Metoda variațiilor constantelor

În analiza matematică , metoda variației constantelor sau metoda Lagrange este o procedură generală care permite determinarea integralei generale a unei ecuații diferențiale liniare de orice ordin și oricare ar fi funcția continuă $f(t)$ ${\ displaystyle f (t)}$ $f (t)$ care constituie termenul cunoscut. Această metodă este aplicabilă acolo unde este posibil să se determine n soluții independente ale ecuației omogene asociate și a primitivelor funcțiilor adecvate care oferă soluția unui sistem.

Metoda este ilustrată aici inițial pentru ecuații de primul și al doilea ordin, și apoi generalizată la ecuații de ordin n arbitrar. Variabila de care depinde funcția necunoscută $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ se numește în toate exemplele $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ .

Ecuații de ordinul întâi

O ecuație diferențială de ordinul întâi în formă normală arată astfel:

y'(t)+a(t)y(t)=f(t)

{\ displaystyle y '(t) + a (t) y (t) = f (t)}

{\ displaystyle y '(t) + a (t) y (t) = f (t)}

Metoda de variație a constantelor constă în căutarea soluțiilor de tipul:

\displaystyle {\tilde {y}}(t)=c(t)e^{-A(t)}

{\ displaystyle \ displaystyle {\ tilde {y}} (t) = c (t) e ^ {- A (t)}}

{\ displaystyle \ displaystyle {\ tilde {y}} (t) = c (t) e ^ {- A (t)}}

obținut pornind de la o soluție a ecuației omogene asociate:

y'(t)+a(t)y(t)=0

{\ displaystyle y '(t) + a (t) y (t) = 0}

{\ displaystyle y '(t) + a (t) y (t) = 0}

de tipul:

y(t)=ce^{-A(t)}

{\ displaystyle y (t) = ce ^ {- A (t)}}

{\ displaystyle y (t) = ce ^ {- A (t)}}

unde este $A(t)$ ${\ displaystyle A (t)}$ $A (t)$ este o primitivă a $a(t)$ ${\ displaystyle a (t)}$ $a (t)$ Și $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ este o constantă arbitrară. Motivul pentru care metoda este numită aceasta se datorează constantei $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ se transformă în funcție $c(t)$ ${\ displaystyle c (t)}$ $CT)$ a fi determinat.

Metoda constă în esență în înlocuirea ${\tilde {y}}$ ${\ displaystyle {\ tilde {y}}}$ ${\ displaystyle {\ tilde {y}}}$ în ecuația diferențială originală. Pentru a efectua substituția, este necesar să se calculeze mai întâi prima derivată , folosind regula lui Leibniz :

{\tilde {y}}'(t)=c'(t)y(t)+c(t)y'(t)

{\ displaystyle {\ tilde {y}} '(t) = c' (t) y (t) + c (t) y '(t)}

{\ displaystyle {\ tilde {y}} '(t) = c' (t) y (t) + c (t) y '(t)}

Înlocuind ceea ce tocmai am obținut în ecuația de pornire, obținem:

c'(t)y(t)+c(t)y'(t)+a(t){\tilde {y}}=f(t)

{\ displaystyle c '(t) y (t) + c (t) y' (t) + a (t) {\ tilde {y}} = f (t)}

{\ displaystyle c '(t) y (t) + c (t) y' (t) + a (t) {\ tilde {y}} = f (t)}

prin urmare, înlocuind:

c'(t)e^{-A(t)}-c(t)a(t)e^{-A(t)}+c(t)a(t)e^{-A(t)}=f(t)

{\ displaystyle c '(t) e ^ {- A (t)} - ​​c (t) a (t) e ^ {- A (t)} + c (t) a (t) e ^ {- A (t)} = f (t)}

{\ displaystyle c '(t) e ^ {- A (t)} - ​​c (t) a (t) e ^ {- A (t)} + c (t) a (t) e ^ {- A (t)} = f (t)}

