f (x, y_ {2}) \ | \ leq L \ cdot \ | y_ {1} -y_ {2} \ | \ quad \ forall x \ în I \ quad \ forall y_ {1}, y_ {2} \ în J,}

cu $L>0$ ${\ displaystyle L> 0}$ $L> 0$ Constanta Lipschitz . Apoi problema Cauchy :

\Theta =\left\{{\begin{array}{ll}y'&=f(x,y)\\y(x_{0})&=y_{0}\end{array}}\right.

{\ displaystyle \ Theta = \ left \ {{\ begin {array} {ll} y '& = f (x, y) \\ y (x_ {0}) & = y_ {0} \ end {array}} \ dreapta.}

\ Theta = \ left \ {{\ begin {array} {ll} y '& = f (x, y) \\ y (x_ {0}) & = y_ {0} \ end {array}} \ right.

are o soluție unică. ^[1]

Sub ipoteza continuității funcției este posibil să se demonstreze echivalența dintre problema lui Cauchy și următoarea ecuație integrală , numită ecuația Volterra :

y(x)=y_{0}+\int _{x_{0}}^{x}f(t,y(t))\mathrm {d} t,\qquad \forall x\in I_{\delta },

{\ displaystyle y (x) = y_ {0} + \ int _ {x_ {0}} ^ {x} f (t, y (t)) \ mathrm {d} t, \ qquad \ forall x \ in I_ {\ delta},}

{\ displaystyle y (x) = y_ {0} + \ int _ {x_ {0}} ^ {x} f (t, y (t)) \ mathrm {d} t, \ qquad \ forall x \ in I_ {\ delta},}

unde este ${I_{\delta }}\,=\,\left[{x_{0}}-\delta ,{x_{0}}+\delta \right]$ ${\ displaystyle {I _ {\ delta}} \, = \, \ left [{x_ {0}} - \ delta, {x_ {0}} + \ delta \ right]}$ ${I _ {\ delta}} \, = \, \ left [{x_ {0}} - \ delta, {x_ {0}} + \ delta \ right]$ este un cartier al $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ , cu $\delta$ ${\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ valoare adecvată. Existența unei funcții $y=y(x)$ ${\ displaystyle y = y (x)}$ $y = y (x)$ care satisface sistemul $\Theta$ ${\ displaystyle \ Theta}$ $\ Theta$ apare dacă și numai dacă această ecuație admite o soluție.

Demonstrații

Două dovezi diferite ale teoremei sunt enumerate mai jos. Primul exploatează conceptele de bază ale analizei funcționale , în timp ce al doilea folosește argumente reale de analiză și are avantajul de a arăta cum să construiască o soluție operațional prin aproximări succesive și de a oferi o estimare generală mai exactă a amplitudinii $\delta$ ${\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ gama de definiții a soluției.

Prima demonstrație

Este $\delta <\min \left\{a,{\tfrac {1}{L}},{\tfrac {b}{M}}\right\}$ ${\ displaystyle \ delta <\ min \ left \ {a, {\ tfrac {1} {L}}, {\ tfrac {b} {M}} \ right \}}$ $\ delta <\ min \ left \ {a, {\ tfrac {1} {L}}, {\ tfrac {b} {M}} \ right \}$ cu $M=\max\{|f(x,y)|:(x,y)\in I\times J\}$ ${\ displaystyle M = \ max \ {| f (x, y) |: (x, y) \ în I \ times J \}}$ $M = \ max \ {| f (x, y) |: (x, y) \ în I \ times J \}$ . Rețineți că $M\in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle M \ in \ mathbb {R}}$ $M \ in \ R$ de teorema lui Weierstrass (din $I\times J$ ${\ displaystyle I \ times J}$ $I \ ori J$ este compact ). În cazul în care $M=0$ ${\ displaystyle M = 0}$ $M = 0$ , sau daca $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este identic zero, sistemul admite funcția constantă ca singură soluție $y(x)=y_{0}$ ${\ displaystyle y (x) = y_ {0}}$ $y (x) = y_ {0}$ , deci se poate presupune $M\neq 0$ ${\ displaystyle M \ neq 0}$ $M \ neq 0$ .

Este $I_{\delta }=[x_{0}-\delta ,x_{0}+\delta ].$ ${\ displaystyle I _ {\ delta} = [x_ {0} - \ delta, x_ {0} + \ delta].}$ ${\ displaystyle I _ {\ delta} = [x_ {0} - \ delta, x_ {0} + \ delta].}$ Putem lua în considerare spațiul metric $(X,\|\cdot \|_{C^{0}})$ ${\ displaystyle (X, \ | \ cdot \ | _ {C ^ {0}})}$ $(X, \ | \ cdot \ | _ {{C ^ {{0}}}})$ funcții $g:I_{\delta }\to \mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle g: I _ {\ delta} \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$ $g: I _ {\ delta} \ to \ mathbb {R} ^ {n}$ continuați cu norma limită superioară și o minge în interiorul acesteia, definită de:

B=\{g\in X:\|g-y_{0}\|_{C^{0}}\leq b\}.

{\ displaystyle B = \ {g \ în X: \ | g-y_ {0} \ | _ {C ^ {0}} \ leq b \}.}

{\ displaystyle B = \ {g \ în X: \ | g-y_ {0} \ | _ {C ^ {0}} \ leq b \}.}

Fiind spațiul $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ completă și $B\subseteq X$ ${\ displaystyle B \ subseteq X}$ $B \ subseteq X$ închis , apoi acesta din urmă se dovedește a fi un spațiu complet în raport cu metrica indusă .

Apoi continuăm definind operatorul $F:B\to B$ ${\ displaystyle F: B \ to B}$ $F: B \ to B$ , numit „operator al Volterra ”, astfel încât $F(y)={\widehat {y}}$ ${\ displaystyle F (y) = {\ widehat {y}}}$ $F (y) = \ widehat {y}$ , unde este:

{\widehat {y}}=y_{0}+\int _{x_{0}}^{x}f(t,y(t))\mathrm {d} t.

{\ displaystyle {\ widehat {y}} = y_ {0} + \ int _ {x_ {0}} ^ {x} f (t, y (t)) \ mathrm {d} t.}

{\ displaystyle {\ widehat {y}} = y_ {0} + \ int _ {x_ {0}} ^ {x} f (t, y (t)) \ mathrm {d} t.}

În primul rând, observăm că $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ este bine definit, și anume că $\forall y\in B$ ${\ displaystyle \ forall y \ în B}$ $\ forall y \ în B$ da ai $F(y)\in B$ ${\ displaystyle F (y) \ în B}$ $F (y) \ în B$ . Intr-adevar:

|{\widehat {y}}-y_{0}|=\left|\int _{x_{0}}^{x}f(t,y(t))\mathrm {d} t\right|\leq \int _{x_{0}}^{x}|f(t,y(t))|\mathrm {d} t,

{\ displaystyle | {\ widehat {y}} - y_ {0} | = \ left | \ int _ {x_ {0}} ^ {x} f (t, y (t)) \ mathrm {d} t \ dreapta | \ leq \ int _ {x_ {0}} ^ {x} | f (t, y (t)) | \ mathrm {d} t,}

{\ displaystyle | {\ widehat {y}} - y_ {0} | = \ left | \ int _ {x_ {0}} ^ {x} f (t, y (t)) \ mathrm {d} t \ dreapta | \ leq \ int _ {x_ {0}} ^ {x} | f (t, y (t)) | \ mathrm {d} t,}

pentru fiecare $x\in I_{\delta }$ ${\ displaystyle x \ in I _ {\ delta}}$ ${\ displaystyle x \ in I _ {\ delta}}$ . Dar prin ipoteză $|f(t,y(t))|\leq M$ ${\ displaystyle | f (t, y (t)) | \ leq M}$ $| f (t, y (t)) | \ leq M$ , din care se deduce că:

|{\widehat {y}}-y_{0}|\leq \int _{x_{0}}^{x}|f(t,y(t))|\mathrm {d} t\leq M|x-x_{0}|\leq M\delta \leq b.

{\ displaystyle | {\ widehat {y}} - y_ {0} | \ leq \ int _ {x_ {0}} ^ {x} | f (t, y (t)) | \ mathrm {d} t \ leq M | x-x_ {0} | \ leq M \ delta \ leq b.}

{\ displaystyle | {\ widehat {y}} - y_ {0} | \ leq \ int _ {x_ {0}} ^ {x} | f (t, y (t)) | \ mathrm {d} t \ leq M | x-x_ {0} | \ leq M \ delta \ leq b.}

Odată buna definiție a $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ este suficient să arătăm că aceasta este o contracție pe $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ pentru a completa teorema. Teorema contracției ne asigură de fapt existența unui singur punct fix al $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ în $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ , deci în cazul nostru o funcție $y=y(x)$ ${\ displaystyle y = y (x)}$ $y = y (x)$ astfel încât $F(y)=y$ ${\ displaystyle F (y) = y}$ $F (y) = y$ , acesta este

y(x)=y_{0}+\int _{x_{0}}^{x}f(t,y(t))\mathrm {d} t,

{\ displaystyle y (x) = y_ {0} + \ int _ {x_ {0}} ^ {x} f (t, y (t)) \ mathrm {d} t,}

{\ displaystyle y (x) = y_ {0} + \ int _ {x_ {0}} ^ {x} f (t, y (t)) \ mathrm {d} t,}

definit pe interval $I_{\delta }$ ${\ displaystyle I _ {\ delta}}$ $Eu _ {\ delta}$ și, prin urmare, rezolvarea sistemului $\Theta$ ${\ displaystyle \ Theta}$ $\ Theta$ . Luând în considerare ipotezele privind $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ (în special Lipschitzianitatea ) poate fi scris:

{\begin{aligned}|F(y_{1})-F(y_{2})|&=\left|\int _{x_{0}}^{x}{\big (}f(t,y_{1}(t))-f(t,y_{2}(t)){\big )}\mathrm {d} t\right|\leq \int _{x_{0}}^{x}|f(t,y_{1}(t))-f(t,y_{2}(t))|\mathrm {d} t\\&\leq \int _{x_{0}}^{x}L|y_{1}(t)-y_{2}(t)|\mathrm {d} t\leq L\delta \|y_{1}-y_{2}\|_{C^{0}}.\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} | F (y_ {1}) - F (y_ {2}) | & = \ left | \ int _ {x_ {0}} ^ {x} {\ big (} f (t, y_ {1} (t)) - f (t, y_ {2} (t)) {\ big)} \ mathrm {d} t \ right | \ leq \ int _ {x_ {0}} ^ {x} | f (t, y_ {1} (t)) - f (t, y_ {2} (t)) | \ mathrm {d} t \\ & \ leq \ int _ {x_ {0}} ^ {x} L | y_ {1} (t) -y_ {2} (t) | \ mathrm {d} t \ leq L \ delta \ | y_ {1} -y_ {2} \ | _ {C ^ {0}}. \ End {aliniat}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} | F (y_ {1}) - F (y_ {2}) | & = \ left | \ int _ {x_ {0}} ^ {x} {\ big (} f (t, y_ {1} (t)) - f (t, y_ {2} (t)) {\ big)} \ mathrm {d} t \ right | \ leq \ int _ {x_ {0}} ^ {x} | f (t, y_ {1} (t)) - f (t, y_ {2} (t)) | \ mathrm {d} t \\ & \ leq \ int _ {x_ {0}} ^ {x} L | y_ {1} (t) -y_ {2} (t) | \ mathrm {d} t \ leq L \ delta \ | y_ {1} -y_ {2} \ | _ {C ^ {0}}. \ End {aliniat}}}

și luând extremul superior ca variantă a $x\in {I_{\delta }}$ ${\ displaystyle x \ in {I _ {\ delta}}}$ $x \ in {I _ {\ delta}}$ primesti:

\|F(y_{1})-F(y_{2})\|_{C^{0}}\leq L\delta \|y_{1}-y_{2}\|_{C^{0}},

{\ displaystyle \ | F (y_ {1}) - F (y_ {2}) \ | _ {C ^ {0}} \ leq L \ delta \ | y_ {1} -y_ {2} \ | _ { C ^ {0}},}

{\ displaystyle \ | F (y_ {1}) - F (y_ {2}) \ | _ {C ^ {0}} \ leq L \ delta \ | y_ {1} -y_ {2} \ | _ { C ^ {0}},}

și de atunci $L\delta <1$ ${\ displaystyle L \ delta <1}$ $Delta <1$ , $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ este o contracție.

A doua dovadă (Picard-Lindelöf)

În cursul următoarei dovezi, se obține o estimare mai exactă a numărului real $\delta$ ${\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ . Inițial, întreabă-te $\delta =\min\{a,{\tfrac {b}{M}}\}$ ${\ displaystyle \ delta = \ min \ {a, {\ tfrac {b} {M}} \}}$ $\ delta = \ min \ {a, {\ tfrac bM} \}$ . Următorul pas este de a defini o secvență de funcții prin recurență $y_{k}:I_{\delta }\to \mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle y_ {k}: I _ {\ delta} \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$ $y_ {k}: I _ {\ delta} \ to \ mathbb {R} ^ {n}$ ca:

\left\{{\begin{array}{ll}y_{0}(x)=y_{0}\\y_{k+1}(x)=y_{0}+\int _{x_{0}}^{x}f(t,y_{k}(t))\mathrm {d} t.\end{array}}\right.

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {array} {ll} y_ {0} (x) = y_ {0} \\ y_ {k + 1} (x) = y_ {0} + \ int _ {x_ {0}} ^ {x} f (t, y_ {k} (t)) \ mathrm {d} t. \ End {array}} \ right.}

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {array} {ll} y_ {0} (x) = y_ {0} \\ y_ {k + 1} (x) = y_ {0} + \ int _ {x_ {0}} ^ {x} f (t, y_ {k} (t)) \ mathrm {d} t. \ End {array}} \ right.}

