Descompunerea în fracții simple

În algebră , descompunerea fracției simple a unei funcții raționale , numită și descompunerea fracției simple sau expansiunea fracției simple , este scrierea fracției printr-un polinom (care poate fi nul) adăugat la una sau mai multe fracții cu un numitor mai simplu. Această metodă oferă un algoritm care permite evaluarea primitivelor unei funcții raționale.

Pentru a ilustra ideea procedurii, este dată o funcție rațională $R(x)=f(x)/g(x)$ ${\ displaystyle R (x) = f (x) / g (x)}$ $R (x) = f (x) / g (x)$ , in care $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ Și $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ sunt polinoame și ia în considerare factorizarea $g(x)=g_{1}(x)\cdot g_{2}(x)\cdot \dots$ ${\ displaystyle g (x) = g_ {1} (x) \ cdot g_ {2} (x) \ cdot \ dots}$ $g (x) = g_ {1} (x) \ cdot g_ {2} (x) \ cdot \ dots$ a numitorului. Pentru fiecare factor care are forma $(ax+b)^{n}$ ${\ displaystyle (ax + b) ^ {n}}$ $(ax + b) ^ {n}$ fracțiunile sunt considerate $A_{1}/(ax+b)^{1},A_{2}/(ax+b)^{2},\dots ,A_{n}/(ax+b)^{n}$ ${\ displaystyle A_ {1} / (ax + b) ^ {1}, A_ {2} / (ax + b) ^ {2}, \ dots, A_ {n} / (ax + b) ^ {n} }$ $A_ {1} / (ax + b) ^ {1}, A_ {2} / (ax + b) ^ {2}, \ dots, A_ {n} / (ax + b) ^ {n}$ , în timp ce pentru fiecare factor care are forma $(ax^{2}+bx+c)^{n}$ ${\ displaystyle (ax ^ {2} + bx + c) ^ {n}}$ $(ax ^ {2} + bx + c) ^ {n}$ fracțiile sunt considerate:

{\frac {A_{1}x+B_{1}}{(ax^{2}+bx+c)^{1}}},{\frac {A_{2}x+B_{2}}{(ax^{2}+bx+c)^{2}}},\dots ,{\frac {A_{n}x+B_{n}}{(ax^{2}+bx+c)^{n}}}

{\ displaystyle {\ frac {A_ {1} x + B_ {1}} {(ax ^ {2} + bx + c) ^ {1}}}, {\ frac {A_ {2} x + B_ {2 }} {(ax ^ {2} + bx + c) ^ {2}}}, \ dots, {\ frac {A_ {n} x + B_ {n}} {(ax ^ {2} + bx + c ) ^ {n}}}}

{\ frac {A_ {1} x + B_ {1}} {(ax ^ {2} + bx + c) ^ {1}}}, {\ frac {A_ {2} x + B_ {2}} { (ax ^ {2} + bx + c) ^ {2}}}, \ dots, {\ frac {A_ {n} x + B_ {n}} {(ax ^ {2} + bx + c) ^ { n}}}

Obținem astfel scrierea: ^[1]

R(x)={\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {A_{1}}{ax+b}}+\dots +{\frac {A_{2}x+B_{2}}{ax^{2}+bx+c}}+\dots

{\ displaystyle R (x) = {\ frac {f (x)} {g (x)}} = {\ frac {A_ {1}} {ax + b}} + \ dots + {\ frac {A_ { 2} x + B_ {2}} {ax ^ {2} + bx + c}} + \ dots}

R (x) = {\ frac {f (x)} {g (x)}} = {\ frac {A_ {1}} {ax + b}} + \ dots + {\ frac {A_ {2} x + B_ {2}} {ax ^ {2} + bx + c}} + \ dots

și calcularea coeficienților $A_{i}$ ${\ displaystyle A_ {i}}$ $Către}$ Și $B_{i}$ ${\ displaystyle B_ {i}}$ $Bi}$ există o descompunere care permite, analizând fiecare termen, să integreze fracția inițială. Prin urmare, conduce $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ la o expresie ca:

\sum _{j}{\frac {f_{j}(x)}{g_{j}(x)}}

{\ displaystyle \ sum _ {j} {\ frac {f_ {j} (x)} {g_ {j} (x)}}}

\ sum _ {j} {\ frac {f_ {j} (x)} {g_ {j} (x)}}

unde este $f_{j}(x)$ ${\ displaystyle f_ {j} (x)}$ $f_ {j} (x)$ Și $g_{j}(x)$ ${\ displaystyle g_ {j} (x)}$ $g_ {j} (x)$ sunt polinoame de grad mai mic decât $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ Și $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ .

Dacă aplicăm descompunerea cât mai mult posibil, obținem că numitorul fiecărui termen este o putere a unui polinom ne-factorizabil și numărătorul este un polinom de un grad mai mic decât cel al polinomului ne-factorizabil.

Descriere

Luați în considerare o funcție rațională $R(x)=f(x)/g(x)$ ${\ displaystyle R (x) = f (x) / g (x)}$ $R (x) = f (x) / g (x)$ în variabilă $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ al cărui numitor poate fi luat în considerare ca:

g(x)=P(x)\cdot Q(x)

{\ displaystyle g (x) = P (x) \ cdot Q (x)}

g (x) = P (x) \ cdot Q (x)

pe teren $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ , care poate fi de exemplu $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ sau $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ . De sine $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ Și $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ atunci nu au un factor comun $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ poate fi scris ca:

{\frac {A}{P}}+{\frac {B}{Q}}

{\ displaystyle {\ frac {A} {P}} + {\ frac {B} {Q}}}

{\ frac {A} {P}} + {\ frac {B} {Q}}

pentru unele perechi de polinoame $A(x)$ ${\ displaystyle A (x)}$ $A (x)$ Și $B(x)$ ${\ displaystyle B (x)}$ $B (x)$ pe $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ . Existența acestei descompuneri este o consecință a faptului că inelul polinomial de pe $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ este o stăpânire cu idealuri principale , astfel încât:

CP+DQ=1

{\ displaystyle CP + DQ = 1}

CP + DQ = 1

pentru unele perechi de polinoame $C(x)$ ${\ displaystyle C (x)}$ $C (x)$ Și $D(x)$ ${\ displaystyle D (x)}$ $D (x)$ (vezi identitatea lui Bézout ).

Cu această abordare se poate scrie inductiv $R(x)$ ${\ displaystyle R (x)}$ $R (x)$ ca o sumă de fracții ai căror numitori sunt puteri de polinoame ireductibile .

Mai strict, sunt $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ Și $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ polinoame nenule pe $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ . Scrie pe hartie $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ ca produs al puterilor polinoamelor ne-factorizabile:

g=\prod _{i=1}^{k}p_{i}^{n_{i}}

{\ displaystyle g = \ prod _ {i = 1} ^ {k} p_ {i} ^ {n_ {i}}}

g = \ prod _ {{i = 1}} ^ {k} p_ {i} ^ {{n_ {i}}}

Apoi, există polinoame unice $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ Și $a_{ij}$ ${\ displaystyle a_ {ij}}$ $a_ {ij}$ , din care $a_{ij}$ ${\ displaystyle a_ {ij}}$ $a_ {ij}$ au un grad mai mic decât cel de $p_{i}$ ${\ displaystyle p_ {i}}$ $p_ {i}$ , astfel încât:

{\frac {f}{g}}=b+\sum _{i=1}^{k}\sum _{j=1}^{n_{i}}{\frac {a_{ij}}{p_{i}^{j}}}

{\ displaystyle {\ frac {f} {g}} = b + \ sum _ {i = 1} ^ {k} \ sum _ {j = 1} ^ {n_ {i}} {\ frac {a_ {ij }} {p_ {i} ^ {j}}}}

{\ frac {f} {g}} = b + \ sum _ {{i = 1}} ^ {k} \ sum _ {{j = 1}} ^ {{n_ {i}}} {\ frac { a_ {{ij}}} {p_ {i} ^ {j}}}

iar dacă gradul de $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este mai mică decât cea a $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ asa de $b=0$ ${\ displaystyle b = 0}$ $b = 0$ .