Simplificând, obținem:

c'(t)e^{-A(t)}=f(t)

{\ displaystyle c '(t) e ^ {- A (t)} = f (t)}

{\ displaystyle c '(t) e ^ {- A (t)} = f (t)}

Prin izolarea a ceea ce ne interesează și integrarea ambilor membri:

c(t)=\int f(t)e^{A(t)}dt

{\ displaystyle c (t) = \ int f (t) e ^ {A (t)} dt}

{\ displaystyle c (t) = \ int f (t) e ^ {A (t)} dt}

din care integralul general al ecuației complete este:

{\tilde {y}}=e^{-A(t)}\int f(t)e^{A(t)}dt

{\ displaystyle {\ tilde {y}} = e ^ {- A (t)} \ int f (t) e ^ {A (t)} dt}

{\ displaystyle {\ tilde {y}} = e ^ {- A (t)} \ int f (t) e ^ {A (t)} dt}

În acest moment, singura dificultate este calcularea unei integrale care poate să nu fie imediată, sau chiar să nu se rezolve cu metode analitice.

Ecuații de ordinul doi

O ecuație diferențială de ordinul doi arată astfel:

y''(t)+a(t)y'(t)+b(t)y(t)=f(t)

{\ displaystyle y '' (t) + a (t) y '(t) + b (t) y (t) = f (t)}

{\ displaystyle y '' (t) + a (t) y '(t) + b (t) y (t) = f (t)}

Metoda de variație a constantelor în acest caz constă în căutarea soluțiilor de tipul:

\displaystyle {\tilde {y}}=c_{1}(t)y_{1}(t)+c_{2}(t)y_{2}(t)

{\ displaystyle \ displaystyle {\ tilde {y}} = c_ {1} (t) y_ {1} (t) + c_ {2} (t) y_ {2} (t)}

{\ displaystyle \ displaystyle {\ tilde {y}} = c_ {1} (t) y_ {1} (t) + c_ {2} (t) y_ {2} (t)}

construit pornind de la două soluții $y_{1}(t)$ ${\ displaystyle y_ {1} (t)}$ ${\ displaystyle y_ {1} (t)}$ Și $y_{2}(t)$ ${\ displaystyle y_ {2} (t)}$ ${\ displaystyle y_ {2} (t)}$ a ecuației omogene asociate:

y''(t)+a(t)y'(t)+b(t)y(t)=0

{\ displaystyle y '' (t) + a (t) y '(t) + b (t) y (t) = 0}

{\ displaystyle y '' (t) + a (t) y '(t) + b (t) y (t) = 0}

Deoarece adesea ecuația omogenă asociată este mai ușor de rezolvat, această metodă este utilă în multe cazuri concrete.

Metoda constă în esență în înlocuirea ${\tilde {y}}$ ${\ displaystyle {\ tilde {y}}}$ ${\ displaystyle {\ tilde {y}}}$ în ecuația diferențială originală. Pentru a efectua substituția, este necesar să se calculeze mai întâi prima derivată , folosind regula lui Leibniz :

{\tilde {y}}'(t)=c_{1}'(t)y_{1}(t)+c_{2}'(t)y_{2}(t)+c_{1}(t)y_{1}'(t)+c_{2}(t)y_{2}'(t)

{\ displaystyle {\ tilde {y}} '(t) = c_ {1}' (t) y_ {1} (t) + c_ {2} '(t) y_ {2} (t) + c_ {1 } (t) y_ {1} '(t) + c_ {2} (t) y_ {2}' (t)}

{\ displaystyle {\ tilde {y}} '(t) = c_ {1}' (t) y_ {1} (t) + c_ {2} '(t) y_ {2} (t) + c_ {1 } (t) y_ {1} '(t) + c_ {2} (t) y_ {2}' (t)}

Pentru a simplifica calculele, se impune următoarea condiție:

c_{1}'(t)y_{1}(t)+c_{2}'(t)y_{2}(t)=0

{\ displaystyle c_ {1} '(t) y_ {1} (t) + c_ {2}' (t) y_ {2} (t) = 0}

{\ displaystyle c_ {1} '(t) y_ {1} (t) + c_ {2}' (t) y_ {2} (t) = 0}

Acest lucru are ca rezultat:

{\tilde {y}}'=c_{1}(t)y_{1}'(t)+c_{2}(t)y_{2}'(t)

{\ displaystyle {\ tilde {y}} '= c_ {1} (t) y_ {1}' (t) + c_ {2} (t) y_ {2} '(t)}

{\ displaystyle {\ tilde {y}} '= c_ {1} (t) y_ {1}' (t) + c_ {2} (t) y_ {2} '(t)}

si in consecinta:

{\tilde {y}}''=c_{1}'(t)y_{1}'(t)+c_{2}'(t)y_{2}'(t)+c_{1}(t)y_{1}''(t)+c_{2}(t)y_{2}''(t)

{\ displaystyle {\ tilde {y}} '' = c_ {1} '(t) y_ {1}' (t) + c_ {2} '(t) y_ {2}' (t) + c_ {1 } (t) y_ {1} '' (t) + c_ {2} (t) y_ {2} '' (t)}

{\ displaystyle {\ tilde {y}} '' = c_ {1} '(t) y_ {1}' (t) + c_ {2} '(t) y_ {2}' (t) + c_ {1 } (t) y_ {1} '' (t) + c_ {2} (t) y_ {2} '' (t)}

Înlocuind ceea ce tocmai am obținut în ecuația de pornire, obținem:

(c_{1}'(t)y_{1}'(t)+c_{2}'(t)y_{2}'(t)+c_{1}(t)y_{1}''(t)+c_{2}(t)y_{2}''(t))+a(c_{1}(t)y_{1}'(t)+c_{2}(t)y_{2}'(t))+b(c_{1}(t)y_{1}(t)+c_{2}(t)y_{2}(t))=f(t)

{\ displaystyle (c_ {1} '(t) y_ {1}' (t) + c_ {2} '(t) y_ {2}' (t) + c_ {1} (t) y_ {1} ' '(t) + c_ {2} (t) y_ {2}' '(t)) + a (c_ {1} (t) y_ {1}' (t) + c_ {2} (t) y_ { 2} '(t)) + b (c_ {1} (t) y_ {1} (t) + c_ {2} (t) y_ {2} (t)) = f (t)}

{\ displaystyle (c_ {1} '(t) y_ {1}' (t) + c_ {2} '(t) y_ {2}' (t) + c_ {1} (t) y_ {1} ' '(t) + c_ {2} (t) y_ {2}' '(t)) + a (c_ {1} (t) y_ {1}' (t) + c_ {2} (t) y_ { 2} '(t)) + b (c_ {1} (t) y_ {1} (t) + c_ {2} (t) y_ {2} (t)) = f (t)}

prin urmare:

c_{1}(t)(y_{1}''(t)+ay_{1}'(t)+by_{1}(t))+c_{2}(t)(y_{2}''(t)+ay_{2}'(t)+by_{2}(t))+(c_{1}'(t)y_{1}'(t)+c_{2}'(t)y_{2}'(t))=f(t)

{\ displaystyle c_ {1} (t) (y_ {1} '' (t) + ay_ {1} '(t) + by_ {1} (t)) + c_ {2} (t) (y_ {2 } '' (t) + ay_ {2} '(t) + by_ {2} (t)) + (c_ {1}' (t) y_ {1} '(t) + c_ {2}' (t ) y_ {2} '(t)) = f (t)}

{\ displaystyle c_ {1} (t) (y_ {1} '' (t) + ay_ {1} '(t) + by_ {1} (t)) + c_ {2} (t) (y_ {2 } '' (t) + ay_ {2} '(t) + by_ {2} (t)) + (c_ {1}' (t) y_ {1} '(t) + c_ {2}' (t ) y_ {2} '(t)) = f (t)}