Prin urmare, este necesar să se verifice buna definiție a secvenței, mai precis este necesar să se arate (de exemplu prin inducție ) că $y_{k}(t)\in J\ \forall t\in I_{\delta }$ ${\ displaystyle y_ {k} (t) \ in J \ \ forall t \ in I _ {\ delta}}$ $y_ {k} (t) \ in J \ \ forall t \ in I _ {\ delta}$ ; pasul de bază este imediat așa cum a fost definit $J$ ${\ displaystyle J}$ $J$ , în timp ce pentru pasul inductiv se presupune $y_{k}\in J\ \forall t\in I_{\delta }$ ${\ displaystyle y_ {k} \ in J \ \ forall t \ in I _ {\ delta}}$ ${\ displaystyle y_ {k} \ in J \ \ forall t \ in I _ {\ delta}}$ , deci trivial $(t,y_{k}(t))\in I_{\delta }\times J$ ${\ displaystyle (t, y_ {k} (t)) \ în I _ {\ delta} \ times J}$ $(t, y_ {k} (t)) \ în I _ {\ delta} \ ori J$ . Pentru ipotezele făcute anterior asupra $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este deci posibil să se mărească valoarea absolută a $f(t,y_{k}(t))$ ${\ displaystyle f (t, y_ {k} (t))}$ $f (t, y_ {k} (t))$ cu $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ . Prin urmare, este imediat să se verifice dacă:

|y_{k+1}(x)-y_{0}|=\left|\int _{x_{0}}^{x}f(t,y_{k}(t))\mathrm {d} t\right|\leq \left|\int _{x_{0}}^{x}|f(t,y_{k}(t))|\mathrm {d} t\right|\leq M|x-x_{0}|\leq M\delta \leq b.

{\ displaystyle | y_ {k + 1} (x) -y_ {0} | = \ left | \ int _ {x_ {0}} ^ {x} f (t, y_ {k} (t)) \ mathrm {d} t \ right | \ leq \ left | \ int _ {x_ {0}} ^ {x} | f (t, y_ {k} (t)) | \ mathrm {d} t \ right | \ leq M | x-x_ {0} | \ leq M \ delta \ leq b.}

{\ displaystyle | y_ {k + 1} (x) -y_ {0} | = \ left | \ int _ {x_ {0}} ^ {x} f (t, y_ {k} (t)) \ mathrm {d} t \ right | \ leq \ left | \ int _ {x_ {0}} ^ {x} | f (t, y_ {k} (t)) | \ mathrm {d} t \ right | \ leq M | x-x_ {0} | \ leq M \ delta \ leq b.}

Procedăm în demonstrație prin estimarea recursivă a distanței dintre doi termeni consecutivi ai secvenței punctual în $I_{\delta }$ ${\ displaystyle I _ {\ delta}}$ $Eu _ {\ delta}$ cu o metodă similară cu cea inductivă tocmai folosită.

Inițial avem:

|y_{1}(x)-y_{0}|=\left|\int _{x_{0}}^{x}f(t,y_{0}(t))\mathrm {d} t\right|\leq M\left|x-x_{0}\right|,

{\ displaystyle | y_ {1} (x) -y_ {0} | = \ left | \ int _ {x_ {0}} ^ {x} f (t, y_ {0} (t)) \ mathrm {d } t \ right | \ leq M \ left | x-x_ {0} \ right |,}

{\ displaystyle | y_ {1} (x) -y_ {0} | = \ left | \ int _ {x_ {0}} ^ {x} f (t, y_ {0} (t)) \ mathrm {d } t \ right | \ leq M \ left | x-x_ {0} \ right |,}

în timp ce pentru următoarele pasaje este, de asemenea, necesar să se utilizeze ipoteza Lipschitzianității de care se bucură $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ :

{\begin{aligned}|y_{2}(x)-y_{1}(x)|&=\left|\int _{x_{0}}^{x}[f(t,y_{1}(t))-f(t,y_{0})]\mathrm {d} t\right|\leq \left|\int _{x_{0}}^{x}|f(t,y_{1}(t))-f(t,y_{0})|\mathrm {d} t\right|\\&\leq \left|\int _{x_{0}}^{x}L|y_{1}(t)-y_{0}|\mathrm {d} t\right|\leq ML\left|\int _{x_{0}}^{x}|t-x_{0}|\mathrm {d} t\right|={\frac {ML}{2}}|x-x_{0}|^{2}.\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} | y_ {2} (x) -y_ {1} (x) | & = \ left | \ int _ {x_ {0}} ^ {x} [f (t, y_ {1} (t)) - f (t, y_ {0})] \ mathrm {d} t \ right | \ leq \ left | \ int _ {x_ {0}} ^ {x} | f (t, y_ {1} (t)) - f (t, y_ {0}) | \ mathrm {d} t \ right | \\ & \ leq \ left | \ int _ {x_ {0}} ^ {x} L | y_ {1} (t) -y_ {0} | \ mathrm {d} t \ right | \ leq ML \ left | \ int _ {x_ {0}} ^ {x} | t-x_ {0} | \ mathrm {d} t \ right | = {\ frac {ML} {2}} | x-x_ {0} | ^ {2}. \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} | y_ {2} (x) -y_ {1} (x) | & = \ left | \ int _ {x_ {0}} ^ {x} [f (t, y_ {1} (t)) - f (t, y_ {0})] \ mathrm {d} t \ right | \ leq \ left | \ int _ {x_ {0}} ^ {x} | f (t, y_ {1} (t)) - f (t, y_ {0}) | \ mathrm {d} t \ right | \\ & \ leq \ left | \ int _ {x_ {0}} ^ {x} L | y_ {1} (t) -y_ {0} | \ mathrm {d} t \ right | \ leq ML \ left | \ int _ {x_ {0}} ^ {x} | t-x_ {0} | \ mathrm {d} t \ right | = {\ frac {ML} {2}} | x-x_ {0} | ^ {2}. \ end {align}}}

Pentru a înțelege mai bine formula generală pentru estimarea care va fi dată în scurt timp, este recomandabil să se dezvolte cel puțin un alt pas de inducție:

{\begin{aligned}|y_{3}(x)-y_{2}(x)|&=\left|\int _{x_{0}}^{x}[f(t,y_{2}(t))-f(t,y_{1}(t))]\mathrm {d} t\right|\leq \left|\int _{x_{0}}^{x}|f(t,y_{2}(t))-f(t,y_{1}(t))|\mathrm {d} t\right|\\&\leq \left|\int _{x_{0}}^{x}L|y_{2}(t)-y_{1}(t)|\mathrm {d} t\right|\leq {\frac {ML^{2}}{2}}\left|\int _{x_{0}}^{x}|t-x_{0}|^{2}\mathrm {d} t\right|={\frac {ML^{2}}{3!}}|x-x_{0}|^{3}.\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} | y_ {3} (x) -y_ {2} (x) | & = \ left | \ int _ {x_ {0}} ^ {x} [f (t, y_ {2} (t)) - f (t, y_ {1} (t))] \ mathrm {d} t \ right | \ leq \ left | \ int _ {x_ {0}} ^ {x} | f (t, y_ {2} (t)) - f (t, y_ {1} (t)) | \ mathrm {d} t \ right | \\ & \ leq \ left | \ int _ {x_ {0} } ^ {x} L | y_ {2} (t) -y_ {1} (t) | \ mathrm {d} t \ right | \ leq {\ frac {ML ^ {2}} {2}} \ left | \ int _ {x_ {0}} ^ {x} | t-x_ {0} | ^ {2} \ mathrm {d} t \ right | = {\ frac {ML ^ {2}} {3!} } | x-x_ {0} | ^ {3}. \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} | y_ {3} (x) -y_ {2} (x) | & = \ left | \ int _ {x_ {0}} ^ {x} [f (t, y_ {2} (t)) - f (t, y_ {1} (t))] \ mathrm {d} t \ right | \ leq \ left | \ int _ {x_ {0}} ^ {x} | f (t, y_ {2} (t)) - f (t, y_ {1} (t)) | \ mathrm {d} t \ right | \\ & \ leq \ left | \ int _ {x_ {0} } ^ {x} L | y_ {2} (t) -y_ {1} (t) | \ mathrm {d} t \ right | \ leq {\ frac {ML ^ {2}} {2}} \ left | \ int _ {x_ {0}} ^ {x} | t-x_ {0} | ^ {2} \ mathrm {d} t \ right | = {\ frac {ML ^ {2}} {3!} } | x-x_ {0} | ^ {3}. \ end {align}}}

În acest moment, următoarea estimare generală este clară, la care se poate ajunge printr-un proces inductiv:

|y_{k+1}(x)-y_{k}(x)|\leq {\frac {ML^{k}}{(k+1)!}}|x-x_{0}|^{k+1}\quad \forall x\in I_{\delta },

{\ displaystyle | y_ {k + 1} (x) -y_ {k} (x) | \ leq {\ frac {ML ^ {k}} {(k + 1)!}} | x-x_ {0} | ^ {k + 1} \ quad \ forall x \ in I _ {\ delta},}

{\ displaystyle | y_ {k + 1} (x) -y_ {k} (x) | \ leq {\ frac {ML ^ {k}} {(k + 1)!}} | x-x_ {0} | ^ {k + 1} \ quad \ forall x \ in I _ {\ delta},}

din care putem deduce convergența uniformă a acestei secvențe de funcții în interval $I_{\delta }$ ${\ displaystyle I _ {\ delta}}$ $Eu _ {\ delta}$ , având în vedere că prin creșterea în continuare cu:

{\frac {M}{L}}{\frac {L^{k+1}\delta ^{k+1}}{(k+1)!}}.

{\ displaystyle {\ frac {M} {L}} {\ frac {L ^ {k + 1} \ delta ^ {k + 1}} {(k + 1)!}}.}

{\ displaystyle {\ frac {M} {L}} {\ frac {L ^ {k + 1} \ delta ^ {k + 1}} {(k + 1)!}}.}

obținem clar seria exponențială numerică redusă:

\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {M}{L}}{\frac {L^{k+1}\delta ^{k+1}}{(k+1)!}}={\frac {M}{L}}(e^{L\delta }-1).

{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {M} {L}} {\ frac {L ^ {k + 1} \ delta ^ {k + 1}} {(k + 1)!}} = {\ Frac {M} {L}} (și ^ {L \ delta} -1).}

{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {M} {L}} {\ frac {L ^ {k + 1} \ delta ^ {k + 1}} {(k + 1)!}} = {\ Frac {M} {L}} (și ^ {L \ delta} -1).}

Trecând la limita pentru $k\rightarrow +\infty$ ${\ displaystyle k \ rightarrow + \ infty}$ $k \ rightarrow + \ infty$ și din nou exploatând Lipschitzianitatea $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ în comparație cu $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ , se obține convergența totală și, prin urmare, uniformă a seriei telescopice $\sum _{k=1}^{\infty }||y_{k}-y_{k-1}||$ ${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} || y_ {k} -y_ {k-1} ||}$ ${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} || y_ {k} -y_ {k-1} ||}$ (mărită de serie $\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {ML^{k-1}\delta ^{k}}{k!}}$ ${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {ML ^ {k-1} \ delta ^ {k}} {k!}}}$ ${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {ML ^ {k-1} \ delta ^ {k}} {k!}}}$ convergent) la funcție $y(x)-y_{0}$ ${\ displaystyle y (x) -y_ {0}}$ ${\ displaystyle y (x) -y_ {0}}$ , în timp ce pentru al doilea membru al secvenței definit la început $\left(\int _{x_{0}}^{x}f(t,y_{k}(t))\mathrm {d} t\right)$ ${\ displaystyle \ left (\ int _ {x_ {0}} ^ {x} f (t, y_ {k} (t)) \ mathrm {d} t \ right)}$ ${\ displaystyle \ left (\ int _ {x_ {0}} ^ {x} f (t, y_ {k} (t)) \ mathrm {d} t \ right)}$ , funcția sa de integrare converge la $f(t,y(t))$ ${\ displaystyle f (t, y (t))}$ ${\ displaystyle f (t, y (t))}$ .

În acest moment putem folosi teorema de trecere la limită sub semnul integralului pentru a obține:

y(x)=y_{0}+\int _{x_{0}}^{x}f(t,y(t))\mathrm {d} t.

{\ displaystyle y (x) = y_ {0} + \ int _ {x_ {0}} ^ {x} f (t, y (t)) \ mathrm {d} t.}

{\ displaystyle y (x) = y_ {0} + \ int _ {x_ {0}} ^ {x} f (t, y (t)) \ mathrm {d} t.}

Dar aceasta este formularea integrală (și echivalentă) a problemei Cauchy , așa că, pentru a concluziona dovada, rămâne doar să arătăm unicitatea acestei soluții. Cel mai bun mod este să procedăm în mod absurd : să presupunem că există o altă funcție $g(x)$ ${\ displaystyle g (x)}$ $g (x)$ (Soluție PdC) definită într-un cartier nou $I_{\delta '}$ ${\ displaystyle I _ {\ delta '}}$ $I _ {{\ delta '}}$ ( notația rămâne în concordanță cu cele de mai sus) ale condiției inițiale $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ (deci cu același centru) și astfel încât să existe ${\tilde {x}}\in I_{\delta '}$ ${\ displaystyle {\ tilde {x}} \ în I _ {\ delta '}}$ ${\ tilde {x}} \ in I _ {{\ delta '}}$ pentru care $g({\tilde {x}})\neq y({\tilde {x}})$ ${\ displaystyle g ({\ tilde {x}}) \ neq y ({\ tilde {x}})}$ $g ({\ tilde {x}}) \ neq y ({\ tilde {x}})$ . Definit ${\tilde {\delta }}=min\{\delta ,\delta '\}$ ${\ displaystyle {\ tilde {\ delta}} = min \ {\ delta, \ delta '\}}$ ${\ tilde {\ delta}} = min \ {\ delta, \ delta '\}$ ia în considerare relația (valabilă pentru ipoteza absurdului):

|g(x)-y_{0}|=\left|\int _{x_{0}}^{x}f(t,g(t))\mathrm {d} t\right|\leq M|x-x_{0}|\quad \forall x\in I_{\tilde {\delta }}.

{\ displaystyle | g (x) -y_ {0} | = \ left | \ int _ {x_ {0}} ^ {x} f (t, g (t)) \ mathrm {d} t \ right | \ leq M | x-x_ {0} | \ quad \ forall x \ in I _ {\ tilde {\ delta}}.}

{\ displaystyle | g (x) -y_ {0} | = \ left | \ int _ {x_ {0}} ^ {x} f (t, g (t)) \ mathrm {d} t \ right | \ leq M | x-x_ {0} | \ quad \ forall x \ in I _ {\ tilde {\ delta}}.}

Cu o procedură complet asemănătoare cu cea precedentă, totuși, ajungem la estimare :

|g(x)-y_{k}(x)|\leq {\frac {ML^{k}}{(k+1)!}}|x-x_{0}|^{k+1}\quad \forall x\in I_{\tilde {\delta }}

{\ displaystyle | g (x) -y_ {k} (x) | \ leq {\ frac {ML ^ {k}} {(k + 1)!}} | x-x_ {0} | ^ {k + 1} \ quad \ forall x \ in I _ {\ tilde {\ delta}}}

{\ displaystyle | g (x) -y_ {k} (x) | \ leq {\ frac {ML ^ {k}} {(k + 1)!}} | x-x_ {0} | ^ {k + 1} \ quad \ forall x \ in I _ {\ tilde {\ delta}}}

Întrucât al doilea membru al inegalității tinde spre 0 spre tendința de $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ la infinit , se poate deduce că:

g(x)=y(x)=\lim _{k\to +\infty }y_{k}\quad \forall x\in I_{\tilde {\delta }},

{\ displaystyle g (x) = y (x) = \ lim _ {k \ to + \ infty} y_ {k} \ quad \ forall x \ in I _ {\ tilde {\ delta}},}

{\ displaystyle g (x) = y (x) = \ lim _ {k \ to + \ infty} y_ {k} \ quad \ forall x \ in I _ {\ tilde {\ delta}},}

iar acest lucru contrazice ipoteza dacă ${\delta }'<{\delta }$ ${\ displaystyle {\ delta} '<{\ delta}}$ ${\ displaystyle {\ delta} '<{\ delta}}$ , în timp ce dacă ${\delta }<{\delta }'$ ${\ displaystyle {\ delta} <{\ delta} '}$ ${\ displaystyle {\ delta} <{\ delta} '}$ nu contrazice ipoteza dar demonstrează că funcția $g(x)=y(x)$ ${\ displaystyle g (x) = y (x)}$ ${\ displaystyle g (x) = y (x)}$ cand $g(x)\in I_{\delta }$ ${\ displaystyle g (x) \ în I _ {\ delta}}$ ${\ displaystyle g (x) \ în I _ {\ delta}}$ care este gama noastră de pornire.

Generalizări

Teorema este un instrument valid în studiul ecuațiilor diferențiale , dar a priori garantează doar existența soluției la nivel local, adică într-o vecinătate a condițiilor inițiale . Cu toate acestea, existența unei singure funcții de rezolvare nu este garantată $\Theta$ ${\ displaystyle \ Theta}$ $\ Theta$ într-un interval arbitrar (posibil toate $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ ), sub ipoteze mai stricte (de exemplu, subliniaritatea față de $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ din $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ ) decât cele necesare pentru versiunea locală. De sine $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ satisface aceste cereri suplimentare, se poate arăta, de asemenea, că soluția admite o extindere maximă peste domeniul său de definiție.

O altă afirmație, teorema existenței lui Peano , arată în schimb doar existența soluției (nu unicitatea), dar consideră o funcție care este doar o funcție continuă și nu Lipschitz. De exemplu, al doilea membru al ecuației $y'=y^{1/3}$ ${\ displaystyle y '= y ^ {1/3}}$ $y '= y ^ {{1/3}}$ cu condiția inițială $y(0)=0$ ${\ displaystyle y (0) = 0}$ $y (0) = 0$ este continuu, dar nu conform lui Lipschitz. De fapt, ecuația are trei soluții, dintre care prima este $y(t)=0$ ${\ displaystyle y (t) = 0}$ $y (t) = 0$ iar celelalte două sunt:

y(t)=\pm {\big (}{\tfrac {2}{3}}t{\big )}^{3/2}.

{\ displaystyle y (t) = \ pm {\ big (} {\ tfrac {2} {3}} t {\ big)} ^ {3/2}.}

{\ displaystyle y (t) = \ pm {\ big (} {\ tfrac {2} {3}} t {\ big)} ^ {3/2}.}

Mai general,teorema existenței lui Carathéodory dovedește existența pentru condiții mai slabe pentru $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ . Se observă că, deși aceste condiții sunt suficiente doar, există rezultate, cum ar fi Okamura, care oferă condiții necesare și suficiente pentru ca problema valorii inițiale să aibă o soluție unică. ^[2]

Exemple

Având în vedere problema Cauchy:

\left\{{\begin{array}{ll}y'=\lambda y\\y(0)=1\end{array}}\right.

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {array} {ll} y '= \ lambda y \\ y (0) = 1 \ end {array}} \ right.}

\ left \ {{\ begin {array} {ll} y '= \ lambda y \\ y (0) = 1 \ end {array}} \ right.

Functia

f

{\ displaystyle f}

f

satisface toate ipotezele, deci local soluția este unică (în realitate s-ar putea observa că de atunci

|f|\leq K|y|

{\ displaystyle | f | \ leq K | y |}

| f | \ leq K | y |

pentru o constantă reală

K.

{\ displaystyle K}

K.

soluția este globală unică atunci când variază

\lambda \in \mathbb {R}

{\ displaystyle \ lambda \ in \ mathbb {R}}

\ lambda \ in \ mathbb {R}

). Prin urmare, soluția este (ținând cont de starea inițială

y(0)=1

{\ displaystyle y (0) = 1}

y (0) = 1

) functia

y=e^{\lambda x}

{\ displaystyle y = e ^ {\ lambda x}}

y = e ^ {{\ lambda x}}

Un exemplu tipic de problemă neipotetică este:

\left\{{\begin{array}{ll}y'=3y^{\frac {2}{3}}\\y(0)=0\end{array}}\right.

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {array} {ll} y '= 3y ^ {\ frac {2} {3}} \\ y (0) = 0 \ end {array}} \ right.}

\ left \ {{\ begin {array} {ll} y '= 3y ^ {{{\ frac {2} {3}}}} \\ y (0) = 0 \ end {array}} \ right.

Functia

f

{\ displaystyle f}

f

nu este local Lipschitzian în ceea ce privește

y

{\ displaystyle y}

y

în orice vecinătate a originii și de fapt nu există o singură soluție cu această condiție inițială (într-adevăr, ele pot fi găsite infinite: este fenomenul pensulei lui Peano ), cum ar fi de exemplu

y(x)=x^{3}

{\ displaystyle y (x) = x ^ {3}}

y (x) = x ^ {3}

sau

y(x)=0

{\ displaystyle y (x) = 0}

y (x) = 0

.

Luați în considerare ecuația diferențială de ordinul doi care descrie mișcarea armonică :

y''+\omega ^{2}y=0,\quad \omega \in \mathbb {R}

{\ displaystyle y '' + \ omega ^ {2} y = 0, \ quad \ omega \ in \ mathbb {R}}

y '' + \ omega ^ {2} y = 0, \ quad \ omega \ in \ mathbb {R}

atribuibil prin înlocuire sistemului:

\left\{{\begin{array}{ll}y'=z\\z'=-\omega ^{2}y\end{array}}\right.

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {array} {ll} y '= z \\ z' = - \ omega ^ {2} y \ end {array}} \ right.}

\ left \ {{\ begin {array} {ll} y '= z \\ z' = - \ omega ^ {2} y \ end {array}} \ right.

Prin adăugarea condițiilor inițiale (alegerea

x_{0}=0

{\ displaystyle x_ {0} = 0}

x_ {0} = 0

este arbitrar)

y(0)=y_{0}

{\ displaystyle y (0) = y_ {0}}

y (0) = y_ {0}

Și

z(0)=z_{0}

{\ displaystyle z (0) = z_ {0}}

z (0) = z_ {0}

singura soluție se obține:

y(x)=y_{0}\cos(\omega x)+{\frac {z_{0}}{\omega }}\sin(\omega x)

{\ displaystyle y (x) = y_ {0} \ cos (\ omega x) + {\ frac {z_ {0}} {\ omega}} \ sin (\ omega x)}

y (x) = y_ {0} \ cos (\ omega x) + {\ frac {z_ {0}} {\ omega}} \ sin (\ omega x)

Notă

^ Mathworld - Teorema existenței lui Picard , la mathworld.wolfram.com . Adus 07/01/2013 .
^ Ravi P. Agarwal și V. Lakshmikantham, Criterii de unicitate și nonunicitate pentru ecuații diferențiale ordinare , World Scientific, 1993, ISBN 978-981-02-1357-2 . , pagina 159

Bibliografie

( EN ) Vladimir Igorevich Arnold (1988): Metode geometrice în teoria ecuațiilor diferențiale ordinare , ediția a II-a, Springer, ISBN 0-387-96649-8
(EN) Vladimir Igorevich Arnold (1992): Ecuații diferențiale ordinare, Springer, ISBN 3-540-54813-0
( FR ) G. Peano, Demonstration of the intégrabilité des équations différentielles ordinaires Math. Ann. , 37 (1890) pp. 182–228
( EN ) IG Petrovskii, Ecuații diferențiale ordinare , Prentice-Hall (1966) (Traducere din rusă)
( EN ) P. Hartman, „Ecuații diferențiale ordinare”, Birkhäuser (1982)

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) Encyclopedia of Mathematics, Cauchy-Lipschitz teorema , în Encyclopaedia of Mathematics , Springer and European Mathematical Society, 2002.
(EN) Puncte fixe și algoritmul Picard pe krellinst.org. Adus la 6 ianuarie 2013 (arhivat din original la 16 iunie 2010) .
(EN) Picard Iteration , pe math.fullerton.edu. Adus la 6 ianuarie 2013 (arhivat din original la 26 septembrie 2013) .
(EN) Dovada teoremei Picard-Lindelöf (PDF) pe math.byu.edu.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Mathworld - Teorema existenței lui Picard , la mathworld.wolfram.com . Adus 07/01/2013 .

[2] Ravi P. Agarwal și V. Lakshmikantham, Criterii de unicitate și nonunicitate pentru ecuații diferențiale ordinare , World Scientific, 1993, ISBN 978-981-02-1357-2 . , pagina 159

[1]

[2]