Factorul de integrare

În matematică , un factor de integrare este o funcție utilizată pentru a facilita soluția unei ecuații diferențiale de obicei obișnuite . De asemenea, vă permite să creați un diferențial inexact exact, astfel încât să îl puteți integra obținând un câmp scalar . De exemplu, în termodinamică , multiplicarea cu un factor de integrare face adesea posibilă transformarea entropiei într- un diferențial exact.

Ecuația diferențială liniară de primul ordin

Același subiect în detaliu: ecuația diferențială liniară .

Luați în considerare o ecuație diferențială ordinară liniară de ordinul întâi :

y'+P(x)y=Q(x)

{\ displaystyle y '+ P (x) y = Q (x)}

{\ displaystyle y '+ P (x) y = Q (x)}

Factorul de integrare pentru o astfel de ecuație este o funcție $M(x)$ ${\ displaystyle M (x)}$ ${\ displaystyle M (x)}$ dat de: ^[1]

M(x)=e^{\int P(x')dx'}

{\ displaystyle M (x) = e ^ {\ int P (x ') dx'}}

{\ displaystyle M (x) = e ^ {\ int P (x ') dx'}}

care s-a înmulțit cu toți termenii relației:

y'e^{\int P(x')dx'}+P(x)e^{\int P(x')dx'}y=Q(x)e^{\int P(x')dx'}

{\ displaystyle y'e ^ {\ int P (x ') dx'} + P (x) e ^ {\ int P (x ') dx'} y = Q (x) e ^ {\ int P (x ') dx'}}

{\ displaystyle y'e ^ {\ int P (x ') dx'} + P (x) e ^ {\ int P (x ') dx'} y = Q (x) e ^ {\ int P (x ') dx'}}

face ca membrul stâng, prin regula produsului inversat, să fie exprimabil ca un derivat unic față de $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ :

y'e^{\int P(x')dx'}+P(x)e^{\int P(x')dx'}y={\frac {d}{dx}}\left(ye^{\int P(x')dx'}\right)

{\ displaystyle y'e ^ {\ int P (x ') dx'} + P (x) e ^ {\ int P (x ') dx'} y = {\ frac {d} {dx}} \ left (ye ^ {\ int P (x ') dx'} \ right)}

{\ displaystyle y'e ^ {\ int P (x ') dx'} + P (x) e ^ {\ int P (x ') dx'} y = {\ frac {d} {dx}} \ left (ye ^ {\ int P (x ') dx'} \ right)}

deci ecuația este simplificată după cum urmează:

{\frac {d}{dx}}\left(ye^{\int P(x')dx'}\right)=Q(x)e^{\int P(x')dx'}

{\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ left (ye ^ {\ int P (x ') dx'} \ right) = Q (x) e ^ {\ int P (x ') dx'} }

{\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ left (ye ^ {\ int P (x ') dx'} \ right) = Q (x) e ^ {\ int P (x ') dx'} }

Apoi integrarea cu privire la $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ avem:

ye^{\int P(x')dx'}=\int Q(x)e^{\int P(x')dx'}dx+C

{\ displaystyle ye ^ {\ int P (x ') dx'} = \ int Q (x) e ^ {\ int P (x ') dx'} dx + C}

{\ displaystyle ye ^ {\ int P (x ') dx'} = \ int Q (x) e ^ {\ int P (x ') dx'} dx + C}

(unde este $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ este o constantă arbitrară) și prin deplasarea exponențialei pe partea dreaptă obținem o soluție generală a ODE:

y=e^{-\int P(x')dx'}\int Q(x)e^{\int P(x')dx'}dx+Ce^{-\int P(x')dx'}

{\ displaystyle y = e ^ {- \ int P (x ') dx'} \ int Q (x) e ^ {\ int P (x ') dx'} dx + Ce ^ {- \ int P (x ' ) dx '}}

{\ displaystyle y = e ^ {- \ int P (x ') dx'} \ int Q (x) e ^ {\ int P (x ') dx'} dx + Ce ^ {- \ int P (x ' ) dx '}}

Dacă ecuația este omogenă, adică $Q(x)=0$ ${\ displaystyle Q (x) = 0}$ ${\ displaystyle Q (x) = 0}$ , avem:

y={\frac {C}{e^{\int P(x')dx'}}}.

{\ displaystyle y = {\ frac {C} {e ^ {\ int P (x ') dx'}}}.}

{\ displaystyle y = {\ frac {C} {e ^ {\ int P (x ') dx'}}}.}

Exemplu

Având în vedere ecuația diferențială:

y'-{\frac {2y}{x}}=0

{\ displaystyle y '- {\ frac {2y} {x}} = 0}

{\ displaystyle y '- {\ frac {2y} {x}} = 0}

atunci $P(x)={\frac {-2}{x}}$ ${\ displaystyle P (x) = {\ frac {-2} {x}}}$ ${\ displaystyle P (x) = {\ frac {-2} {x}}}$ , atâta timp cât:

M(x)=e^{\int P(x)\,dx}=e^{\int {\frac {-2}{x}}\,dx}=e^{-2\ln x}={(e^{\ln x})}^{-2}=x^{-2}={\frac {1}{x^{2}}}