Primele două completări sunt identice nule, deoarece $y_{1}(t)$ ${\ displaystyle y_ {1} (t)}$ ${\ displaystyle y_ {1} (t)}$ Și $y_{2}(t)$ ${\ displaystyle y_ {2} (t)}$ ${\ displaystyle y_ {2} (t)}$ sunt soluții ale ecuației omogene, deci totul se reduce la:

c_{1}'(t)y_{1}'(t)+c_{2}'(t)y_{2}'(t)=f(t)

{\ displaystyle c_ {1} '(t) y_ {1}' (t) + c_ {2} '(t) y_ {2}' (t) = f (t)}

{\ displaystyle c_ {1} '(t) y_ {1}' (t) + c_ {2} '(t) y_ {2}' (t) = f (t)}

Toate acestea duc la studiul sistemului liniar al două ecuații în necunoscute $c_{1}'$ ${\ displaystyle c_ {1} '}$ ${\ displaystyle c_ {1} '}$ Și $c_{2}'$ ${\ displaystyle c_ {2} '}$ ${\ displaystyle c_ {2} '}$ :

\left\{{\begin{matrix}c_{1}'(t)y_{1}(t)+c_{2}'(t)y_{2}(t)=0\\c_{1}'(t)y_{1}'(t)+c_{2}'(t)y_{2}'(t)=f(t)\end{matrix}}\right.

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} c_ {1} '(t) y_ {1} (t) + c_ {2}' (t) y_ {2} (t) = 0 \\ c_ { 1} '(t) y_ {1}' (t) + c_ {2} '(t) y_ {2}' (t) = f (t) \ end {matrix}} \ right.}

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} c_ {1} '(t) y_ {1} (t) + c_ {2}' (t) y_ {2} (t) = 0 \\ c_ { 1} '(t) y_ {1}' (t) + c_ {2} '(t) y_ {2}' (t) = f (t) \ end {matrix}} \ right.}

Determinantul matricei :

\left({\begin{matrix}y_{1}(t)&y_{2}(t)\\y_{1}'(t)&y_{2}'(t)\end{matrix}}\right)

{\ displaystyle \ left ({\ begin {matrix} y_ {1} (t) & y_ {2} (t) \\ y_ {1} '(t) & y_ {2}' (t) \ end {matrix }} \ dreapta)}

{\ displaystyle \ left ({\ begin {matrix} y_ {1} (t) & y_ {2} (t) \\ y_ {1} '(t) & y_ {2}' (t) \ end {matrix }} \ dreapta)}

este Wronskianul din $y_{1}(t)$ ${\ displaystyle y_ {1} (t)}$ ${\ displaystyle y_ {1} (t)}$ Și $y_{2}(t)$ ${\ displaystyle y_ {2} (t)}$ ${\ displaystyle y_ {2} (t)}$ : acest lucru este nul dacă și numai dacă cele două soluții sunt dependente. Rezultă că în acest caz nu este niciodată nul, iar sistemul are întotdeauna o soluție, dată de:

c_{1}'(t)={\frac {-y_{2}(t)f(t)}{y_{2}'(t)y_{1}(t)-y_{1}'(t)y_{2}(t)}}\qquad \qquad c_{2}'(t)={\frac {y_{1}(t)f(t)}{y_{2}'(t)y_{1}(t)-y_{1}'(t)y_{2}(t)}}

{\ displaystyle c_ {1} '(t) = {\ frac {-y_ {2} (t) f (t)} {y_ {2}' (t) y_ {1} (t) -y_ {1} '(t) y_ {2} (t)}} \ qquad \ qquad c_ {2}' (t) = {\ frac {y_ {1} (t) f (t)} {y_ {2} '(t ) y_ {1} (t) -y_ {1} '(t) y_ {2} (t)}}}