Această teoremă poate fi verificată prin scriere $G(x)/F(x)^{n}$ ${\ displaystyle G (x) / F (x) ^ {n}}$ $G (x) / F (x) ^ {n}$ ca o sumă în care numitorii sunt puteri ale $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ iar numeratorii sunt polinoame de grad mai mic decât cel al $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ , plus orice polinom suplimentar. Pentru a face acest lucru, se poate utiliza algoritmul lui Euclid aplicat polinoamelor.

De sine $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ este câmpul numerelor complexe $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ atunci prin teorema fundamentală a algebrei se poate presupune că fiecare $p_{i}$ ${\ displaystyle p_ {i}}$ $p_ {i}$ are gradul 1.

Calculul primitivelor

Lasa-i sa fie $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ Și $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ polinoame nenule pe teren $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ . Scrie pe hartie $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ ca produs al puterilor unor polinoame prime reciproc care nu au rădăcini multiple într-un câmp închis algebric:

g=\prod _{i=1}^{k}p_{i}^{n_{i}}

{\ displaystyle g = \ prod _ {i = 1} ^ {k} p_ {i} ^ {n_ {i}}}

g = \ prod _ {{i = 1}} ^ {k} p_ {i} ^ {{n_ {i}}}

Apoi, există polinoame unice $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ Și $c_{ij}$ ${\ displaystyle c_ {ij}}$ $c _ {{ij}}$ , din care $c_{ij}$ ${\ displaystyle c_ {ij}}$ $c _ {{ij}}$ au un grad mai mic decât cel de $p_{i}$ ${\ displaystyle p_ {i}}$ $p_ {i}$ , astfel încât:

{\frac {f}{g}}=b+\sum _{i=1}^{k}\sum _{j=2}^{n_{i}}\left({\frac {c_{ij}}{p_{i}^{j-1}}}\right)'+\sum _{i=1}^{k}{\frac {c_{i1}}{p_{i}}}

{\ displaystyle {\ frac {f} {g}} = b + \ sum _ {i = 1} ^ {k} \ sum _ {j = 2} ^ {n_ {i}} \ left ({\ frac { c_ {ij}} {p_ {i} ^ {j-1}}} \ right) '+ \ sum _ {i = 1} ^ {k} {\ frac {c_ {i1}} {p_ {i}} }}

{\ frac {f} {g}} = b + \ sum _ {{i = 1}} ^ {k} \ sum _ {{j = 2}} ^ {{n_ {i}}} \ left ({ \ frac {c _ {{ij}}} {p_ {i} ^ {{j-1}}}} \ right) '+ \ sum _ {{i = 1}} ^ {k} {\ frac {c _ {{i1}}} {p_ {i}}}

unde indicativul indică derivatul. Acest rezultat permite reducerea calculului primitivei unei funcții raționale la integrarea sumei la al doilea membru, numită parte logaritmică datorită faptului că primitivul său este o combinație liniară de logaritmi. De fapt, avem:

{\frac {c_{i1}}{p_{i}}}=\sum _{\alpha _{j}:p_{i}(\alpha _{j})=0}{\frac {c_{i1}(\alpha _{j})}{p'_{i}(\alpha _{j})}}{\frac {1}{x-\alpha _{j}}}

{\ displaystyle {\ frac {c_ {i1}} {p_ {i}}} = \ sum _ {\ alpha _ {j}: p_ {i} (\ alpha _ {j}) = 0} {\ frac { c_ {i1} (\ alpha _ {j})} {p '_ ​​{i} (\ alpha _ {j})}} {\ frac {1} {x- \ alpha _ {j}}}}

{\ frac {c _ {{i1}}} {p_ {i}}} = \ sum _ {{\ alpha _ {j}: p_ {i} (\ alpha _ {j}) = 0}} {\ frac {c _ {{i1}} (\ alpha _ {j})} {p '_ ​​{i} (\ alpha _ {j})}} {\ frac {1} {x- \ alpha _ { j}}}