{\ displaystyle M (x) = e ^ {\ int P (x) \, dx} = e ^ {\ int {\ frac {-2} {x}} \, dx} = e ^ {- 2 \ ln x} = {(e ^ {\ ln x})} ^ {- 2} = x ^ {- 2} = {\ frac {1} {x ^ {2}}}}

{\ displaystyle M (x) = e ^ {\ int P (x) \, dx} = e ^ {\ int {\ frac {-2} {x}} \, dx} = e ^ {- 2 \ ln x} = {(e ^ {\ ln x})} ^ {- 2} = x ^ {- 2} = {\ frac {1} {x ^ {2}}}}

Înmulțind cu $M(x)$ ${\ displaystyle M (x)}$ ${\ displaystyle M (x)}$ primesti:

{\frac {y'}{x^{2}}}-{\frac {2y}{x^{3}}}={\frac {y'x^{3}-2x^{2}y}{x^{5}}}={\frac {x(y'x^{2}-2xy)}{x^{5}}}={\frac {y'x^{2}-2xy}{x^{4}}}=0

{\ displaystyle {\ frac {y '} {x ^ {2}}} - {\ frac {2y} {x ^ {3}}} = {\ frac {y'x ^ {3} -2x ^ {2 } y} {x ^ {5}}} = {\ frac {x (y'x ^ {2} -2xy)} {x ^ {5}}} = {\ frac {y'x ^ {2} - 2xy} {x ^ {4}}} = 0}

{\ displaystyle {\ frac {y '} {x ^ {2}}} - {\ frac {2y} {x ^ {3}}} = {\ frac {y'x ^ {3} -2x ^ {2 } y} {x ^ {5}}} = {\ frac {x (y'x ^ {2} -2xy)} {x ^ {5}}} = {\ frac {y'x ^ {2} - 2xy} {x ^ {4}}} = 0}

și prin regula cotientului inversat:

\left({\frac {y}{x^{2}}}\right)'=0

{\ displaystyle \ left ({\ frac {y} {x ^ {2}}} \ right) '= 0}

{\ displaystyle \ left ({\ frac {y} {x ^ {2}}} \ right) '= 0}

adică:

{\frac {y}{x^{2}}}=C

{\ displaystyle {\ frac {y} {x ^ {2}}} = C}

{\ displaystyle {\ frac {y} {x ^ {2}}} = C}

care oferă:

y\left(x\right)=Cx^{2}

{\ displaystyle y \ left (x \ right) = Cx ^ {2}}

{\ displaystyle y \ left (x \ right) = Cx ^ {2}}

Uz general

Luați în considerare ecuația neliniară de ordinul doi:

{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=Ay^{2/3}

{\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} y} {dt ^ {2}}} = Ay ^ {2/3}}

{\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} y} {dt ^ {2}}} = Ay ^ {2/3}}

și fie ${\tfrac {dy}{dt}}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {dy} {dt}}}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {dy} {dt}}}$ un factor de integrare:

{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}{\frac {dy}{dt}}=Ay^{2/3}{\frac {dy}{dt}}

{\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} y} {dt ^ {2}}} {\ frac {dy} {dt}} = Ay ^ {2/3} {\ frac {dy} {dt}} }

{\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} y} {dt ^ {2}}} {\ frac {dy} {dt}} = Ay ^ {2/3} {\ frac {dy} {dt}} }

Prin intermediul regulii lanțului ambii membri pot fi exprimați ca un derivat:

{\frac {d}{dt}}\left({\frac {1}{2}}\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}\right)={\frac {d}{dt}}\left(A{\frac {3}{5}}y^{5/3}\right)

{\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ left ({\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {dy} {dt}} \ right) ^ {2} \ right) = {\ frac {d} {dt}} \ left (A {\ frac {3} {5}} y ^ {5/3} \ right)}

{\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ left ({\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {dy} {dt}} \ right) ^ {2} \ right) = {\ frac {d} {dt}} \ left (A {\ frac {3} {5}} y ^ {5/3} \ right)}

Prin urmare:

\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}={\frac {6A}{5}}y^{5/3}+C_{0}

{\ displaystyle \ left ({\ frac {dy} {dt}} \ right) ^ {2} = {\ frac {6A} {5}} y ^ {5/3} + C_ {0}}

{\ displaystyle \ left ({\ frac {dy} {dt}} \ right) ^ {2} = {\ frac {6A} {5}} y ^ {5/3} + C_ {0}}

Din care obținem, separând variabilele:

\int {\frac {dy}{\sqrt {{\frac {6A}{5}}y^{5/3}+C_{0}}}}=t+C_{1}

{\ displaystyle \ int {\ frac {dy} {\ sqrt {{\ frac {6A} {5}} y ^ {5/3} + C_ {0}}}} = t + C_ {1}}

{\ displaystyle \ int {\ frac {dy} {\ sqrt {{\ frac {6A} {5}} y ^ {5/3} + C_ {0}}}} = t + C_ {1}}

Notă

^ MathWorld - Integrating Factor , la mathworld.wolfram.com . Adus 31.01.2013 .

Bibliografie

(EN) Adams, RA Calcul: Un curs complet, ediția a IV-a. Reading, MA: Addison Wesley, 1999.
( EN ) Morse, PM și Feshbach, H. Metode de fizică teoretică, Partea I. New York: McGraw-Hill, pp. 526-529, 1953.

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] MathWorld - Integrating Factor , la mathworld.wolfram.com . Adus 31.01.2013 .

[1]