{\ displaystyle c_ {1} '(t) = {\ frac {-y_ {2} (t) f (t)} {y_ {2}' (t) y_ {1} (t) -y_ {1} '(t) y_ {2} (t)}} \ qquad \ qquad c_ {2}' (t) = {\ frac {y_ {1} (t) f (t)} {y_ {2} '(t ) y_ {1} (t) -y_ {1} '(t) y_ {2} (t)}}}

Integrarea $c_{1}'(t)$ ${\ displaystyle c_ {1} '(t)}$ ${\ displaystyle c_ {1} '(t)}$ Și $c_{2}'(t)$ ${\ displaystyle c_ {2} '(t)}$ ${\ displaystyle c_ {2} '(t)}$ este posibil să se obțină fie o soluție specială a ecuației de pornire (integrarea definitivă), fie integrala generală a ecuației de pornire (integrarea la nesfârșit).

Ecuații de ordine n

În cazul ecuațiilor de ordine n :

y^{(n)}(t)+a_{n-1}(t)y^{(n-1)}(t)+\cdots +a_{0}(t)y(t)=f(t)

{\ displaystyle y ^ {(n)} (t) + a_ {n-1} (t) y ^ {(n-1)} (t) + \ cdots + a_ {0} (t) y (t) = f (t)}

{\ displaystyle y ^ {(n)} (t) + a_ {n-1} (t) y ^ {(n-1)} (t) + \ cdots + a_ {0} (t) y (t) = f (t)}

sunt luate în considerare n soluțiile independente ale ecuației omogene și se caută o soluție specială a ecuației sub forma:

{\tilde {y}}=c_{1}(t)y_{1}(t)+c_{2}(t)y_{2}(t)+\cdots +c_{n}(t)y_{n}(t)

{\ displaystyle {\ tilde {y}} = c_ {1} (t) y_ {1} (t) + c_ {2} (t) y_ {2} (t) + \ cdots + c_ {n} (t ) y_ {n} (t)}

{\ displaystyle {\ tilde {y}} = c_ {1} (t) y_ {1} (t) + c_ {2} (t) y_ {2} (t) + \ cdots + c_ {n} (t ) y_ {n} (t)}

Sistemul liniar este apoi rezolvat în n necunoscute $c_{i}'(t)$ ${\ displaystyle c_ {i} '(t)}$ ${\ displaystyle c_ {i} '(t)}$ :

{\begin{cases}c_{1}'(t)y_{1}(t)+c_{2}'(t)y_{2}(t)+\cdots +c_{n}'(t)y_{n}(t)=0\\c_{1}'(t)y_{1}'(t)+c_{2}'(t)y_{2}'(t)+\cdots +c_{n}'(t)y_{n}'(t)=0\\\cdots \cdots \cdots \cdots \\c_{1}'(t)y_{1}^{(n-2)}(t)+c_{2}'(t)y_{2}^{(n-2)}(t)+\cdots +c_{n}'(t)y_{n}^{(n-2)}(t)=0\\c_{1}'(t)y_{1}^{(n-1)}(t)+c_{2}'(t)y_{2}^{(n-1)}(t)+\cdots +c_{n}'(t)y_{n}^{(n-1)}(t)=f(t)\end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} c_ {1} '(t) y_ {1} (t) + c_ {2}' (t) y_ {2} (t) + \ cdots + c_ {n} '( t) y_ {n} (t) = 0 \\ c_ {1} '(t) y_ {1}' (t) + c_ {2} '(t) y_ {2}' (t) + \ cdots + c_ {n} '(t) y_ {n}' (t) = 0 \\\ cdots \ cdots \ cdots \ cdots \\ c_ {1} '(t) y_ {1} ^ {(n-2)} (t) + c_ {2} '(t) y_ {2} ^ {(n-2)} (t) + \ cdots + c_ {n}' (t) y_ {n} ^ {(n-2) } (t) = 0 \\ c_ {1} '(t) y_ {1} ^ {(n-1)} (t) + c_ {2}' (t) y_ {2} ^ {(n-1 )} (t) + \ cdots + c_ {n} '(t) y_ {n} ^ {(n-1)} (t) = f (t) \ end {cases}}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} c_ {1} '(t) y_ {1} (t) + c_ {2}' (t) y_ {2} (t) + \ cdots + c_ {n} '( t) y_ {n} (t) = 0 \\ c_ {1} '(t) y_ {1}' (t) + c_ {2} '(t) y_ {2}' (t) + \ cdots + c_ {n} '(t) y_ {n}' (t) = 0 \\\ cdots \ cdots \ cdots \ cdots \\ c_ {1} '(t) y_ {1} ^ {(n-2)} (t) + c_ {2} '(t) y_ {2} ^ {(n-2)} (t) + \ cdots + c_ {n}' (t) y_ {n} ^ {(n-2) } (t) = 0 \\ c_ {1} '(t) y_ {1} ^ {(n-1)} (t) + c_ {2}' (t) y_ {2} ^ {(n-1 )} (t) + \ cdots + c_ {n} '(t) y_ {n} ^ {(n-1)} (t) = f (t) \ end {cases}}}

Determinantul acestui sistem se numește determinant Wronskian și, ca mai sus, se poate arăta că este întotdeauna diferit de zero pornind de la independența soluțiilor ecuației omogene. Funcțiile necunoscute sunt determinate prin integrarea celor n termeni de soluție ai sistemului de mai sus, pentru a obține integralul general al ecuației.

În mod specific, având în vedere o ecuație liniară neomogenă obișnuită:

y^{(n)}(t)+\sum _{i=0}^{n-1}a_{i}(t)y^{(i)}(t)=b(t)

{\ displaystyle y ^ {(n)} (t) + \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} a_ {i} (t) y ^ {(i)} (t) = b (t) }

{\ displaystyle y ^ {(n)} (t) + \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} a_ {i} (t) y ^ {(i)} (t) = b (t) }

este $y_{1}(t),\ldots ,y_{n}(t)$ ${\ displaystyle y_ {1} (t), \ ldots, y_ {n} (t)}$ ${\ displaystyle y_ {1} (t), \ ldots, y_ {n} (t)}$ un sistem fundamental de soluții ale ecuației omogene corespunzătoare:

y^{(n)}(t)+\sum _{i=0}^{n-1}a_{i}(t)y^{(i)}(t)=0

{\ displaystyle y ^ {(n)} (t) + \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} a_ {i} (t) y ^ {(i)} (t) = 0}

{\ displaystyle y ^ {(n)} (t) + \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} a_ {i} (t) y ^ {(i)} (t) = 0}

Apoi, o soluție specială a ecuației neomogene este dată de:

y_{p}(t)=\sum _{i=1}^{n}c_{i}(t)y_{i}(t)

{\ displaystyle y_ {p} (t) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} c_ {i} (t) y_ {i} (t)}

{\ displaystyle y_ {p} (t) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} c_ {i} (t) y_ {i} (t)}

unde este $c_{i}(t)$ ${\ displaystyle c_ {i} (t)}$ ${\ displaystyle c_ {i} (t)}$ sunt funcții diferențiate care se presupune că îndeplinesc condițiile:

\sum _{i=1}^{n}c_{i}'(t)y_{i}^{(j)}(t)=0\qquad j=0,\ldots ,n-2

{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} c_ {i} '(t) y_ {i} ^ {(j)} (t) = 0 \ qquad j = 0, \ ldots, n-2 }

{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} c_ {i} '(t) y_ {i} ^ {(j)} (t) = 0 \ qquad j = 0, \ ldots, n-2 }

Luând în considerare soluția particulară a ecuației omogene, diferențierea în mod repetat și utilizarea condițiilor anterioare:

y_{p}^{(j)}(t)=\sum _{i=1}^{n}c_{i}(t)y_{i}^{(j)}(t)\qquad j=0,\ldots ,n-1

{\ displaystyle y_ {p} ^ {(j)} (t) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} c_ {i} (t) y_ {i} ^ {(j)} (t) \ qquad j = 0, \ ldots, n-1}

{\ displaystyle y_ {p} ^ {(j)} (t) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} c_ {i} (t) y_ {i} ^ {(j)} (t) \ qquad j = 0, \ ldots, n-1}

Cu o diferențiere finală avem:

y_{p}^{(n)}(t)=\sum _{i=1}^{n}c_{i}'(t)y_{i}^{(n-1)}(t)+\sum _{i=1}^{n}c_{i}(t)y_{i}^{(n)}(t)

{\ displaystyle y_ {p} ^ {(n)} (t) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} c_ {i} '(t) y_ {i} ^ {(n-1)} ( t) + \ sum _ {i = 1} ^ {n} c_ {i} (t) y_ {i} ^ {(n)} (t)}

{\ displaystyle y_ {p} ^ {(n)} (t) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} c_ {i} '(t) y_ {i} ^ {(n-1)} ( t) + \ sum _ {i = 1} ^ {n} c_ {i} (t) y_ {i} ^ {(n)} (t)}

Înlocuind deci soluția particulară din ecuația de pornire și aplicând ultimele două relații obținem:

\sum _{i=1}^{n}c_{i}'(t)y_{i}^{(n-1)}(t)=b(t)

{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} c_ {i} '(t) y_ {i} ^ {(n-1)} (t) = b (t)}

{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} c_ {i} '(t) y_ {i} ^ {(n-1)} (t) = b (t)}

Această ecuație și cea anterioară sunt sisteme liniare care pot fi rezolvate cu regula lui Cramer :

c_{i}'(t)={\frac {W_{i}(t)}{W(t)}}\qquad i=1,\ldots ,n

{\ displaystyle c_ {i} '(t) = {\ frac {W_ {i} (t)} {W (t)}} \ qquad i = 1, \ ldots, n}

{\ displaystyle c_ {i} '(t) = {\ frac {W_ {i} (t)} {W (t)}} \ qquad i = 1, \ ldots, n}

unde este $W(t)$ ${\ displaystyle W (t)}$ ${\ displaystyle W (t)}$ este Wronskianul sistemului fundamental de soluții și $W_{i}(t)$ ${\ displaystyle W_ {i} (t)}$ ${\ displaystyle W_ {i} (t)}$ este Wronskianul sistemului fundamental cu coloana a I-a înlocuită cu $(0,0,\ldots ,b(t))$ ${\ displaystyle (0,0, \ ldots, b (t))}$ ${\ displaystyle (0,0, \ ldots, b (t))}$ .

Soluția particulară a ecuației neomogene poate fi scrisă ca:

y_{p}(t)=\sum _{i=1}^{n}y_{i}(t)\,\int {\frac {W_{i}(t)}{W(t)}}dt

{\ displaystyle y_ {p} (t) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} y_ {i} (t) \, \ int {\ frac {W_ {i} (t)} {W (t )}} dt}

{\ displaystyle y_ {p} (t) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} y_ {i} (t) \, \ int {\ frac {W_ {i} (t)} {W (t )}} dt}

Bibliografie

(EN) Earl A. Coddington și Norman Levinson, Theory of Ordinary Differential Equations , New York, McGraw-Hill, 1955.
( EN ) WE Boyce și RC DiPrima, ecuații diferențiale elementare și probleme de valoare limită Ediția a 8-a , Wiley Interscience, 1965. , paginile 186-192, 237-241
( EN ) Gerald Teschl , Ecuații diferențiale ordinare și sisteme dinamice , Providence , Societatea Americană de Matematică .

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) N.Kh. Rozov, Variația constantelor , în Enciclopedia matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.
( EN ) Eric W. Weisstein, Variation of Parameters , în MathWorld , Wolfram Research.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică