Ecuația diferențială liniară de ordinul doi

O ecuație diferențială liniară de ordinul doi este un tip special de ecuație diferențială liniară .

Definiție

O ecuație diferențială liniară obișnuită de ordinul doi are forma: ^[1]

y''+a(x)\cdot y'+b(x)\cdot y=f(x)

{\ displaystyle y '' + a (x) \ cdot y '+ b (x) \ cdot y = f (x)}

{\ displaystyle y '' + a (x) \ cdot y '+ b (x) \ cdot y = f (x)}

unde este $a(x)$ ${\ displaystyle a (x)}$ $a (x)$ Și $b(x)$ ${\ displaystyle b (x)}$ $b (x)$ sunt funcții continue într-un interval real .

Pentru a o rezolva, luați în considerare ecuația diferențială omogenă asociată:

y''+a(x)\cdot y'+b(x)\cdot y=0

{\ displaystyle y '' + a (x) \ cdot y '+ b (x) \ cdot y = 0}

{\ displaystyle y '' + a (x) \ cdot y '+ b (x) \ cdot y = 0}

care are ca o soluție banală $y=0$ ${\ displaystyle y = 0}$ $y = 0$ . Pentru a obține soluții non-banale, dacă $y_{1}$ ${\ displaystyle y_ {1}}$ $y _ {{1}}$ Și $y_{2}$ ${\ displaystyle y_ {2}}$ ${\ displaystyle y_ {2}}$ sunt două soluții liniar independente ale acestei ecuații, de asemenea:

y=c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}

{\ displaystyle y = c_ {1} y_ {1} + c_ {2} y_ {2}}

{\ displaystyle y = c_ {1} y_ {1} + c_ {2} y_ {2}}

este soluția pentru fiecare valoare a constantelor $c_{1}$ ${\ displaystyle c_ {1}}$ $c_1$ Și $c_{2}$ ${\ displaystyle c_ {2}}$ $c_2$ . Mai exact, toate soluțiile ecuației omogene asociate sunt de această formă. Deoarece diferența oricăror două soluții ale ecuației neomogene trebuie să fie soluția ecuației omogene, pentru a găsi soluția generală a ecuației neomogene este suficient să găsim o soluție specială $u(x)$ ${\ displaystyle u (x)}$ $tu (x)$ și adăugați soluția generică a ecuației omogene asociate:

y=u(x)+c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}

{\ displaystyle y = u (x) + c_ {1} y_ {1} + c_ {2} y_ {2}}

{\ displaystyle y = u (x) + c_ {1} y_ {1} + c_ {2} y_ {2}}

În loc să indicați familia parametrică a tuturor soluțiilor ecuației neomogene, este posibil să vi se solicite să rezolvați ecuația cu valorile inițiale atribuite. Problema Cauchy astfel delimitată are forma:

{\begin{cases}y(x_{0})=y_{0}\\y'(x_{0})=y_{1}\end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} y (x_ {0}) = y_ {0} \\ y '(x_ {0}) = y_ {1} \ end {cases}}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} y (x_ {0}) = y_ {0} \\ y '(x_ {0}) = y_ {1} \ end {cases}}}

iar aceste două condiții servesc la determinarea valorilor constantelor arbitrare asociate cu soluția anterioară pentru ecuația neomogenă, pentru a avea o soluție specială care testează problema la valorile inițiale.

Ecuații cu coeficienți constanți

Ecuația omogenă asociată

Ecuația omogenă asociată are forma:

y''+a\cdot y'+b\cdot y=0

{\ displaystyle y '' + a \ cdot y '+ b \ cdot y = 0}

{\ displaystyle y '' + a \ cdot y '+ b \ cdot y = 0}

unde este $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ sunt coeficienți constanți dați. Rezoluția sa constă în căutarea unei soluții precum:

y=e^{\lambda x}

{\ displaystyle y = e ^ {\ lambda x}}

{\ displaystyle y = e ^ {\ lambda x}}

Înlocuind această expresie în ecuația omogenă anterioară, derivând și evidențiind $e^{\lambda x}$ ${\ displaystyle e ^ {\ lambda x}}$ ${\ displaystyle e ^ {\ lambda x}}$ :

e^{\lambda x}\left(\lambda ^{2}+a\lambda +b\right)=0

{\ displaystyle e ^ {\ lambda x} \ left (\ lambda ^ {2} + a \ lambda + b \ right) = 0}

{\ displaystyle e ^ {\ lambda x} \ left (\ lambda ^ {2} + a \ lambda + b \ right) = 0}

Deoarece exponențialul nu dispare niciodată, această ecuație dispare dacă și numai dacă:

\lambda ^{2}+a\lambda +b=0

{\ displaystyle \ lambda ^ {2} + a \ lambda + b = 0}

{\ displaystyle \ lambda ^ {2} + a \ lambda + b = 0}

Dacă rădăcinile sale sunt reale și distincte, asta este $\lambda _{1}\neq \lambda _{2}\in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {1} \ neq \ lambda _ {2} \ in \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {1} \ neq \ lambda _ {2} \ in \ mathbb {R}}$ , atunci soluția este așa:

y=c_{1}e^{\lambda _{1}x}+c_{2}e^{\lambda _{2}x}

{\ displaystyle y = c_ {1} e ^ {\ lambda _ {1} x} + c_ {2} e ^ {\ lambda _ {2} x}}

{\ displaystyle y = c_ {1} e ^ {\ lambda _ {1} x} + c_ {2} e ^ {\ lambda _ {2} x}}

dacă sunt reale și coincidente, adică $\lambda _{1}=\lambda _{2}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {1} = \ lambda _ {2}}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {1} = \ lambda _ {2}}$ , atunci soluția este așa:

y=\left(c_{1}+c_{2}\cdot x\right)e^{\lambda _{1}x}

{\ displaystyle y = \ left (c_ {1} + c_ {2} \ cdot x \ right) și ^ {\ lambda _ {1} x}}

{\ displaystyle y = \ left (c_ {1} + c_ {2} \ cdot x \ right) și ^ {\ lambda _ {1} x}}

în timp ce dacă sunt complexe și conjugate, adică $\lambda _{1,2}=\alpha \pm i\beta \in \mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {1,2} = \ alpha \ pm i \ beta \ in \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {1,2} = \ alpha \ pm i \ beta \ in \ mathbb {C}}$ , atunci partea reală și imaginară pot fi considerate separat:

y=e^{\alpha x}\left(c_{1}\cos \beta x+c_{2}\sin \beta x\right)

{\ displaystyle y = e ^ {\ alpha x} \ left (c_ {1} \ cos \ beta x + c_ {2} \ sin \ beta x \ right)}

{\ displaystyle y = e ^ {\ alpha x} \ left (c_ {1} \ cos \ beta x + c_ {2} \ sin \ beta x \ right)}

Ecuația completă

Ecuația completă are forma:

y''+a\cdot y'+b\cdot y=f(x)

{\ displaystyle y '' + a \ cdot y '+ b \ cdot y = f (x)}

{\ displaystyle y '' + a \ cdot y '+ b \ cdot y = f (x)}

Pentru a determina soluțiile, este suficient să adăugați o soluție specială a ecuației neomogene la soluția generică a ecuației omogene asociate. O astfel de soluție particulară poate fi găsită cu metoda variației constante sau luând în considerare unele cazuri particulare:

De sine $f(x)=P(x)$ ${\ displaystyle f (x) = P (x)}$ ${\ displaystyle f (x) = P (x)}$ , unde este $P(x)$ ${\ displaystyle P (x)}$ $P (x)$ este un polinom de grad $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ , se caută o soluție specială de acest tip $u(x)=P_{1}(x)$ ${\ displaystyle u (x) = P_ {1} (x)}$ ${\ displaystyle u (x) = P_ {1} (x)}$ , unde este $P_{1}(x)$ ${\ displaystyle P_ {1} (x)}$ $P_ {1} (x)$ este un polinom formal de același grad $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ . Dacă totuși ${\lambda }=0$ ${\ displaystyle {\ lambda} = 0}$ ${\ displaystyle {\ lambda} = 0}$ este o soluție (simplă) a ecuației omogene asociate, atunci trebuie să căutăm o soluție de acest tip $u(x)=x\cdot P_{1}(x)$ ${\ displaystyle u (x) = x \ cdot P_ {1} (x)}$ ${\ displaystyle u (x) = x \ cdot P_ {1} (x)}$ .
Considera $f(x)=P(x)\cdot e^{\alpha x}$ ${\ displaystyle f (x) = P (x) \ cdot e ^ {\ alpha x}}$ ${\ displaystyle f (x) = P (x) \ cdot e ^ {\ alpha x}}$ , unde este $P(x)$ ${\ displaystyle P (x)}$ ${\ displaystyle P (x)}$ este un polinom de grad $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ . De sine $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ nu este o rădăcină a ecuației $\lambda ^{2}+a\lambda +b=0$ ${\ displaystyle \ lambda ^ {2} + a \ lambda + b = 0}$ ${\ displaystyle \ lambda ^ {2} + a \ lambda + b = 0}$ apoi căutăm o soluție specială, cum ar fi:

u(x)=P_{1}(x)\cdot e^{\alpha x}

{\ displaystyle u (x) = P_ {1} (x) \ cdot e ^ {\ alpha x}}

{\ displaystyle u (x) = P_ {1} (x) \ cdot e ^ {\ alpha x}}

unde este

P_{1}

{\ displaystyle P_ {1}}

P_1

este un polinom formal de același grad

m

{\ displaystyle m}

m

. Dacă în schimb

\alpha

{\ displaystyle \ alpha}

\ alfa

coincide cu una dintre rădăcini, apoi se caută o soluție specială, cum ar fi:

u(x)=x^{r}\cdot P_{1}(x)\cdot e^{\alpha x}

{\ displaystyle u (x) = x ^ {r} \ cdot P_ {1} (x) \ cdot e ^ {\ alpha x}}

{\ displaystyle u (x) = x ^ {r} \ cdot P_ {1} (x) \ cdot e ^ {\ alpha x}}

unde este

r

{\ displaystyle r}

r

este multiplicitatea rădăcinii

\alpha

{\ displaystyle \ alpha}

\ alfa

.

Consideră-se pe ei înșiși $f(x)=A\cos(\beta x)$ ${\ displaystyle f (x) = A \ cos (\ beta x)}$ ${\ displaystyle f (x) = A \ cos (\ beta x)}$ , sau $f(x)=A\sin(\beta x)$ ${\ displaystyle f (x) = A \ sin (\ beta x)}$ ${\ displaystyle f (x) = A \ sin (\ beta x)}$ sau din nou $f(x)=A\cos(\beta x)+B\sin(\beta x)$ ${\ displaystyle f (x) = A \ cos (\ beta x) + B \ sin (\ beta x)}$ ${\ displaystyle f (x) = A \ cos (\ beta x) + B \ sin (\ beta x)}$ , unde este $LA, B.$ ${\ displaystyle A, B}$ $A, B$ li se dau constante. În acest caz, dacă $i\beta$ ${\ displaystyle i \ beta}$ ${\ displaystyle i \ beta}$ nu este o rădăcină a ecuației $\lambda ^{2}+a\lambda +b=0$ ${\ displaystyle \ lambda ^ {2} + a \ lambda + b = 0}$ ${\ displaystyle \ lambda ^ {2} + a \ lambda + b = 0}$ apoi căutăm o soluție specială, cum ar fi:

u(x)=C\cos(\beta x)+D\sin(\beta x)

{\ displaystyle u (x) = C \ cos (\ beta x) + D \ sin (\ beta x)}

{\ displaystyle u (x) = C \ cos (\ beta x) + D \ sin (\ beta x)}

unde este

C.

{\ displaystyle C}

C.

Și

D.

{\ displaystyle D}

D.

sunt constante de determinat. Dacă nu, căutăm o soluție precum:

u(x)=x\cdot \left(C\cos(\beta x)+D\sin(\beta x)\right)

{\ displaystyle u (x) = x \ cdot \ left (C \ cos (\ beta x) + D \ sin (\ beta x) \ right)}

{\ displaystyle u (x) = x \ cdot \ left (C \ cos (\ beta x) + D \ sin (\ beta x) \ right)}

Consideră-se pe ei înșiși $f(x)=P(x)\cdot \cos(\beta x)$ ${\ displaystyle f (x) = P (x) \ cdot \ cos (\ beta x)}$ ${\ displaystyle f (x) = P (x) \ cdot \ cos (\ beta x)}$ , sau $f(x)=Q(x)\cdot \sin(\beta x)$ ${\ displaystyle f (x) = Q (x) \ cdot \ sin (\ beta x)}$ ${\ displaystyle f (x) = Q (x) \ cdot \ sin (\ beta x)}$ sau din nou $f(x)=P(x)\cdot \cos(\beta x)+Q(x)\cdot \sin(\beta x)$ ${\ displaystyle f (x) = P (x) \ cdot \ cos (\ beta x) + Q (x) \ cdot \ sin (\ beta x)}$ ${\ displaystyle f (x) = P (x) \ cdot \ cos (\ beta x) + Q (x) \ cdot \ sin (\ beta x)}$ , unde este $P(x),Q(x)$ ${\ displaystyle P (x), Q (x)}$ ${\ displaystyle P (x), Q (x)}$ sunt polinoame. În acest caz, dacă $i\beta$ ${\ displaystyle i \ beta}$ ${\ displaystyle i \ beta}$ nu este o rădăcină a ecuației $\lambda ^{2}+a\lambda +b=0$ ${\ displaystyle \ lambda ^ {2} + a \ lambda + b = 0}$ ${\ displaystyle \ lambda ^ {2} + a \ lambda + b = 0}$ apoi căutăm o soluție specială, cum ar fi:

u(x)=P_{1}(x)\cdot \cos(\beta x)+Q_{1}(x)\cdot \sin(\beta x)

{\ displaystyle u (x) = P_ {1} (x) \ cdot \ cos (\ beta x) + Q_ {1} (x) \ cdot \ sin (\ beta x)}

{\ displaystyle u (x) = P_ {1} (x) \ cdot \ cos (\ beta x) + Q_ {1} (x) \ cdot \ sin (\ beta x)}

unde este

P_{1}(x)

{\ displaystyle P_ {1} (x)}

P_ {1} (x)

Și

Q_{1}(x)

{\ displaystyle Q_ {1} (x)}

{\ displaystyle Q_ {1} (x)}

sunt polinoame de grad respectiv egale cu cele ale lui

P(x)

{\ displaystyle P (x)}

P (x)

Și

Q(x)

{\ displaystyle Q (x)}

Q (x)

. Dacă nu (

i\beta

{\ displaystyle i \ beta}

{\ displaystyle i \ beta}

este rădăcina multiplicității

r

{\ displaystyle r}

r

ecuației caracteristice), căutăm o soluție de tipul:

u(x)=x^{r}\cdot \left(P_{1}(x)\cdot \cos(\beta x)+Q_{1}(x)\cdot \sin(\beta x)\right)

{\ displaystyle u (x) = x ^ {r} \ cdot \ left (P_ {1} (x) \ cdot \ cos (\ beta x) + Q_ {1} (x) \ cdot \ sin (\ beta x ) \ dreapta)}

{\ displaystyle u (x) = x ^ {r} \ cdot \ left (P_ {1} (x) \ cdot \ cos (\ beta x) + Q_ {1} (x) \ cdot \ sin (\ beta x ) \ dreapta)}

De sine $f(x)=f_{1}(x)+f_{2}(x)+...+f_{m}(x)$ ${\ displaystyle f (x) = f_ {1} (x) + f_ {2} (x) + ... + f_ {m} (x)}$ ${\ displaystyle f (x) = f_ {1} (x) + f_ {2} (x) + ... + f_ {m} (x)}$ , pentru liniaritatea ecuației poate fi rezolvată separat:

y''+ay'+by=f_{i}(x)\qquad i=1,...,m

{\ displaystyle y '' + ay '+ by = f_ {i} (x) \ qquad i = 1, ..., m}

{\ displaystyle y '' + ay '+ by = f_ {i} (x) \ qquad i = 1, ..., m}

și apoi adăugați

u_{i}(x)

{\ displaystyle u_ {i} (x)}

{\ displaystyle u_ {i} (x)}

soluții:

u=u_{1}+u_{2}+\cdots +u_{m}

{\ displaystyle u = u_ {1} + u_ {2} + \ cdots + u_ {m}}

{\ displaystyle u = u_ {1} + u_ {2} + \ cdots + u_ {m}}

Ecuații cu coeficienți variabili

Ecuația omogenă asociată are forma:

y''+a(x)\cdot y'+b(x)\cdot y=0

{\ displaystyle y '' + a (x) \ cdot y '+ b (x) \ cdot y = 0}

{\ displaystyle y '' + a (x) \ cdot y '+ b (x) \ cdot y = 0}

unde este $a(x)$ ${\ displaystyle a (x)}$ $a (x)$ Și $b(x)$ ${\ displaystyle b (x)}$ $b (x)$ sunt funcții continue într-un interval al axei reale. Rezoluția sa constă în căutarea unei soluții de formă:

y=c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}

{\ displaystyle y = c_ {1} y_ {1} + c_ {2} y_ {2}}

{\ displaystyle y = c_ {1} y_ {1} + c_ {2} y_ {2}}

Având în vedere ecuația completă:

y''+a(x)\cdot y'+b(x)\cdot y=f(x)

{\ displaystyle y '' + a (x) \ cdot y '+ b (x) \ cdot y = f (x)}

{\ displaystyle y '' + a (x) \ cdot y '+ b (x) \ cdot y = f (x)}

în acest caz se poate folosi metoda variației constante . Căutăm o soluție de același tip cu cea a omogenului, considerând constantele ca funcții:

u(x)=c_{1}(x)y_{1}+c_{2}(x)y_{2}

{\ displaystyle u (x) = c_ {1} (x) y_ {1} + c_ {2} (x) y_ {2}}

{\ displaystyle u (x) = c_ {1} (x) y_ {1} + c_ {2} (x) y_ {2}}

unde este $y_{1}$ ${\ displaystyle y_ {1}}$ ${\ displaystyle y_ {1}}$ Și $y_{2}$ ${\ displaystyle y_ {2}}$ ${\ displaystyle y_ {2}}$ sunt două soluții independente ale ecuației omogene asociate (două soluții sunt independente una de cealaltă dacă raportul lor nu este constant). De cand $y_{1}$ ${\ displaystyle y_ {1}}$ ${\ displaystyle y_ {1}}$ Și $y_{2}$ ${\ displaystyle y_ {2}}$ ${\ displaystyle y_ {2}}$ sunt cunoscute și funcții $c_{1}$ ${\ displaystyle c_ {1}}$ ${\ displaystyle c_ {1}}$ Și $c_{2}$ ${\ displaystyle c_ {2}}$ ${\ displaystyle c_ {2}}$ sunt necunoscute, acestea din urmă trebuie determinate în așa fel încât $u(x)$ ${\ displaystyle u (x)}$ $tu (x)$ satisfaceți ecuația completă. Mai mult, deoarece există două funcții care urmează să fie determinate, o a doua condiție poate fi impusă $c_{1}$ ${\ displaystyle c_ {1}}$ ${\ displaystyle c_ {1}}$ Și $c_{2}$ ${\ displaystyle c_ {2}}$ ${\ displaystyle c_ {2}}$ după plac. Alege:

c_{1}^{'}(x)y_{1}+c_{2}^{'}(x)y_{2}=0

{\ displaystyle c_ {1} ^ {'} (x) y_ {1} + c_ {2} ^ {'} (x) y_ {2} = 0}

{\ displaystyle c_ {1} ^ {'} (x) y_ {1} + c_ {2} ^ {'} (x) y_ {2} = 0}

astfel încât derivarea $u(x)$ ${\ displaystyle u (x)}$ $tu (x)$ de două ori și folosind această relație avem:

{\begin{cases}u'(x)=c_{1}(x)y_{1}^{'}+c_{2}(x)y_{2}^{'}\\u''(x)=c_{1}(x)y_{1}^{''}+c_{2}(x)y_{2}^{''}+c_{1}^{'}(x)y_{1}^{'}+c_{2}^{'}(x)y_{2}^{'}\end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} u '(x) = c_ {1} (x) y_ {1} ^ {'} + c_ {2} (x) y_ {2} ^ {'} \\ u' '(x) = c_ {1} (x) y_ {1} ^ {' '} + c_ {2} (x) y_ {2} ^ {' '} + c_ {1} ^ {'} (x) y_ {1} ^ {'} + c_ {2} ^ {'} (x) y_ {2} ^ {'} \ end {cases}}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} u '(x) = c_ {1} (x) y_ {1} ^ {'} + c_ {2} (x) y_ {2} ^ {'} \\ u' '(x) = c_ {1} (x) y_ {1} ^ {' '} + c_ {2} (x) y_ {2} ^ {' '} + c_ {1} ^ {'} (x) y_ {1} ^ {'} + c_ {2} ^ {'} (x) y_ {2} ^ {'} \ end {cases}}}

Înlocuind în ecuația completă obținem:

c_{1}(x)\cdot \left[y_{1}^{''}+a(x)y_{1}^{'}+b(x)y_{1}\right]+c_{2}(x)\left[y_{2}^{''}+a(x)y_{2}^{'}+b(x)y_{2}\right]+c_{1}^{'}(x)y_{1}^{'}+c_{2}^{'}(x)y_{2}^{'}=f(x)

{\ displaystyle c_ {1} (x) \ cdot \ left [y_ {1} ^ {''} + a (x) y_ {1} ^ {'} + b (x) y_ {1} \ right] + c_ {2} (x) \ left [y_ {2} ^ {''} + a (x) y_ {2} ^ {'} + b (x) y_ {2} \ right] + c_ {1} ^ {'} (x) y_ {1} ^ {'} + c_ {2} ^ {'} (x) y_ {2} ^ {'} = f (x)}

{\ displaystyle c_ {1} (x) \ cdot \ left [y_ {1} ^ {''} + a (x) y_ {1} ^ {'} + b (x) y_ {1} \ right] + c_ {2} (x) \ left [y_ {2} ^ {''} + a (x) y_ {2} ^ {'} + b (x) y_ {2} \ right] + c_ {1} ^ {'} (x) y_ {1} ^ {'} + c_ {2} ^ {'} (x) y_ {2} ^ {'} = f (x)}

Este un sistem de necunoscute $c_{1}^{'}(x)$ ${\ displaystyle c_ {1} ^ {'} (x)}$ ${\ displaystyle c_ {1} ^ {'} (x)}$ Și $c_{2}^{'}(x)$ ${\ displaystyle c_ {2} ^ {'} (x)}$ ${\ displaystyle c_ {2} ^ {'} (x)}$ :

{\begin{cases}c_{1}^{'}(x)y_{1}+c_{2}^{'}(x)y_{2}=0\\c_{1}^{'}(x)y_{1}^{'}+c_{2}^{'}(x)y_{2}^{'}=f(x)\end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} c_ {1} ^ {'} (x) y_ {1} + c_ {2} ^ {'} (x) y_ {2} = 0 \\ c_ {1} ^ { '} (x) y_ {1} ^ {'} + c_ {2} ^ {'} (x) y_ {2} ^ {'} = f (x) \ end {cases}}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} c_ {1} ^ {'} (x) y_ {1} + c_ {2} ^ {'} (x) y_ {2} = 0 \\ c_ {1} ^ { '} (x) y_ {1} ^ {'} + c_ {2} ^ {'} (x) y_ {2} ^ {'} = f (x) \ end {cases}}}

Odată obținut $c_{1}^{'}(x)$ ${\ displaystyle c_ {1} ^ {'} (x)}$ ${\ displaystyle c_ {1} ^ {'} (x)}$ Și $c_{2}^{'}(x)$ ${\ displaystyle c_ {2} ^ {'} (x)}$ ${\ displaystyle c_ {2} ^ {'} (x)}$ (se arată că acest lucru este întotdeauna fezabil având în vedere independența soluțiilor $y_{1}$ ${\ displaystyle y_ {1}}$ ${\ displaystyle y_ {1}}$ Și $y_{2}$ ${\ displaystyle y_ {2}}$ ${\ displaystyle y_ {2}}$ ), sunt obținute $c_{1}(x)$ ${\ displaystyle c_ {1} (x)}$ ${\ displaystyle c_ {1} (x)}$ Și $c_{2}(x)$ ${\ displaystyle c_ {2} (x)}$ ${\ displaystyle c_ {2} (x)}$ . În cele din urmă, soluția este:

u(x)=c_{1}(x)y_{1}+c_{2}(x)y_{2}

{\ displaystyle u (x) = c_ {1} (x) y_ {1} + c_ {2} (x) y_ {2}}

{\ displaystyle u (x) = c_ {1} (x) y_ {1} + c_ {2} (x) y_ {2}}

iar cea completă este:

Y(x)=y+u(x)

{\ displaystyle Y (x) = y + u (x)}

{\ displaystyle Y (x) = y + u (x)}

Notă

^ Enciclopedia matematicii - ecuație diferențială ordinară liniară de ordinul doi , la encyclopediaofmath.org . Adus 05-02-2013 .

Bibliografie

Arfken, G. „O a doua soluție”. §8.6 în Metode matematice pentru fizicieni , ed. A III-a. Orlando, FL: Academic Press, pp. 467-480, 1985.
Boyce, WE și DiPrima, RC Ecuații diferențiale elementare și probleme cu valoarea limită , ediția a IV-a. New York: Wiley, 1986.
Morse, PM și Feshbach, H. Metode de fizică teoretică, Partea I. New York: McGraw-Hill, pp. 667–674, 1953.

Elemente conexe

Controlul autorității	Tezaur BNCF 32487

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Enciclopedia matematicii - ecuație diferențială ordinară liniară de ordinul doi , la encyclopediaofmath.org . Adus 05-02-2013 .

[1]