Există mai multe metode pentru a calcula această descompunere, dintre care cea mai simplă este metoda Hermite : se bazează pe faptul că $c_{ij}$ ${\ displaystyle c_ {ij}}$ $c _ {{ij}}$ are un grad mai mic decât cel de $p_{i}$ ${\ displaystyle p_ {i}}$ $p_ {i}$ , și că gradul de $b_{i}$ ${\ displaystyle b_ {i}}$ $bi}$ este diferența (pozitivă) dintre gradele de $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ Și $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ : aceasta permite scrierea unor astfel de polinoame necunoscute ca polinoame cunoscute cu coeficienți necunoscuți. Prin reducerea celor doi termeni ai formulei anterioare într-o singură fracțiune, obținem un sistem de ecuații liniare care ne permite să găsim acești coeficienți.

Exemplu

Vrem să descompunem expresia:

{\frac {1}{x(x-1)(x-2)}}

{\ displaystyle {\ frac {1} {x (x-1) (x-2)}}}

{\ frac {1} {x (x-1) (x-2)}}

sau scrie-l sub forma:

{\frac {A}{x}}+{\frac {B}{x-1}}+{\frac {C}{x-2}}

{\ displaystyle {\ frac {A} {x}} + {\ frac {B} {x-1}} + {\ frac {C} {x-2}}}

{\ frac {A} {x}} + {\ frac {B} {x-1}} + {\ frac {C} {x-2}}

unde parametrii $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ Și $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ sunt necunoscute. Înmulțind aceste două expresii cu $x(x-1)(x-2)$ ${\ displaystyle x (x-1) (x-2)}$ $x (x-1) (x-2)$ și echivalându-le, obținem:

A(x-1)(x-2)+Bx(x-2)+Cx(x-1)=1,\,

{\ displaystyle A (x-1) (x-2) + Bx (x-2) + Cx (x-1) = 1, \,}

A (x-1) (x-2) + Bx (x-2) + Cx (x-1) = 1, \,

Colectarea termenilor care înmulțesc puterile $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ avem:

(A+B+C)x^{2}-(3A+2B+C)x+2A=1

{\ displaystyle (A + B + C) x ^ {2} - (3A + 2B + C) x + 2A = 1}

(A + B + C) x ^ {2} - (3A + 2B + C) x + 2A = 1

Polinomul de la al doilea membru are doar coeficientul de zero grade zero și putem egaliza coeficienții care înmulțesc puterile lui $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ a ambilor membri. În acest fel obținem sistemul de ecuații liniare :

A+B+C=0\qquad 3A+2B+C=0\qquad 2A=1

{\ displaystyle A + B + C = 0 \ qquad 3A + 2B + C = 0 \ qquad 2A = 1}

A + B + C = 0 \ qquad 3A + 2B + C = 0 \ qquad 2A = 1

care oferă:

A={\frac {1}{2}}\qquad B=-1\qquad C={\frac {1}{2}}

{\ displaystyle A = {\ frac {1} {2}} \ qquad B = -1 \ qquad C = {\ frac {1} {2}}}

A = {\ frac {1} {2}} \ qquad B = -1 \ qquad C = {\ frac {1} {2}}

Notă

^ (EN) Eric W. Weisstein, Descompunerea fracției parțiale , în MathWorld , Wolfram Research.

Bibliografie

( EN ) George W. Bluman, Carte de probleme pentru calculul primului an , New York, Springer-Verlag, 1984, pp. 250-251.
( EN ) Charles D. Miller, Margaret L. Lial și David I. Schneider, Fundamentals of College Algebra , ed. A III-a, Addison-Wesley Educational Publishers, Inc., 1990, pp. 364-370, ISBN 0-673-38638-4 .
( EN ) Beyer, WH CRC Standard Mathematical Tables , ediția a 28-a. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 13-15, 1987.

Elemente conexe

linkuri externe

( RO ) Sam Blake, Fracții parțiale pas cu pas , pe calc101.com .
cajael.com - Faceți descompuneri fracționale parțiale cu Scilab .

Controlul autorității	GND ( DE ) 4173432-4

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] (EN) Eric W. Weisstein, Descompunerea fracției parțiale , în MathWorld , Wolfram Research.

[1]