Ecuația diferențială Bernoulli

În matematică , ecuația diferențială Bernoulli este o ecuație diferențială obișnuită de prim ordin.

Redus sub formă canonică, este reprezentat ca:

y'+f(x)y=g(x)y^{n}

{\ displaystyle y '+ f (x) y = g (x) y ^ {n}}

y '+ f (x) y = g (x) y ^ {n}

cu $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ constant. De sine $x_{0}\in (a,b)$ ${\ displaystyle x_ {0} \ in (a, b)}$ $x_ {0} \ in (a, b)$ Și:

\left\{{\begin{array}{ll}z:(a,b)\rightarrow (0,\infty )\qquad \alpha \in \mathbb {R} \setminus \{1,2\}\\z:(a,b)\rightarrow \mathbb {R} \setminus \{0\}\qquad \alpha =2\\\end{array}}\right.

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {array} {ll} z: (a, b) \ rightarrow (0, \ infty) \ qquad \ alpha \ in \ mathbb {R} \ setminus \ {1,2 \ } \\ z: (a, b) \ rightarrow \ mathbb {R} \ setminus \ {0 \} \ qquad \ alpha = 2 \\\ end {array}} \ right.}

\ left \ {{\ begin {array} {ll} z: (a, b) \ rightarrow (0, \ infty) \ qquad \ alpha \ in {\ mathbb {R}} \ setminus \ {1,2 \} \\ z: (a, b) \ rightarrow {\ mathbb {R}} \ setminus \ {0 \} \ qquad \ alpha = 2 \\\ end {array}} \ right.

este o soluție a ecuației liniare:

z'(x)=(1-\alpha )P(x)z(x)+(1-\alpha )Q(x)

{\ displaystyle z '(x) = (1- \ alpha) P (x) z (x) + (1- \ alpha) Q (x)}

z '(x) = (1- \ alfa) P (x) z (x) + (1- \ alfa) Q (x)

atunci avem asta $y(x):=[z(x)]^{\frac {1}{1-\alpha }}$ ${\ displaystyle y (x): = [z (x)] ^ {\ frac {1} {1- \ alpha}}}$ $y (x): = [z (x)] ^ {{{\ frac {1} {1- \ alpha}}}}$ este o soluție de:

y'(x)=P(x)y(x)+Q(x)y^{\alpha }(x)\qquad y(x_{0})=y_{0}:=[z(x_{0})]^{\frac {1}{1-\alpha }}

{\ displaystyle y '(x) = P (x) y (x) + Q (x) y ^ {\ alpha} (x) \ qquad y (x_ {0}) = y_ {0}: = [z ( x_ {0})] ^ {\ frac {1} {1- \ alpha}}}

y '(x) = P (x) y (x) + Q (x) y ^ {\ alpha} (x) \ qquad y (x_ {0}) = y_ {0}: = [z (x_ {0 })] ^ {{{\ frac {1} {1- \ alpha}}}}

și fiecare astfel de ecuație are o soluție $y\equiv 0$ ${\ displaystyle y \ equiv 0}$ $y \ equiv 0$ pentru $y_{0}=0$ ${\ displaystyle y_ {0} = 0}$ $y_ {0} = 0$ pentru fiecare $\alpha >0$ ${\ displaystyle \ alpha> 0}$ $\ alpha> 0$ .

Metoda rezoluției

Metoda de rezolvare a fost găsită de Jakob Bernoulli I. Per $n=1$ ${\ displaystyle n = 1}$ $n = 1$ sau $n=0$ ${\ displaystyle n = 0}$ $n = 0$ ecuația este imediat atribuibilă soluției generale a ecuațiilor liniare de ordinul întâi . Metoda soluției generale, cu orice n real, necesită împărțirea ecuației la $y^{n}$ ${\ displaystyle y ^ {n}}$ $y ^ {n}$ (ținând cont de faptul că, pentru $n>0$ ${\ displaystyle n> 0}$ $n> 0$ , $y=0$ ${\ displaystyle y = 0}$ $y = 0$ reprezintă o soluție de primul tip și, în schimb, pentru $n<0$ ${\ displaystyle n <0}$ $n <0$ functia $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ trebuie să fie neapărat diferit de 0 pentru condiția existenței funcției care îl definește), obținând:

{\frac {1}{y^{n}}}{\frac {dy}{dx}}+{\frac {f(x)}{y^{n-1}}}=g(x)

{\ displaystyle {\ frac {1} {y ^ {n}}} {\ frac {dy} {dx}} + {\ frac {f (x)} {y ^ {n-1}}} = g ( X)}

{\ frac 1 {y ^ {n}}} {\ frac {dy} {dx}} + {\ frac {f (x)} {y ^ {{n-1}}}} = g (x)

Înlocuirea este apoi efectuată $w=1/y^{n-1}$ ${\ displaystyle w = 1 / y ^ {n-1}}$ $w = 1 / y ^ {{n-1}}$ , de la care:

w'={\frac {1-n}{y^{n}}}{\frac {dy}{dx}}

{\ displaystyle w '= {\ frac {1-n} {y ^ {n}}} {\ frac {dy} {dx}}}

w '= {\ frac {1-n} {y ^ {n}}} {\ frac {dy} {dx}}

avem:

{w'}+w(1-n){f(x)}=(1-n)g(x)

{\ displaystyle {w '} + w (1-n) {f (x)} = (1-n) g (x)}

{w '} + w (1-n) {f (x)} = (1-n) g (x)

care se încadrează în cazul general al ecuațiilor de gradul I. Rescrierea ca:

{w'}=w(n-1){f(x)}+(1-n)g(x)=F(x)w+G(x)

{\ displaystyle {w '} = w (n-1) {f (x)} + (1-n) g (x) = F (x) w + G (x)}

{w '} = w (n-1) {f (x)} + (1-n) g (x) = F (x) w + G (x)

și integrând, obținem:

w=e^{\int {F}}\left(\int {Ge^{-\int {F}}}+c\right)

{\ displaystyle w = e ^ {\ int {F}} \ left (\ int {Ge ^ {- \ int {F}}} + c \ right)}

w = e ^ {{\ int {F}}} \ left (\ int {Ge ^ {{- \ int {F}}}} + c \ right)

din care $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ .

O variantă este înlocuirea directă:

y=z^{\frac {1}{1-n}}

{\ displaystyle y = z ^ {\ frac {1} {1-n}}}

y = z ^ {{{\ frac 1 {1-n}}}}

în ecuație:

y'=-f(x)y+g(x)y^{n}

{\ displaystyle y '= - f (x) y + g (x) y ^ {n}}

y '= - f (x) y + g (x) y ^ {n}

astfel încât să avem:

z'=(1-n)y'y^{-n}

{\ displaystyle z '= (1-n) y'y ^ {- n}}

z '= (1-n) y'y ^ {{- n}}

de la care:

y'=z'{\frac {y^{n}}{1-n}}

{\ displaystyle y '= z' {\ frac {y ^ {n}} {1-n}}}

y '= z' {\ frac {y ^ {n}} {1-n}}

apoi înlocuirea și simplificarea:

z'=(1-n)[-f(x)z+g(x)]

{\ displaystyle z '= (1-n) [- f (x) z + g (x)]}

z '= (1-n) [- f (x) z + g (x)]

Exemplu

Să se dea:

y'+2y\operatorname {sin} x=y^{-2}\operatorname {sin} x

{\ displaystyle y '+ 2y \ operatorname {sin} x = y ^ {- 2} \ operatorname {sin} x}

y '+ 2y \ operatorname {sin} x = y ^ {{- 2}} \ operatorname {sin} x

prin împărțire avem:

{\frac {y'}{y^{-2}}}+{\frac {2\operatorname {sin} x}{y^{-3}}}=\operatorname {sin} x

{\ displaystyle {\ frac {y '} {y ^ {- 2}}} + {\ frac {2 \ operatorname {sin} x} {y ^ {- 3}}} = \ operatorname {sin} x}

{\ frac {y '} {y ^ {{- 2}}}} + {\ frac {2 \ operatorname {sin} x} {y ^ {{- 3}}}} = \ operatorname {sin} x

plasarea $w={\frac {1}{y^{-3}}}$ ${\ displaystyle w = {\ frac {1} {y ^ {- 3}}}}$ $w = {\ frac 1 {y ^ {{- 3}}}}$ :

w'=-w6\operatorname {sin} x+3\operatorname {sin} x

{\ displaystyle w '= - w6 \ operatorname {sin} x + 3 \ operatorname {sin} x}

w '= - w6 \ operatorname {sin} x + 3 \ operatorname {sin} x

și integrarea:

w=e^{6\operatorname {cos} x}\left({\frac {1}{2}}e^{-6\operatorname {cos} x}+C\right)={\frac {1}{2}}+Ce^{6\operatorname {cos} x}

{\ displaystyle w = e ^ {6 \ operatorname {cos} x} \ left ({\ frac {1} {2}} e ^ {- 6 \ operatorname {cos} x} + C \ right) = {\ frac {1} {2}} + Ce ^ {6 \ operatorname {cos} x}}

w = e ^ {{6 \ operatorname {cos} x}} \ left ({\ frac 12} e ^ {{- 6 \ operatorname {cos} x}} + C \ right) = {\ frac 12} + Ce ^ {{6 \ operatorname {cos} x}}

Amintindu-mi asta $w=y^{3}$ ${\ displaystyle w = y ^ {3}}$ $w = y ^ {3}$ , singura rădăcină reală pentru $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ Și:

y={}^{3}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+Ce^{6\operatorname {cos} x}}}

{\ displaystyle y = {} ^ {3} {\ sqrt {{\ frac {1} {2}} + Ce ^ {6 \ operatorname {cos} x}}}}

y = {} ^ {3} {\ sqrt {{\ frac 12} + Ce ^ {{6 \ operatorname {cos} x}}}}

Bibliografie

(EN) Boyce, WE și DiPrima, ecuații diferențiale elementare RC și probleme cu valoarea limită, ediția a V-a. New York: Wiley, p. 28, 1992.
( EN ) Ince, EL Ecuații diferențiale ordinare . New York: Dover, p. 22, 1956.
( EN ) Rainville, ED și Bedient, ecuații diferențiale elementare PE . New York: Macmillian, pp. 69–71, 1964.
(EN) Simmons, ecuații diferențiale GF , cu aplicații și note istorice. New York: McGraw-Hill, p. 49, 1972.

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) N.Kh. Rozov, ecuația Bernoulli , în Enciclopedia Matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.
(EN) Eric W. Weisstein, Bernoulli Differential Equation în MathWorld Wolfram Research.
( EN ) SosMath , pe sosmath.com .
( EN ) Universitatea Lamar , pe tutorial.math.lamar.edu .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică